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浅谈正二十面体的衍变

范文

徐汪华

摘要：正二十面体及其衍生物是中学化学竞赛的热点，甚至在高考试题中也常出现。介绍了正二十面体的衍变过程，对硼二十面体B12、足球烯C60、复杂阴离子[CB11H6Cl6]-等的结构进行了探讨，并提出了一些教学建议。

关键词：化学竞赛; 发散思维; 正二十面体

文章编号： 1005-6629（2019）11-0093-04? ? ? ? ? ? 中图分类号： G633.8? ? ? ? ? ? 文献标识码： B

引言

“证据推理与模型认识”是化学学科核心素养[1]五个方面之一，它反映的是化学学科思维方法。在教学中，如果引入一些模型，往往可以使问题的处理大为简化，从而便于我们去认识、掌握并应用它们。在化学教学中，模型的建立，具有十分重要的意义。本文从正二十面体出发，对硼二十面体B12、足球烯C60、复杂阴离子[CB11H6Cl6]-等的结构进行探讨，以期拓展教学思路，提高教学效率。

1? 初步认识正二十面体

正二十面体是由20个全等的等边三角形所围成的凸正多面体，共有20个面，12个顶点（5个正三角面围出一个正五重顶），30条棱，6条C5旋转轴（通过每一对相对着的五重顶有一个五重旋转对称轴），如图1和表1所示。

图1? 正二十面体示意图

为便于理解和记忆，从C5（A-A′）方向看，我们把正二十面体看作是“雨伞A-BCDEF”（记作：“雨伞A”;其中A看作是“伞顶”;B、 C、 D、 E、 F看作是“伞扣”;△ABC、 △ACD、 △ADE、 △AEF和△AFB看作是“伞面”;正五边形BCDEF看作是“伞边”;A-A′看作是“伞柄”;其余依此类推）和“雨伞A′-B′C′D′E′F′”交错“相扣”，中间夹着“平台BCDEF-B′C′D′E′F′”（正五边形BCDEF看作是该平台的“上底面”;正五边形B′C′D′E′F′看作是该平台的“下底面”;2个正五边形的每一条边都可以看作是等邊三角形的底边，该平台的侧面共由10个等边三角形构成）。

表1? 正二十面体的结构说明

名? ? 称数目

顶点A、 A′、 B、 B′、 C、 C′、 D、 D′、 E、 E′、 F、 F′12

面△ABC; △ACD; △ADE; △AEF; △AFB;

△A′B′C′; △A′C′D′; △A′D′E′; △A′E′F′;

△A′F′B′;

△BCE′; △CDF′; △DEB′;

△EFC′;

△FBD′; △B′C′E; △C′D′F;

△D′E′B; △E′F′C; △F′B′D20

棱AB; AC; AD; AE; AF; A′B′; A′C′;……30

C5轴A-A′、 B-B′、 C-C′、 D-D′、 E-E′、 F-F′? 6

2? 从正二十面体出发，进一步认识硼二十面体

若图1正二十面体中12个顶点分别被1个B原子所占据，则得到如图4-（a）的硼二十面体B12。

单质硼有多种复杂的晶体结构，其中最普通的一种是σ-菱形硼，其基本结构单元为正二十面体的对称几何构型[2]，每个面近似为一个等边三角形，20个面相交成12个顶角，每个角顶为一个硼原子所占据，然后由B12的这种20面体配布起来组成六方晶系的σ-菱形硼。

例题1? 晶体硼的基本结构单元都是由硼原子组成的正二十面体，其中含有20个等边三角形的面和一定数目的顶角，每个顶角各有一个硼原子，其平面示意图如图2所示，请回答：

图2? 晶体硼的基本结构单元平面示意图

（1） B—B键键角为? ? ? ? ;

（2）晶体硼中硼原子的个数为? ? ? ? ;B—B键有? ? ? ? 条。

[答案]（1）60°;（2）12;30。

[解析]“晶体硼的基本结构单元都是由硼原子组成的正二十面体，其中含有20个等边三角形的面和一定数目的顶角，每个顶角各有一个硼原子”B—B键键角为60°。

由图2可以看出，每个顶点为5个等边三角形的面所共有每个顶点只有1/5属于该等边三角形的面由20个全等的等边三角形所围成的正二十面体的顶点数=晶体硼中硼原子的个数=3×20×1/5=12。

由图2还可以看出，每条边为2个等边三角形的面所共有每条边有1/2属于该等边三角形的面由20个全等的等边三角形所围成的正二十面体的棱边数=晶体硼中B—B键数=3×20×1/2=30。

3? 从正二十面体出发，进一步认识C60

碳足球也叫足球烯，是一种球碳分子C60，如图3。对于这种复杂的结构，教师往往感到不好讲解，学生往往感到不好理解。面对这些困惑，如果我们从正二十面体出发，用“发展”的眼光来看，问题就可迎刃而解。

