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标题 解决高考排列问题的“四项基本原则”
范文 任烜池
“重复”或者“遗漏”是排列题目常出现的错误,原因是对题目条件的信息理解不透彻.本文结合近几年的高考题给出处理排列问题的“四项基本原则”,运用这些“原则”处理高考排列问题,可以取得思路清晰、解答准确的效果.不揣浅陋,就教于老师们.
1插空原则
对于要求某些元素不相邻的问题,可以将其它元素“安置”好,然后将被要求不相邻的元素进行“插空”.
例1(2013年全国大纲版)6个人排成一行,其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有种.(用数字作答).
解析除甲、乙外,其余四个人的排列有A44种.四个人排好后,他们之间有5个空位,只要把甲、乙插入其中两个空位即可,也就是从这5个位置中选两个给甲乙占有,考虑到顺序共有A25种排法.那么符合条件的排法有A44A25=480种.
评注从四个元素之间选择位置,保证了甲、乙两个元素不相邻要求的满足.
练习1(2010年北京)8名学生和2位老师站成一排合影,2位老师不相邻的排法种数为( )
A.A88A29B.A88C29C.A88A27D.A88C27
答案A.
练习2(2008年浙江改编)用1,2,3,4,5,6组成六位数(没有重复数字),要求任何相邻两个数字的奇偶性不同,这样的六位数的个数是 (用数字作答).
答案144.
2优“限”原则
排列问题的要素有两个:一是元素,二是位置.对于有限制条件的元素或者位置,解答时应优先予以考虑.
例2(2016年四川)用数字1,2,3,4,5构成没有重复数字的五位数,其中奇数的个数为( )
A.24 B.48C.60D.72
解析1从有限制条件的元素看:题目要求排列的没有重复的五位数字是奇数,从元素的角度考虑,需要1,3,5这三个数字需要有一个数字排在个位上,除此之外对其他元素没有特殊要求,因此,我们可以先从1,3,5中选一个排在个位,其余的元素全排列即可,即有奇数A13A44=72,选D.
评注给每个有限制条件的元素找到合适的位置,问题也就解决了.
解析2从有限制条件的位置看:题目要求排列的没有重复的五位数字是奇数,从位置的角度考虑,需要个位上排一个奇数,其它位置没有特殊要求,因此,我们可以先从1,3,5中选一个排在个位上,其余的位置全排列即可,即有奇数A13A44=72,选D.
评注把所有有限制的位置安排完毕,问题也就得以解决了.值得说明的是,根据相对性,优先考虑限制位置和优先考虑限制元素在计算上可能相同,但从思考问题的角度却截然不同.
练习1(2009年北京)用0到9这10个数字,可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为( )
A.324B.328C.360D.648
答案B.
练习2(2010年山东)某台小型晚会由6个节目组成,演出顺序有如下要求:节目甲必须排在前两位,节目乙不能排在第一位,节目丙必须排在最后一位,该台晚会节目演出顺序的编排方案共有( )
A.36种B.42种
C.48种D.54种
答案B.
3整体性原则
对于要求某些元素必须相邻,或者有顺序及间隔位置有要求的问题,可以进行整体考虑.
例3(2012年辽宁理科)一排9个座位坐了3个三口之家,若每家人坐在一起,则不同的坐法种数为( )
A.3×3! B. 3×(3!)3
C.(3!)4 D. 9!
解析由于是每家人坐在一起,我们不妨把每家人看成一个整体,那三家人就是三个“大元素”,排列方法共有A33种,考虑到每家人之间的排列顺序都有A33种,则所有的坐法有A334=3!4,选C.
评注除了将每家人看成一个整体外,每家人内部的排列不能遗漏.
练习(2007年北京理科)记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照,要求排成一排,2位老人相邻但不排在两端,不同的排法共有( )
A.1440种B.960种
C.720种 D.480种
答案B.
4正难则反的原则
对于某些问题正面考虑比较复杂时,可以考虑排除不符合条件的“反面”的情况.
例4(2013年山东理科)用0,1,…,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为()
A.243B.252C.261D.279
解析根据优“限”原则,十个数字取三个组成三位数有9×10×10=900个,而组成无重复数字的三位数共有A19A29个,所以十个数字可以组成有重复数字的三位数的个数为900-A19A29=252,选B.
评注如果此题从正面处理非常复杂,考虑其反面则变得简洁自然.正面信息或者限制条件越是复杂的问题,其反面问题往往越简单明了.这个原则在解答“至多、至少”这类问题时效果更明显.
练习1(2009年湖北)将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班,每个班至少分到一名学生,且甲、乙两名学生不能分到同一个班,则不同分法的种数为( )
A.18B.24C.30D.36
答案C.
练习2(2010年湖南理科)在某种信息传输过程中,用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息,不同排列表示不同信息,若所用数字只有0和1,则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为( )
A.10 B.11C.12D.15
答案选B.
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更新时间:2024/12/23 9:47:41