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圆锥曲线极值求解方法的比较分析

范文

刘蓓赵世恩

【摘要】在中学和大学阶段的解析几何学习中，经常会涉及一些求极值的问题.圆锥曲线的知识点繁多、复杂，求解圆锥曲线极值时，综合性强、难度较大，这导致学生对圆锥曲线极值求解的问题常感到束手无策.该类问题考查学生综合运用数学知识、数学思想的能力.本文首先通过典型题目，对圆锥曲线的极值问题的求解方法和过程进行探究，然后对其运用的数学思想进行深入的剖析，最后通过比较中学和大学阶段对于解决圆锥曲线极值问题的共同点和差异点，促进学生在数学知识体系上的运用和衔接.【关键词】高中数学;高等数学;极值点;拉格朗日乘数法

1 引言

圆锥曲线极值问题可以帮助学生理解算法的由来、培养学生的数学运算思维、提高学生的计算能力.学生进行中学初等数学的学习时，可运用二次函数法、圆锥曲线基本定义对题目做最简单的分析.

大学高等数学的极值求解问题早已形成了成熟的数学理论.求解曲线的极值存在难度是因其中一些参数存在各种约束条件，并不直接给出;求解条件极值常与微积分相联系，通过转化为求辅助函数的普通极值构建相关数学模型.

2 圆锥曲线极值求解的数学方法与思路

本文将通过两道例题以及高中、大学教材中对于极值求解问题知识点的对比分析和方法运用，展开对中学、大学阶段的圆锥曲线极值问題的解题方法、策略和蕴含的数学思想方法进行深入的剖析.结合实例参照拉格朗日乘数法对几种方法加以对比，找到解析几何在中学、大学阶段的异同之处.

2.1 中学阶段学生对圆锥曲线极值求解的认知水平

中学阶段的解析几何题目具有很强的规律性，若想求出目标函数与已知圆锥曲线的极值点之间的隐含的等量关系，需运用方程思想联立曲线与直线方程得到交点.在求解圆锥曲线的最值、定值等难题的过程中，学生需灵活掌握：

（1）直线与圆锥曲线的三种位置关系：相离、相交和相切;（2）从代数角度，根据直线方程和圆锥曲线方程组成的方程组解的个数确定位置关系;（3）熟记平面解析几何弦长公式、韦达定理及相关定义，并能够灵活运用.

2.2 大学阶段学生对于圆锥曲线极值求解的认知水平

大学的高等数学中的解析几何不再仅仅是图形分析，而是利用拉格朗日乘数法上升到了空间层面，加强了空间想象能力，构建了完整的数学体系;在中学解方程组的基础上学生要能够自己构建辅助函数，同时大学阶段的高等数学加强了对多元函数、隐函数的理解，要求学生提高求解联立方程组的能力.

求解圆锥曲线极值问题在中学与大学阶段运用数学概念和方法的比较见表1.

3 圆锥曲线极值求解方法的异同

求解中学数学直线与圆锥曲线的位置关系，可归结为求解直线与圆锥曲线的交点问题，抓住变化的量，将几何问题转化为代数问题，从而正确解题.

高等数学和初等数学的最大区别首先在于高等数学是以变量为研究对象，而初等数学是以常量为研究对象的.其次初等数学的解题方法技巧性强，但高等数学强调的是思想、概念，追求的是统一的方法，具有较强的工具性.

在圆锥曲线的极值求解的题目中，很多条件通过隐含条件推导出来，故而出现多种变量，多次方程，同时计算量加大，但是若能清晰地知道其中的由来，理清思路，正确计算辅助方程，解题就会容易很多.学生要学会运用不同的方法分析、总结同一类问题，这样便可以找到最佳的解题路径，提高效率.

4 结论

不论是中学数学还是大学数学的解题方法都反映了解析几何的本质——几何问题代数化.学生在高中数学学习中通过对类似于这类问题的深度探究，不仅可找到解决此类问题的关键数学思想——坐标化和运动变化，而且可以提高其对极值求解的综合运用能力.

中学求解极值的方法在解答圆锥曲线一类问题时具有一定的基础性，大学中的曲线方程的极值求解则更具有一般性、系统性.教师唯有让学生以更宽广的思维去理解高中数学课程下“圆锥曲线”的知识内容，才能激发学生的思考方式，从而帮助学生在深层次上掌握和运用数学知识，提高学生分析、解决问题的能力.

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