图3? C60结构示意图

若将图1正二十面体中每个顶点按一定比例且同等程度地削去（切点不重合），即可得到像足球一样的三十二面体，此三十二面体含12个正五边形（正二十面体中由5个正三角面围成的每个顶点被削后变成1个正五边形），20个正六边形（正二十面体中每个正三角形面被削后变成1个正六边形），60个顶点[正二十面体有30条棱，每条棱有2个三等分点（如图1中的棱AB上有2个三等分点，其中靠近A的三等分点记作AB，靠近B的三等分点记作BA，其余依此类推），共得到60个点]，正二十面体切割前后点、线和面衍变的情况参见表2。若此三十二面体中每个角顶为一个C原子所占据，则得到C60。

表2? 正二十面体切割前后衍变情况对比

切割前的正二十面体切割后的三十二面体（C60）

12个顶点12个正五边形

20个正三角形面20个正六边形

30条棱60个顶点

例题2? （1997年全国高考化学试题第36题）

1996年诺贝化学奖授予对发现C60有重大贡献的三位科学家。C60分子是形如球状的多面体（如图3），该结构的建立基于以下考虑：

① C60分子中每个碳原子只跟相邻的3个碳原子形成化学键;

② C60分子只含有五边形和六边形;

③ 多面体的顶点数、面数和棱边数的关系，遵循欧拉定理：顶点数+面数-棱边数=2。

据上所述，可推知C60分子有12个五边形和20个六边形，C60分子所含的双键数为30。

请回答下列问题：

（1）固体C60与金刚石相比较，熔点较高者应是? ? ? ? ，理由是：? ? ? ? ? ? ? ? ?。

（2）试估计C60跟F2在一定条件下，能否发生反应生成C60F60（填“可能”或“不可能”）? ? ? ? ，并简述其理由：? ? ? ? ? ? ? ? ?。

（3）通过计算，确定C60分子所含单键数为? ? ? ? 。

（4） C70分子也已制得，它的分子结构模型可以与C60同样考虑而推知。通过计算确定C70分子中五边形和六边形的数目。C70分子中所含五边形数为? ? ? ? ，六边形数为? ? ? ? 。

[答案]（1）金刚石;金刚石属原子晶体，而固体C60不是，故金刚石熔点较高。（答出“金刚石属原子晶体”即给分）

（2）可能;因C60分子含30个双键，与极活泼的F2发生加成反应即可生成C60F60。（只要指出“C60含30个双键”即给分，但答“因C60含有双键”不给分）

（3）依题意，C60分子形成的化学键数为： 12×（3×60）=90，

也可由欧拉定理计算键数（即棱边数）： 60+（12+20）-2=90，

C60分子中单键为： 90-30=60。

（4）设C70分子中五边形数为x，六边形数为y。依题意可得方程组：

12（5x+6y）=12（3×70）? ? ? （键数，即棱边数）

70+（x+y）-12（3×70）=2（欧拉定理）

解得：五边形数x=12，六边形数y=25。

[解析]（1）固体C60为分子晶体，而金刚石为原子晶体。一般来说，分子晶体的熔点低，而原子晶体的熔点高。所以，固体C60与金刚石相比较，熔点较高者应是金刚石。

（2）已知“C60分子所含的双键数为30”即每个C60分子含30个双键C60跟F2在一定条件下，能发生加成反应生成C60F60： C60+30F2C60F60。

（3）方法一：将化学问题抽象成数学问题求化学键总数。已知：“C60分子只含有五边形和六边形”，且“C60分子有12个五边形和20个六边形”球状多面体的顶点数=碳原子数=60;面数=碳原子形成的五边形数+六边形数=12+20=32;棱边数=碳原子间的共价键数（包括单、双键）。欧拉定理：顶点数+面数-棱边数=2共价键总数=棱边数=顶点数+面数-2=60+32-2=90。又已知“C60分子所含的双键数为30”C60分子所含单键数为90-30=60。

方法二：借助多面体的顶点数与棱边数的关系求化学键总数。“C60分子中每个碳原子只跟相邻的3个碳原子形成化学键”顶点数为60，且每个顶点连线三条边。每条边有两个顶点每个顶点占每条边的1/2C60分子形成的化学键数（棱边数）为： 60×3×1/2=90。又已知“C60分子所含的双键数为30”C60分子所含单键数为90-30=60。

方法三：借助多面体的面数与棱边数的关系求化学键总数。已知：“C60分子只含有五边形和六边形”，“C60分子有12个五边形和20个六边形”且每条棱边为两个面共用棱边数=（12×5+20×6）×1/2=90。又已知“C60分子所含的双键数为30”C60分子所含单键数为90-30=60。

