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标题 挖掘图形变化活化认知建构
范文 徐海燕
[摘 要]在数学教学中,如何对图形变化规律展开深度挖掘,帮助学生顺利转换学习思维,已经成为教师需要重点考量的问题。深究图形、甄辨本质、激活思维,这是教学“圆的面积公式推导”的基本操作思路。
[关键词]图形变化;思维构建;小学数学
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068(2017)35-0030-02
“空间与图形”是小学数学教学中一项重要的内容。它要求教师在教学时拓展学生思维的宽度,引导学生研究和挖掘图形的本质,感知空间与图形的文化价值,提升学生学习的动力。以“圆的面积公式推导”学习活动中图形的变换为例,谈谈如何活用图形变式,启发和诱导学生科学掌握与圆相关联的知识,凸显圆的不同形式对学生认知建构的促进作用,让数学课堂呈现情趣与智慧交相辉映的盛景。
一、深究图形,引发思考
传统的“圆的面积公式推导”的教学模式,主要是指导学生先把一个圆形纸片平均分成16等份或32等份,剪开后再拼一拼、比一比、理一理(厘清面积的变化关系、图形的变化、边的变化等)、算一算、议一议,最后通过评析、归纳,形成统一的认识,得到圆的面积计算公式。整个过程学生看似学习热情很高,都在积极地实践着、思考着、探讨着,但始终让人有一种不够充实的感觉。静心沉思,方觉在做、看、比、说等环节中,图形解析深度不够,联系把握不透,导致人云亦云的现象发生,也导致后续变式训练中学生对知识理解不透以及把握不准。对此,我将该内容的教学进行了新的实践操作。
首先,指导学生平均分。通过问题“怎样才能把整个圆平均分成相等的几份?”的引领,让学生带着目的去尝试,学生会自然地联想到折纸的方式,轻松地把圆对折,平均分成2份;进而扩展到“再对折”的场景,让学生明白每一次的对折,都是把圆再一次的平均分;最后展示折纸的痕迹,让学生明白怎样做才能实现平均分的道理。其次,指导学生组拼图形。让学生自己去组拼,目的是开阔学生的视野,让学生有更多的体验与感知的机会,也让学生意识到学习不只是单一的路径,只要善于思考、敢于思考,就一定会有所突破。再次,引领学生比较。“你认为哪种图形更容易研究?”“主要的优势是什么?”等问题,能引发学生积极的思考。最后,引导解读。画图是策略,是技能,而蕴含其中的最重要的却是引领学生读懂图,从而明晰关系,把握本质。为此,教师只有多方引领,科学指导,才能使学生明白图形的内涵,为新知学习奠基,为新知建构积累。
【教学片段1】
师:长方形是我们最早学习的图形,所以我们就先解析长方形的构造吧!从图1中你能找到什么有价值的信息?
图1
生1:长方形的面积等于圆的面积。
生2:长方形的长是圆周长的一半,宽是圆的半径。
生3:圆的周长是2πr,它的一半就是πr,所以拼成的长方形的长是πr,宽是r,面积=πr×r=πr2。
师:再仔细琢磨一下,弄清生3算法的理由。
(学生再次利用手中的图形去思考和研究圆的面积公式推导过程)
师:刚才我们选用了最熟悉的长方形来研究,如果是平行四边形呢?你会研究它吗?
生4:实质是一样的。平行四边形的底也是圆周长的一半,就是πr,作出它的高,發现对应的是圆的半径r,用“底×高”,就是πr×r=πr2。
师:你们认为生4的分析有道理吗?结合图形相互说一说。
师:有同学剪拼后得到三角形,那它的面积又是怎样的呢?
生5:拼的过程中,既没有多一份,也没有少一份,所以三角形的面积一定就是圆的面积。
师:图2的近似图形是什么?底是什么?高是什么?
(学生结合图1解读图2,从而明白三角形的面积与圆的面积之间的联系,把握其对应的关系)
生6:把圆平均分成16等份,拼成了三角形(如图2),它的底是4份小圆弧,也就是圆周长的四分之一,即2πr÷4,高是4个半径,就是4r,三角形的面积=底×高÷2=(2πr÷4)×(4r)÷2=πr2。
让学生动起来,让学生解读每一个图形,学生不仅看到图形的变换关系,也把握了边的变化,学习变得自然流畅,学习的效率得到提高。
二、变换图形,甄别本质
面对学生对图形的解读和思考,我所想的是:“学生的理解深刻吗?”“能否科学运用呢?”为此,我曾设计了一道习题检测学生的掌握情况,结果令人大跌眼镜。学生听得懂,说得出,但真正用的时候却不知所措。
习题:图3中的圆的面积和平行四边形的面积相等,平行四边形的底是12.56厘米。圆的面积是多少平方厘米?
