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标题 高等数学中一类幂级数求和函数的重要方法
范文

    吕海翠 宋佳 王艳丽

    

    

    【摘要】在考研数学中求幂级数和函数是一个重要考点,也是教材中“无穷级数”的核心内容,可以用它来求收敛的常数项级数的和.而求幂级数和函数的方法与技巧是多种多样的,教材针对这一问题只讲了一个例题,因而学生对这一问题感到困难,为此本文总结了一类基础有效的求幂级数和函数的方法,帮助教师进行更好的教学.

    【关键词】高等数学;幂级数的和函数;方法

    【中图分类号】G642【文献标识码】A

    【基金项目】咸阳市科技局项目(2019k02-19)

    培养出优秀的学生是一个学校发展的根本.老师应该传道受业解惑,负责把学生领进门,负责引导学生把知识学得有体系且融会贯通.教学是一个良心活也是一个技术活,要求老师负责敬业,知识过硬,解题灵活多变,会站在学生角度考虑问题.只有这样教师才会更有针对性地对学生因材施教,真正做到在教学过程中启蒙学生的探索精神,授之以渔.本文就求幂级数和函数分类型进行学习,其中题目均为经典题目,且在教学实践中也进行了应用,收到了较好的效果.

    一、高等数学特点

    高等数学有两册,学时需两个学期,知识点多,综合性强,且部分定义、定理、性质抽象,结论用时变形多,虽多但系统性强.两册高等数学其研究对象主要是函数,研究的是微积分.上册是一元函数的,下册是多元函数的,下册承载了上册.

    二、求幂级数和函数的教学分析及设计

    1.求幂级数和函数的步骤

    在求幂级数和函数时,先求收敛域,这里面就综合了判定常数项级数敛散性的所有知识;然后可能会用到求导、积分、变量代换、拼凑、分解等知识,方法技巧多变.因此它是一个难度较大,技巧性较高的有趣数学问题,值得学生去探索.学生要多观察、细体会、勤总结,最终牢固掌握这类题.

    2.经典举例

    (1)类型∑△x△-1

    例1求幂级数∑∞n=1nxn-1的和函数.

    解因为limn→∞an+1an=limn→∞n+1n=1,所以收敛半径R=1.

    当x=-1时,级数成为∑∞n=1(-1)n-1n,是发散的;当x=1时,级数成为∑∞n=1n,是发散的.因此收敛域为(-1,1).

    设s(x)=∑∞n=1nxn-1,x∈(-1,1).

    于是两端积分得∫x0s(t)dt=∑∞n=1∫x0ntn-1dt=∑∞n=1xn=x1-x,x∈(-1,1).

    两端求导得s(x)=x1-x′=1(1-x)2,x∈(-1,1).

    例2求幂级数∑∞n=1(n+2)xn+3的和函数.

    解因为limn→∞an+1an=limn→∞n+3n+2=1,

    所以收敛半径R=1.

    当x=-1时,级数成为∑∞n=1(n+2)(-1)n+3,是发散的;当x=1时,级数成为∑∞n=1(n+2),是发散的.因此收敛域为(1,1).

    设s(x)=∑∞n=1(n+2)xn+3(-1

    则s(x)=∑∞n=1(n+2)xn+3=x2∑∞n=1(n+2)xn+1,

    记s1(x)=∑∞n=1(n+2)xn+1(-1

    于是兩端积分,得

    ∫x0s1(t)dt=∫x0∑∞n=1(n+2)tn+1dt

    =∑∞n=1∫x0(n+2)tn+1dt

    =∑∞n=1xn+2=x31-x(-1

    两端求导,得

    s1(x)=x31-x′=3x2-2x3(1-x)2(-1

    故原级数的和函数为

    s(x)=x2s1(x)=3x4-2x5(1-x)2(-1

    例3求幂级数∑∞n=1n2xn的和函数.

    解因为limn→∞an+1an=limn→∞(n+1)2n2=1,所以收敛半径R=1.

    当x=-1时,级数成为∑∞n=1n2(-1)n,是发散的;当x=1时,级数成为∑∞n=1n2,是发散的.因此收敛域为(-1,1).

    设s(x)=∑∞n=1n2xn(-1

    则s(x)=x∑∞n=1n2xn-1=x∑∞n=1(nxn)′=x∑∞n=1nxn′,

    记s1(x)=∑∞n=1nxn(-1

    又s1(x)=x∑∞n=1nxn-1=x∑∞n=1(xn)′=x∑∞n=1xn′=xx1-x′=x(1-x)2

    .

