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标题 内外角关系的一般性结论
范文 张小川
《中学数学杂志》2017年第8期刊登了安徽华兴恒老师《三角形内外角关系的拓展与证明》（以下简称文[1]），笔者在认真研读期刊时，想到了更一般性的结论，并拓展到二次平分∠ABC、∠ACB、四次平分∠ABC、∠ACB……在此整理成文，供读者参考.
图1图2图3图4为使读者能清楚本文结论的一般性，先简要介绍文[1]中的结论：（1）如图1，OB，OC是角平分线，有∠O=90°+12∠A；（2）如图2，OB平分∠DBC，OC平分∠ECB，有∠O=90°-12∠A；（3）如图3，OB平分∠ABC，OC平分∠ACD，有∠O=12∠A；（4）如图4，DB、EB、DC、EC三等分∠ABC和∠ACB，有∠D=23×180°+13∠A，∠E=13×180°+23∠A.

在上述结论的基础上，笔者想到了更一般性的结论.
结论1如图5，三角形两个内角的n等分线相交所成的角与第三个角的关系是∠BOn-1C=1n×180°+n-1n∠A.
如图5，在△ABC中，∠ABC的n等分线和∠ACB的n等分线相交，交点依次为O1，O2，…，On-1，计算∠BO1C，∠BO2C，…，∠BOn-1C与∠A的关系.

图5图6方法1如图5，在△BO1C中，根据内角和计算∠BO1C的值.
∠BO1C=180°-1n∠ABC+ACB，∠BO1C=180°-1n180°-∠A，化简得，∠BO1C=1-1n×180°+1n∠A即.∠BO1C=n-1n×180°+1n∠A.
同理：∠BO2C=n-2n×180°+2n∠A.
……
∠BOn-1C=1n×180°+n-1n∠A.
方法2
如图6，可以根据三角形的外角等于不相邻的两个内角的和来计算∠BO1C的值.延长BO1交AC于点E，∠BO1C是△CEO1的一个外角，所以∠BO1C=∠BEC+∠ECO1.分别计算∠BEC和∠ECO1的值就可以知道∠BO1C的值.
读者可以自行补充完整，在此不再赘述.
图7结论2如图7，三角形两个外角的n等分相交所成的角与不相邻内角的关系是∠BOn-1C=1n×180°-n-1n∠A.
如图7，∠DBC和∠ECB是△ABC的两个外角，这两个外角的n等分线相交，交点分别为O1，O2，…，On-1，计算∠BO1C，∠BO2C，…，∠BOn-1C与∠A的关系.

方法1如图7，分别在△BO1C、△BO2C、…、△BOn-1C中，根据内角和计算.
在△BO1C中，∠BO1C=180°-（∠CBO1+∠BCO1），也就∠BO1C=180°-1n（∠CBD+∠ECB），因为要计算∠BO1C与∠A的关系，可以将∠CBD替换为∠A+∠ACB，将∠ECB替换为∠A+∠ABC，这时∠BO1C=180°-1n2∠A+∠ACB+∠ABC.
也就是
∠BO1C=180°-1n2∠A+180°-∠A，
化简得∠BO1C=n-1n×180°-1n∠A，
同理，∠BO2C=n-2n×180°-2n∠A
……
∠BOn-1C=1n×180°-n-1n∠A.
图8方法2如图8，可以作出相邻内角的n等分线，根据四边形内角和解答.
作出∠ABC和∠ACB的n等分线，相交于点P1，P2，…
在四边形BO1CP1中，四边形BO1CP1的内角和：∠BP1C+∠P1BO1+∠P1CO1+∠BO1C=360°，所以∠BO1C=n-1n×180°-1n∠A，…，∠BOn-1C=1n×180°-n-1n∠A.
结论3如图9，三角形的一个内角、不相邻外角的n等分线相交所成的角与第三个角的关系是∠BOn-1C=n-1n∠A.
图9如图9，∠ABC的n等分线和∠ACD的n等分线相交，交点分别为O1，O2，…，On-1，计算∠BO1C，∠BO2C，…，∠BOn-1C与∠A的关系.
方法1根据三角形的外角等于不相邻的两个内角的和计算.
∠O1CD是△BO1C的一个外角，所以∠BO1C+∠O1BC=∠O1CD.
因为∠O1BC=1n∠ABC，∠O1CD=1n∠ACD，所以∠BO1C+1n∠ABC=1n∠ACD，
所以∠BO1C=1n∠ACD-∠ABC，∠ACD是△ABC的外角，可以將∠ACD替换为∠A+∠ABC，此时∠BO1C=1n∠A+∠ABC-∠ABC.
化简得，∠BO1C=1n∠A.
同理∠BO2C=2n∠A，…，∠BOn-1C=n-1n∠A.
方法2如图10，可以作辅助线将∠BO1C，∠BO2C，…，∠BOn-1C放在三角形中，根据外角来计算.
作∠ACB的1n等分线CE，交BO1于点F.
图10∠BFC是△FCO1的外角，所以∠BFC=∠BO1C+∠FCO1，所以∠BO1C=∠BFC-∠FCO1.前文已经计算出∠BFC=n-1n×180°+1n∠A.