方法四：由碳原子成键规律直接求单键数。“C60分子中每个碳原子只跟相邻的3个碳原子形成化学键”，且碳原子又必须是4个价键每个碳原子只含一个双键，两个单键单键数为双键数的2倍。又已知“C60分子所含的双键数为30”C60分子所含单键数为： 30×2=60。

4? 从正二十面体出发，进一步认识某些复杂阴离子

若图1正二十面体中A顶点被1个C原子所占据，且C原子上连接1个H原子（“A顶点被1个C原子所占据，且C原子上连接1个H原子”简称“A顶点被C—H所占据”，下面依此类推），A′顶點被B—Cl所占据，B、 C、 D、 E、 F分别被B—Cl所占据，B′、 C′、 D′、 E′、 F′分别被B—H所占据，则得到有一根C5旋转轴的[CB11H6Cl6]-，如图5-（a）。

例题3? （2001年全国高中化学竞赛初赛试题第10题）

最近有人用一种称为“超酸”的化合物H（CB11H6Cl6）和C60反应，使C60获得一个质子，得到一种新型离于化合物[HC60]+[CB11H6Cl6]-。回答如下问题：

（1）以上反应看起来很陌生，但反应类型上却可以跟中学化学课本中的一个化学反应相比拟，后者是：? ? ? ? ?。

（2）上述阴离子[CB11H6Cl6]-的结构可以跟图4-（a）的硼二十面体相比拟，也是一个闭合的纳米笼，而且[CB11H6Cl6]-离子有如下结构特征：它有一根轴穿过笼心，依据这根轴旋转360°/5的度数，不能察觉是否旋转过。请在图4-（b）上添加原子（用元素符号表示）和短线（表示化学键）画出上述阴离子。

（a）

（b）

图4? B12及其骨架结构示意图

[答案]（1） NH3+HClNH4Cl。（注：答其他非质子转移的任何“化合反应”得1分）

（2）参考图形：图5-（a）。（注：硼上氢氯互换如参考图形仍按正确论，但上下的C、 B分别连接H和Cl，不允许互换）

[解析]（1） H（CB11H6Cl6）+C60[HC60]+[CB11H6Cl6]-，显然，这是质子转移的反应，是两种不带电荷的中性分子相互作用，产生了两种带相反电荷的离子。H（CB11H6Cl6）被称为“超酸”，是质子给予体，失去H+后变为[CB11H6Cl6]-;C60是质子接受体，得到H+后变为[HC60]+。该反应类似于中学化学课本中的反应： HCl+NH3NH4Cl，其中，HCl是酸，失去H+后变为Cl-;NH3得到H+后变为NH? +4。

（2） “[CB11H6Cl6]-的结构可以跟图4-（a）的硼二十面体相比拟，也是一个闭合的纳米笼”[CB11H6Cl6]-的“骨架”也是二十面體。“它有一根轴穿过笼心，依据这根轴旋转360°/5的度数，不能察觉是否旋转过”[CB11H6Cl6]-有一根C5旋转轴[CB11H6Cl6]-可能的结构如图5所示。

（a）

（b）

（c）

（d）

图5? [CB11H6Cl6]-可能的结构示意图

原答案的参考图形为图5-（a），且原答案注：硼上氢氯互换如参考图形仍按正确论，但上下的C、 B分别连接H和Cl，不允许互换。原答案的意思是说：图5-（a）符合题意，图5-（b）也算对，但图5-（c）和图5-（d）就不算对。

有资料说：“B、 C是正二十面体的骨架，但由于B是缺电子原子，而氯是富电子原子，因此C原子上一定要连接H原子，而不能连接Cl原子”。

笔者不以为然。笔者认为：根据题意，[CB11H6Cl6]-可能的结构应有如图5所示的四种。图5-（a）符合题意，图5-（b）也算对，图5-（c）和图5-（d）也应算对。只不过后两者稳定性稍差些。

5? 两点建议

（1）巧妙发散，拓展教学思路

如图6这样，从正二十面体出发，能加深我们对硼二十面体B12、足球烯C60、复杂阴离子[CB11H6Cl6]-等的进一步认识。

图6? 以正二十面体为发散点的教学思路

在教学中，倘若我们经常以某事物的结构为发散点，设想出利用该结构的各种可能性，我们的思维能力必将得到训练，思维空间必将得以拓展。

（2）一题多解，提高教学效率

一题多解是对知识的升华和总结。在教学中，经常像解答例题2中第（3）小题那样，对同一道题目，从不同的角度，运用不同的思维方式，采用不同的解题方法进行解答，我们的教学效率必将得到提高。

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定. 普通高中化学课程标准（2017年版）[S]. 北京：人民教育出版社， 2018： 3.

[2]武汉大学，吉林大学等校. 无机化学（下）[M]. 北京：高等教育出版社， 1983： 224.

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