标题 | 积分第一中值定理的推广研究 |
范文 | 摘 要:伴随时代的不断发展,数学同样在快速进步。积分中值定理对于微积分的学习有着非常重要的作用。本文就积分第一中值定理的推广进行深入地研究。 关键词:积分第一中值定理;推广;应用 DOI:10.16640/j.cnki.37-1222/t.2019.13.197 1 积分第一中值定理 定理1 如果在上连续,那么至少有一点,使得: 证 因为在上连续,所以其有最小值与最大值。由: 运用积分不等式性质可得: 根据连续函数的介值性可知,至少有一点,使得: 定理2 如果在上连续,那么至少有一点,使得: 证 因为在上连续,繼而在上可积。将其原函数定位,那么按照存在定理便能够获悉,在上连续,同时在上可导,依据拉格朗日中值定理可知存在一点使得: 可得: 2 积分第一中值定理的推广 2.1 积分第一中值定理的改进 定理3 如果在上连续,那么至少有一点,使得: 成立。 证明:令,由于在上连续,因此在上连续,在内可导,同时可得,对在内由拉格朗日微分中值定理得:至少有一点,使得: 即 例1 若上连续,非负,严格单调减函数,证明: 证明:根据定3可得: (2-1) (2-2) 根据公式(2-1)、(2-2)两边乘以得: 由于,因此,又因在内连续,非负函数, 因此 。 2.2 推广的积分第一中值定理的改进 定理4 如果、在内连续,同时在内不变号,那么至少有一点,使得: 证明:假设满足,则: (1) 在时,以上等式成立。 (2)在不恒等于0时,那么至少有一点,使得,由连续性知。 又因在内连续,进而必然存在着最小值与最大值,即: 进而 (2-3) 1)假设公式(2-3)中左边等号成立,也就是: (2-4) 或者 在内连续,同时,那么在内便有。 由于不恒等于0,因此必然有一点,使得,即,那么在上至少有一点使。 依据公式(2-4)得。 2)假设(2-3)右边等号成立,同理也可证得结论成立。 3)假设(2-3)严格不等式成立, 即: 因为,则有: 由连续函数的介质性定理知在上至少存在一点使得: 或 因此能够证明定理2成立。 3 结论 综上所述,本文针对积分第一中值定理的定义、改进以及推广等进行了详细的研究,使得人们对积分第一中值定理有了大概的了解。 参考文献: [1]郑权.积分第一中值定理中间点的一般渐近性质与求积公式[J].大学数学,2004(12). [2]杨雅迪.关于积分第一中值定理推广的探讨[J].科技信息,2010 (10). 作者简介:黄瑞芳(1980-),女,河南新郑人,硕士研究生,讲师,研究方向:数学。 |
随便看 |
|
科学优质学术资源、百科知识分享平台,免费提供知识科普、生活经验分享、中外学术论文、各类范文、学术文献、教学资料、学术期刊、会议、报纸、杂志、工具书等各类资源检索、在线阅读和软件app下载服务。