标题 | 两个含余弦函数的三角母不等式及其推论 |
范文 | 黄兆麟 笔者最近得到两个含余弦函数的“三角母不等式”,然后利用它们给出一些有趣的三角子不等式,供读者欣赏. 定理1在任意△ABC中,若A≥B≥C,且实数x,y,z满足x≥y≥z及y≥0,则有 ![]() x+y+z≥2(xcosA+ycosB+zcosC)(*) 证当A≥B≥C时,此时就有 12-cosA≥0,同时12-cosC≤0, 又设不等式(*)左右之差为M,那么 ![]() M=2x(12-cosA)+2y(12-cosB)+2z(12-cosC)≥2y(12-cosA)+2y(12-cosB)+2y(12-cosC)=2y(32-cosA-cosB-cosC)≥0. 即定理1成立.当且仅当A=B=C=π3时不等式取等号. 以上证明过程用到了一个熟知的不等式cosA+cosB+cosC≤32. 与定理1完全类似,我们还可轻松证明如下类似的定理2(其证明略). 定理2在任意△ABC中,若A≥B≥C,且实数x,y,z满足x≥y≥z及y≥0,则有 x+y+z≥23(xcosA2+ycosB2+zcosC2)(*′) 以下给出两个定理的几个有趣推论. 推论1在任意△ABC中,有 sinA+sinB+sinC≥sin2A+sin2B+sin2C(1) 证当A≥B≥C时,取x=sinA,y=sinB,z=sinC,即满足定理1条件, 代入不等式(*)立得sinA+sinB+sinC≥sin2A+sin2B+sin2C, 即当A≥B≥C时不等式(1)成立,又不等式(1)是完全对称不等式, 故不等式(1)对任意△ABC均成立. 推论2在任意△ABC中,有 a2b2c2+b2c2a2+c2a2b2+1bc+1ca+1ab≥ 2a2+2b2+2c2(2) 证当A≥B≥C时,取x=1bc,y=1ca,z=1ab,即满足定理1条件, 代入不等式(*)并利用余弦定理整理可得 a2b2c2+b2c2a2+c2a2b2+1bc+1ca+1ab≥ 2a2+2b2+2c2, 即当A≥B≥C时不等式(2)成立,又不等式(2)是完全对称不等式, 故不等式(2)对任意△ABC均成立. 推论3在任意△ABC中,若指数p>0,则有 secpA2+secpB2+secpC2≥23(secp-1A2+secp-1B2+secp-1C2)(3) 证当A≥B≥C且p>0时,取x=secpA2,y=secpB2,z=secpC2即满足定理2条件, 代入不等式(*′)整理即得 secpA2+secpB2+secpC2≥23(secp-1A2+secp-1B2+secp-1C2), 即当A≥B≥C时不等式(3)成立,又不等式(3)是完全对称不等式, 故不等式(3)对任意△ABC均成立. 推论4(欧拉不等式的加强) 若a,b,c,Δ,R,r分别为△ABC的三边长,面积,外接圆半径和内切圆半径,则有 Rr≥3213sinAsinBsinCsinA2sinB2sinC2≥2(4) 证当A≥B≥C时,取x=a,y=b,z=c,即满足定理2条件,代入不等式(*′), 且右边利用三角形面积公式 2Δ=bcsinA=casinB=absinC=(a+b+c)r整理可得a+b+c≥23(acosA2+bcosB2+ccosC2) =23(acosA2bcsinA+bcosB2casinB+ccosC2absinC)(a+b+c)r, 上式再利用正弦定理及三元均值不等式整理可得Rr≥13(cosA2sinBsinC+cosB2sinCsinA+cosC2sinAsinB) ≥3213sinAsinBsinCsinA2sinB2sinC2≥2, 即当A≥B≥C时不等式链(4)成立,又由不等式链(4)的完全对称性,知欧拉不等式加强链(4)对任意△ABC均成立. 以上证明过程用到了两个熟知的三角不等式 sinAsinBsinC≤338,sinA2sinB2sinC2≤18. 推论5(外森比克不等式) 若a,b,c,Δ分别为△ABC的三边长及面积,则有a2+b2+c2≥43Δ(5) 证当A≥B≥C时,取x=a2,y=b2,z=c2,即满足定理2条件,代入不等式(*′)并利用三元均值定理等三角公式可得 a2+b2+c2 ≥23(a2cosA2+b2cosB2+c2cosC2) =4Δ3(a2cosA2bcsinA+b2cosB2casinB+c2cosC2absinC) ≥4Δ3·3318sinA2sinB2sinC2≥43Δ, 即当A≥B≥C时不等式(5)成立,又由不等式(5)的完全对称性,知外森比克不等式(5)对任意△ABC均成立. 以上证明过程用到了一个熟知的三角不等式sinA2sinB2sinC2≤18. 1938年,著名几何学家费恩斯列尔—哈德维格尔(Finsler—Hadwiger)提出并证明了如下经典不等式:设a,b,c,Δ分别为△ABC的三边长及面积,则有a2+b2+c2≥43Δ+(b-c)2+(c-a)2+(a-b)2. 本文将其加强为如下 推论6(费—哈不等式的加强式) 若a,b,c,Δ分别为△ABC的三边长及面积,则有a22sinA2+b22sinB2+c22sinC2≥43Δ+(b-c)22sinA2 +(c-a)22sinB2+(a-b)22sinC2(6) 注释注意到有 ∑a2-∑(b-c)2=2∑bc-∑(b2+c2-a2)=2∑bc-∑2bccosA=4∑bcsin2A2. 即费—哈不等式有等价的三角形式 4(bcsin2A2+casin2B2+absin2C2)≥43Δ. 那么不等式(5)就对应有等价的三角形式 2(bcsinA2+casinB2+absinC2)≥43Δ(6′) 又我们可以证明4∑bcsin2A2≥2∑bcsinA2, 故不等式(6)是费—哈不等式的一种加强.下面利用定理2证明推论6的等价不等式(6′) 证当A≥B≥C时,取x=2ΔcosA2,y=2ΔcosB2,z=2ΔcosC2,即满足定理2条件,代入不等式(*′)整理即得不等式(6′),即当A≥B≥C时不等式(6′)成立,又不等式(6′)是完全对称不等式,故不等式(6′)对任意△ABC均成立,从而推论6成立. 最后读者可以自行赋予满足定理条件的x,y,z的值,得到自己喜爱的结论. 参考文献 [1]赵强,董林.与三角形相关的一个代数不等式及其若干推论[J].中学数学杂志.2016,(3). |
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