只需计算出∠FCO1就能知道∠BO1C的值.
评注上述三个结论，在解答时用到的知识主要包括三角形内角和、三角形的外角、四边形的内角和，虽然难度不大，却更具有一般性.
上述三个结论是分别作出了角的n等分线，如果拓展到分别作出角的2、4、8…等分线时，又会有什么样的结论呢，下面分别计算三种情况.
图11拓展1如图11，在△ABC中，
O1B平分∠ABC，O1C平分∠ACB；
O2B平分∠O1BC，O2C平分∠O1CB；
……
OnB平分∠On-1BC，OnC平分∠On-1CB；
求∠On与∠A的关系？
方法1如图11，在△BOnC中根据内角和计算∠On.由题意得，∠O1BC=12∠ABC，∠O2BC=122∠ABC，…，∠OnBC=12n∠ABC.
∠O1CB=12∠ACB，∠O2CB=122∠ACB，…，∠OnCB=12n∠ACB.
在△BOnC中，∠BOnC=180°-∠OnBC-∠OnCB，∠BOnC=180°-12n∠ABC+∠ACB，所以∠BOnC=180°-12n180°-∠A，化简得∠BOnC=2n-12n×180°+12n∠A.
方法2如图11，分别计算∠O1、∠O2…的值，找规律得出∠On的值.
由文[1]的结论可以知道∠O1=90°+12∠A.
在△BO1C中，O2B、O2C是角平分线，能得出
∠O2=90°+12∠O1=32×90°+122∠A=22-121×90°+122∠A；
∠O3=90°+12∠O2=74×90°+123∠A=23-122×90°+123∠A；
∠O4=90°+12∠O3=158×90°+124∠A=24-123×90°+124∠A；
……
∠On=90°+12∠On-1=2n-12n-1×90°+12n∠A=2n-12n×180°+12n∠A.
图12拓展2如图12，O1B平分∠ABC，O1C平分∠ACD；
O2B平分∠O1BC，O2C平分∠O1CD；
……
OnB平分∠On-1BC，OnC平分∠On-1CD；
求∠On与∠A的关系？
方法1根据外角计算出∠On的值.
如图12，∠OnCD是△BOnC的外角，有∠On+∠OnBC=∠OnCD，所以∠On=∠OnCD-∠OnBC.
分别计算出∠OnCD和∠OnBC就能计算出∠On.
由题意可以知道∠OnCD=12n∠ACD、∠OnBC=12n∠ABC，所以∠On=12n∠ACD-∠ABC，即∠On=12n∠A.
方法2分别计算∠O1、∠O2…的值，找规律得出∠On的值.
如圖12，由文1的结论可以知道∠O1=12∠A.
在△BO1C中，用同样的方法可以计算出∠O2=12∠O1=122∠A，
同理，∠O3=12∠O2=123∠A，
……
∠On=12∠On-1=12n∠A.
拓展3如图13，在△ABC中，BO1平分∠CBD，CO1平分∠BCE；
BO2平分∠CBO1，CO2平分∠BCO1；
……
BOn平分∠CBOn-1，COn平分∠BCOn-1，
求∠On与∠A的关系.
分析
方法1根据三角形内角和直接计算出∠On的值.
图13如图13，∠O1=180°-12∠DBC+∠ECB；∠O2=180°-122∠DBC+∠ECB；
……
∠On=180°-12n∠DBC+∠ECB，∠On=180°-12n2∠A+180°-∠A，
即∠On=180°-12n180°+∠A，
化简得∠On=2n-12n×180°-12n∠A.
图14方法2根据四边形内角和计算∠On的值.
如图14，作∠ABC、∠ACB的角平分线，交点为P1；作∠P1BC、∠P1CB的角平分线，交点为P2.
由P1B平分∠ABC，O1B平分∠DBC，可以得出∠P1BO1=90°；同理∠P1CO1=90°.
在四边形P1BO1C中，∠P1BO1=90°，∠P1CO1=90°，所以，∠P1+∠O1=360°-（90°+90°），所以∠O1=360°-（90°+90°）-∠P1.即∠O1=360°-180°-∠P1.
P2B平分∠P1BC，O2B平分∠O1BC，又∠P1BO1=90°，所以∠P2BO2=45°，同理∠P2CO2=45°，在四边形P2BO2C中，∠P2BO2=45°，∠P2CO2=45°，所以∠P2+∠O2=360°-（45°+45°），∠O2=360°-（45°+45°）-∠P2.即∠O2=360°-（12×180°）-∠P2.
同理，∠O3=360°-（122×180°）-∠P3.
以此类推∠On=360°-（12n-1×180°）-∠Pn.
由拓展1知道∠Pn=2n-12n-1×90°+12n∠A，
所以，∠On=360°-（12n-1×180°）-（2n-12n-1×90°+12n∠A）.化简，得
∠On=360°-（2n+1）×90°2n-1-12n∠A，即∠On=2n-12n×180°-12n∠A.
参考文献
[1]华兴恒.三角形内外角关系的拓展与证明[J].中学数学杂志，2017（8）：51-52.
作者简介王栋（1975—），男，中学一级教师，主要从事初中数学教学工作.
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更新时间：2025/3/21 19:25:52