标题 | 一道课本例题引出神奇圆锥曲线的三个美妙结论 |
范文 | 武增明 人教2007年1月第2版,普通高中课程标准实验教科书A版,数学选修44,坐标系与参数方程,第38页例4: 图1如图1所示,AB,CD是中心为点O的椭圆的两条相交弦,交点为P.两弦AB,CD与椭圆长轴的夹角分别为∠1,∠2,且∠1=∠2.求证:|PA|·|PB|=|PC|·|PD|. ![]() 笔者在探究此例题的解答思路时,看到|PA|·|PB|=|PC|·|PD|非常像圆的相交弦定理,由此想到,若A,B,C,D四点共圆, 则|PA|·|PB|=|PC|·|PD|.进一步思考,又看到∠1,π-∠2分别是直线AB,CD的倾斜角.再结合课本中给出的此例题的解答,通过计算可知,如图1,若A,B,C,D四点共圆,那么∠1+(π-∠2)=π,即直线AB与直线CD的倾斜角互补,由此得,直线AB与直线CD的斜率互为相反数.再进一步深入探究,发现如下神奇圆锥曲线的三个美妙结论. 结论1如果一个椭圆与一个圆相交于A,B,C,D四点,那么四边形ABCD的对边所在的直线的斜率互为相反数,两条对角线的斜率互为相反数. 证明不妨设椭圆的方程为 x2a2+y2b2=1(a>b>0).① 若圆的圆心在原点O,如图2,则由椭圆和圆的对称性可知,四边形ABCD是矩形,从而直线AD,BC的斜率都不存在,直线AB,DC的斜率都为O,直线AC与直线BD的斜率互为相反数. 图2图3若圆的圆心不在原点O,如图3. 下面证明直线AD与直线BC的斜率互为相反数. 设直线AD与直线BC交于点P,设P(x0,y0),设直线AD,BC的倾斜角分别为α,β,则直线AD的参数方程为 直线AD与直线BC的斜率都不存在. ![]() 若α=π-β,则直线AD与直线BC的斜率互为相反数. 证明直线AB与直线CD的斜率互为相反数,直线AC与直线BD的斜率互为相反数的方法仿上述证明直线AD与直线BC的斜率互为相反数,证明过程略. 结论2如果一个双曲线与一个圆相交于A,B,C,D四点,那么四边形ABCD的对边所在的直线的斜率互为相反数,两条对角线的斜率互为相反数. 结论3如果一条抛物线与一个圆相交于A,B,C,D四点,那么四边形ABCD的对边所在的直线的斜率互为相反数,两条对角线的斜率互为相反数. 结论2、结论3的证法仿上述结论1,在这里略. ![]() 上述结论可统一为,如果A,B,C,D是圆锥曲线上任意四点,且四点共圆,那么四边形ABCD的对边所在的直线的斜率互为相反数,两条对角线的斜率互为相反数. 说明笔者查阅了大量的资料,没有找到上述结论的证明记录.在2013年11月第1版,闻杰老师编著的《神奇的圆锥曲线与解题秘诀》一书中的第140页,用动态课件探究出了上述结论,但没有给出证明. |
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