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标题 (根号5),(根号13),(根号21),(根号29)等都是无理数的统一证明
范文 黄兆麟


本文仅从整数的奇偶性上引出矛盾,利用反证法给出5,13,21,29等数均为无理数的统一证明,供同学们参考.
定理 若p是自然数,则8p+5是无理数.
证明 假设8p+5是有理数,即有8p+5=mn(mn是既约分数),
则有(8p+5)n2=m2……(1)
[1]假设m与n均为偶数,则恰与mn为既约分数矛盾!故假设[1]不真!
[2]假设m与n的奇偶性不同,由于8p+5始终为奇数,则(1)式左右两边的奇偶性将始终不同,从而矛盾!故假设[2]也不真!
[3]假设m与n均为奇数(m>n),则m+n与m-n均为偶数!
故此时可设m+n=2r,m-n=2s(r,s∈N*,r>s),那么可将(1)式变形为
4(2p+1)n2=(m+n)(m-n),
即有(2p+1)n2=rs……(2)
显然(2)式左边为奇数!那么可知r与s必同时为奇数!这将导致
m=r+s,n=r-s,即m与n均为偶数!恰与开始的“[3]假设m与n均为奇数”矛盾!故假设[3]也不真!
综合假设[1]、[2]、[3]均不真,知8p+5=mn不真,故知8p+5是无理数.
练习 若p是自然数,则8p+2,8p+3,8p+6均为无理数.
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更新时间:2025/3/10 11:01:42