出示题目后,让学生自主研究和思考后再解答。结果全班42个学生,除了18人能够动笔解题,其余的则不知从何入手。就在这18个动笔解题的学生中,能够有条理地分析并解答的仅有10人。我询问了那些不知从何入手的学生,他们一致认为:缺少条件,根本就不好做。在能够动笔但解题不完整的8个学生中,有的把12.56厘米理解成圆的周长,有的把12.56÷2看成是平行四边形的底……为此,我组织了新一轮的图形解读训练,让学生学会反向思考,学会转换思维,使学习充满挑战、充满情趣。
【教学片段2】
师:通过读题、看图,你知道了什么?
生1:圆和平行四边形的面积相等。
生2:我感觉到这两个图和例题中的图很相似。
师:是吗?那能把平行四边形变回圆吗?试试看。
师:你们的结论是什么?
生3:可以把平行四边形变回圆,这和例题的转化过程刚好相反。
生4:这个题目很简单。平行四边形的底是πr,高是r。底是12.56厘米,就是πr=12.56,r=4,所以面积是12.56×4=50.24(平方厘米)。(如图4)
师:为什么用12.56×4呢?
生5:圆的面积和平行四边形的面积相等,平行四边形的面积等于底乘高,所以就用12.56×4来计算。
生6:可以先算出半径,再用圆的面积公式来计算的。
……
师:如果没有这组特定的图形,只有圆的面积等于平行四边形的面积,还能判定平行四边形的底是圆的周长的一半吗?高还是圆的半径吗?
生7:不一定。
学生听得懂,但却不会做,这是很多教师的苦恼所在。究其原因,一是学生对概念本质的解读不深刻,只停留在知识的表面,没有深入到知识的内核;二是学生就图说图,看似看得懂,实质是不知所以然。为此,教师要多提供图形变换的形式,让学生在接受不同的感知冲击时,能够积累经验,使认知变得厚实,使储备变得丰厚。
三、用活图形,提升思维
图形不仅是解题的助手,更是促进思考的拐杖,用活图形,因势利导,能改善学习状态,激发思维活力,让数学学习活动变得富有情趣。为此,在具体的教學活动中,教师要善于利用图形,渗透不同的解题策略,促进学生感悟相应的数学思想方法。
【教学片段3】
师:如图4,已知圆的面积和长方形的面积相等,阴影部分的面积是15平方厘米,圆的面积是多少平方厘米?
生1:长方形的宽是圆的半径,长是圆周长的一半。
生2:阴影部分的面积是15平方厘米。
生3:因为圆的面积和长方形的面积相等,如图6,所以红色部分的面积和蓝色部分的面积是相等的。这样红色部分的面积就是圆的面积的3/4。
师:你的发现很了不起!能说得具体一点吗?
生4:圆和长方形同时挖掉一个1/4圆,剩下的3/4圆和阴影部分的面积相等。
师:大家听得懂吗?结合图形找出最基本的关系,试着独立完成题目。
生5:15÷3×4=20(平方厘米)。
看似同样的图形,但思考的着力点却迥然不同。为此,引领学生科学解读习题、把握问题本质就显得尤为重要。合作研究能使学生摆脱定式思维,学会换个角度去解析问题,找到图形之间的根本性联系。学生精彩的发言说明了学生完全有能力理解图形转化的策略,只要教师在教学中有机渗透,引领学生精准解读图形,充分相信学生的认知、技能与经验储备,学生的思维一定会得到锻炼和发展。
挖掘图形中的有效资源,能够提升教学的含金量,也能促使学生调动所有的资源去探索、去研究,使学习演变为一种享受,一种快乐的体验。教师要做源头活水的开掘者,挖掘教材,活用教材,使教材成为奔涌无穷智慧的源泉。
(责编 童 夏)
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更新时间:2025/3/14 22:13:40