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一道高考选择题的思考与拓展

范文

左金辉沈文炳

摘? 要：运用能量守恒定律和微分知识拓展2015年全国高考试卷Ⅱ的理综第21题，并运用GeoGebra软件直观呈现相应的图像，有助于学生从定性和定量的角度理解该试题的情境。

关键词：关联运动;微分知识;GeoGebra软件

中图分类号：G633.7 文献标识码：A? ? ?文章编号：1003-6148（2019）10-0040-2

2015年全国高考试卷Ⅱ的理综部分第21题涉及到两个物体的关联运动，过程复杂，学生难以理解。本文尝试从多角度分析和拓展试题，并借助GeoGebra软件直观呈现，有助于培养学生对复杂问题的理解能力。

1? ? 从运动和能量角度分析试题

例1 如图1，滑块a、b的质量均为m，a套在固定直杆上，与光滑水平地面相距h，b放在地面上，a、b通过铰链用刚性轻杆连接，由静止开始运动。不计摩擦，a、b可视为质点，重力加速度大小为g。则（? ? ?）

A.a落地前，轻杆对b一直做正功

B.a落地时速度大小为

C.a下落过程中，其加速度大小始终不大于g

D.a落地前，当a的机械能最小时，b对地面的压力大小为mg

解析由于滑块b向右先加速、后减速到零，轻杆对滑块b的作用力先为推力、后为拉力，故轻杆对滑块b先做正功、后做负功，选项A错误。滑块a下落过程，对滑块a和b整体分析，滑块b的初、末速度为零，滑块a的末速度为v，滑块a重力势能的减少等于滑块a动能的增加，故mgh=mv2，即选项B正确。在轻杆对滑块b的力由推力变为拉力过程中，必有一个位置轻杆对滑块b的作用力为零，此时滑块a的加速度为g。当滑块a落地前瞬间，滑块a的加速度为g。则滑块a的加速度先增加到大于加速度g，然后減小到g。选项C错误。当滑块b速度最大时机械能最大，此时滑块a的机械能最小，轻杆对滑块b的作用力为零，故滑块b对地面的压力大小为mg。

2? ? 运用数学和图像拓展分析

拓展1 滑块b的最大速度为多大？

解析设轻杆长为L，初始轻杆与水平面夹角为θ0。轻杆与水平地面夹角为θ时，滑块a速度为v1，滑块b速度为v2。由速度关联有v1sinθ=v2cosθ。由机械能守恒定律有mgL（sinθ-sinθ）=mv+mv，得v2=sinθ，也可以表达成v2=。由于（sinθ0-sinθ）++=sinθ0，故当sinθ0-sinθ=，即sinθ=sinθ0时，滑块b速度v2有最大值sinθ0。

拓展2 滑块a、b在运动过程中速度随角度θ怎么变化？

解析由上述关系可以求出滑块a的速度：

v1=cosθ

为了简单，令滑块质量m=0.1 kg、轻杆长度L=0.1 m、重力加速度g=10 m/s2、初始角度θ0=。作出滑块a、b的速度与角度的关系图像（如图2），其中图线1和图线2分别为滑块a和滑块b的速度与角度的关系图线。从图像可以看出，滑块a的速度从零逐渐加速到最大速度0.93 m/s;滑块b速度先增大后减小，当θ=0.62 rad，即θ=35.5°时，最大速度为0.31 m/s。

拓展3 滑块a、b在运动过程中加速度随θ怎么变化？

解析如图3，以轻杆和地面接触点为原点O，沿水平向右建立x轴，沿竖直向上建立y轴。滑块a的坐标为（0，y），其中y=Lsinθ。滑块b的坐标为（x，0），其中x=Lcosθ。则滑块a、b的速度分别为=Lcosθ和=-Lsinθ。而由能量关系已求出v2=，故可求出2=（sinθ0-sinθ），=-cosθ。滑块a和b的加速度分别为=L（-2sinθ+cosθ）和=-L（-2cosθ+sinθ）。则滑块a和滑块b的加速度分别为a1=g（3sin2θ-2sinθ0sinθ-1）和a2=gcosθ（3sinθ-2sinθ0）。作出其图像如图4所示，其中图线1和图线2分别表示滑块a和滑块b的加速度与角度的关系图线。滑块a一直向下加速，加速度从2.5 m/s2逐渐增大到12.5 m/s2，然后减小到10 m/s2。当θ=35.5°时，加速度为10 m/s2。滑块b先向右加速，后向右减速，加速度大小从4.33 m/s2逐渐减小到0，然后反向增加到17.32 m/s2。当θ=35.5°时，加速度为0。

拓展4? 轻杆的弹力随θ怎么变化？

解析设轻杆对滑块b的力为F，由Fcosθ=ma2，得F=（3sinθ-2sinθ0）mg。作出图像如图5所示。由图线可知，轻杆的弹力从0.86 N逐渐减小为0，然后反向逐渐增大到1.73 N。当θ=35.5°时，弹力为0。

3? ? 结束语

本文通过机械能守恒定律和微分知识求解出两个连接体的速度、加速度和力随角度的变化过程，增强了学生对试题的理解。由于高中数学已经引入了微积分初步，应用微积分知识和物理规律求解复杂问题的速度、加速度和力的变化成为可能。应用GeoGebra软件呈现复杂表达式，有助于学生直观理解物体运动的宏观和微观过程。这都有利于帮助学生理解复杂问题，培养解决复杂问题的能力。

（栏目编辑? ? 陈? 洁）

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