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标题 积分第一中值定理的推广研究
范文

    摘 要:伴随时代的不断发展,数学同样在快速进步。积分中值定理对于微积分的学习有着非常重要的作用。本文就积分第一中值定理的推广进行深入地研究。

    关键词:积分第一中值定理;推广;应用

    DOI:10.16640/j.cnki.37-1222/t.2019.13.197

    1 积分第一中值定理

    定理1 如果在上连续,那么至少有一点,使得:

    证 因为在上连续,所以其有最小值与最大值。由:

    运用积分不等式性质可得:

    根据连续函数的介值性可知,至少有一点,使得:

    定理2 如果在上连续,那么至少有一点,使得:

    证 因为在上连续,繼而在上可积。将其原函数定位,那么按照存在定理便能够获悉,在上连续,同时在上可导,依据拉格朗日中值定理可知存在一点使得:

    可得:

    2 积分第一中值定理的推广

    2.1 积分第一中值定理的改进

    定理3 如果在上连续,那么至少有一点,使得:

    成立。

    证明:令,由于在上连续,因此在上连续,在内可导,同时可得,对在内由拉格朗日微分中值定理得:至少有一点,使得:

    即

    例1 若上连续,非负,严格单调减函数,证明:

    证明:根据定3可得:

    (2-1)

    (2-2)

    根据公式(2-1)、(2-2)两边乘以得:

    由于,因此,又因在内连续,非负函数,

    因此 。

    2.2 推广的积分第一中值定理的改进

    定理4 如果、在内连续,同时在内不变号,那么至少有一点,使得:

    证明:假设满足,则:

    (1) 在时,以上等式成立。

    (2)在不恒等于0时,那么至少有一点,使得,由连续性知。

    又因在内连续,进而必然存在着最小值与最大值,即:

    进而 (2-3)

    1)假设公式(2-3)中左边等号成立,也就是:

    (2-4)

    或者

    在内连续,同时,那么在内便有。

    由于不恒等于0,因此必然有一点,使得,即,那么在上至少有一点使。

    依据公式(2-4)得。

    2)假设(2-3)右边等号成立,同理也可证得结论成立。

    3)假设(2-3)严格不等式成立, 即:

    因为,则有:

    由连续函数的介质性定理知在上至少存在一点使得:

    或

    因此能够证明定理2成立。

    3 结论

    综上所述,本文针对积分第一中值定理的定义、改进以及推广等进行了详细的研究,使得人们对积分第一中值定理有了大概的了解。

    参考文献:

    [1]郑权.积分第一中值定理中间点的一般渐近性质与求积公式[J].大学数学,2004(12).

    [2]杨雅迪.关于积分第一中值定理推广的探讨[J].科技信息,2010

    (10).

    作者简介:黄瑞芳(1980-),女,河南新郑人,硕士研究生,讲师,研究方向:数学。

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更新时间:2025/3/11 23:41:28