    故s(x)=xs1′(x)=x(1+x)(1-x)3(-1

    总结:∑△x△-1,其中△为n的多项式,如2n,2n-1,4n+1等,起始下标可以为n=0或n=1,即∑∞n=0△x△-1或∑∞n=1△x△-1,求幂级数和函数都可以采用此方法.例2,例3是变形后也是这一类,学生做完题目后仔细观察区别及联系,只有善于总结才能灵活应用.

    (2)类型∑x△△

    例4求幂级数∑∞n=1xnn的和函数.

    解因为limn→∞an+1an=limn→∞nn+1=1,

    所以收敛半径R=1.

    当x=-1时,级数成为∑∞n=1(-1)nn,是收敛的;当x=1时,级数成为∑∞n=11n,是发散的.因此收敛域为[-1,1).

    设s(x)=∑∞n=1xnn,x∈[-1,1).

    于是逐项求导得s′(x)=∑∞n=1xn-1=11-x,x∈[-1,1),

    两端积分得∫x0s′(t)dt=∫x011-tdt,x∈[-1,1),

    即s(x)-s(0)=-ln(1-x),x∈[-1,1),

    又s(0)=0,所以s(x)=-ln(1-x),x∈[-1,1).

    例5求幂级数∑∞n=1x3n+13n+1的和函数.

    解limn→∞x3n+43n+4x3n+13n+1=limn→∞3n+13n+4|x3|=|x3|=|x|3.

    当|x|3<1,即|x|<1时,级数收敛;当|x|3>1,即|x|>1时,级数发散.所以收敛半径R=1.

    当x=-1时,级数成为∑∞n=1(-1)3n+13n+1=∑∞n=1(-1)2n·(-1)n+13n+1=∑∞n=1(-1)n+13n+1,是收敛的交错级数;当x=1时,级数成为∑∞n=113n+1,是发散的.因此收敛域为[-1,1).

    设s(x)=∑∞n=1x3n+13n+1(-1≤x<1),

    则s′(x)=∑∞n=1x3n+13n+1′=∑∞n=1x3n=x31-x3(-1≤x<1).

    对上式从0到x积分,得∫x0s′(t)dt=∫x0t31-t3dt,(-1≤x<1),

    即s(x)-s(0)=∫x0t31-t3dt,

    从而可知s(x)=-x-13ln(1-x)+16ln(1+x+x2)+

    33arctan233x+33-3π18(-1≤x<1).

    例6求幂级数∑∞n=0(2x+1)nn+1的和函数.

    解令t=2x+1,题设级数变为∑∞n=0tnn+1.

    因为limn→∞an+1an=limn→∞n+1n+2=1,所以收敛半径R=1.

    当t=-1时,级数成为∑∞n=0(-1)nn+1,是收敛的交错级数;当t=1时,级数成为∑∞n=01n+1,是发散的.因此-1≤t<1,

    从而∑∞n=0(2x+1)nn+1的收敛域为[-1,0),设s(x)=∑∞n=0(2x+1)nn+1(-1≤x<0).

    记s1(t)=∑∞n=0tnn+1,于是ts1(t)=∑∞n=0tn+1n+1.

    上式兩边同时对t求导,得

    [ts1(t)]′=∑∞n=0tn+1n+1′=∑∞n=0tn=11-t(-1≤t<1).

    再对上式从0到t积分,得

    ts1(t)=∫t011-hdh=-ln(1-t)(-1≤t<1).

    当t≠0时,有s1(t)=-1tln(1-t).而s1(0)=1,

    所以s1(t)=-1tln(1-t),t∈[-1,0]∪(0,1),

    1,t=0.

    故s(x)=-12x+1ln(-2x),x∈-1,-12∪-12,0,

    1,x=-12.

    总结:∑x△△,其中△为n的多项式,如n+1,2n-1,4n+1等,求幂级数和函数都可以采用此方法.如例6是变形后也是这一类.

    上面选择的六个例题很具有代表性,不仅能体现怎么求幂级数的和函数,还综合考查了积分的求法(如换元积分法、有理函数的积分都用到了)以及幂级数怎样求收敛域的所有类型.

    【参考文献】

    [1]同济大学数学系.高等数学(下册)[M].北京:高等教育出版社,2014.

    [2]常庚哲,史济怀.数学分析教程(下册)[M].合肥:中国科学技术大学出版社,2002.

    [3]隋如彬.微积分[M].北京:科学出版社,2012.

    [4]同济大学数学系.高等数学习题全解(下册)[M].北京:人民邮电出版社,2017.

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更新时间:2025/3/14 8:41:50