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标题

基于遗传算法的供水管网需求乘数因子校核

范文

毛润康杜坤周明陈攀雷雨晴丁榕艺杨佳莉

基金項目：国家自然科学基金项目（51608242）;云南省应用基础研究青年项目（2017FD094）

作者简介：毛润康（1995-），男，昆明理工大学建筑工程学院硕士研究生，研究方向为市政工程;杜坤（1986-），男，博士，昆明理工大学建筑工程学院讲师，研究方向为市政工程。本文通讯作者：杜坤。

摘要：水力模型已广泛应用于给水管网设计、分析与运行中。在所有水力模型中，需水量是导致模型输出最不确定的参数之一。因用水情况不确定，使得管网中的节点需水量变得异常复杂。在大多数实际管网中，用于校核节点需水量的监测设备数量有限，且小于未知量个数，使得节点需水量校核作为欠定问题，令节点需水量校准产生较大误差，并且传统遗传算法校核节点需水量的方法是假定所有节点的需求乘数因子一致，这也导致校核后的模型无法接近真实运行情况，因此提出在欠定条件下用遗传算法解决需求乘数因子的校核问题。通过对一个实际案例多次运行并取平均值作为结果进行验证，结果表明，遗传算法的校核结果不仅能够与被测位置的实际值相拟合，而且可以得到非测量位置的管道流量和节点水头，其中校核后的节点水头和管道流量误差较小，平均误差分别为1.78%、4.05%。该方法相比于传统校核方法具有更高精度，且更能反映出管网真实运行情况，同时还避免了传统校核方法中因遗传算法产生局部最优解而导致误差偏大的问题，对于大型管网模型校核也具有一定参考价值。

关键词：遗传算法;校核;需求乘数因子校核;欠定问题

DOI：10. 11907/rjdk. 191608 开放科学（资源服务）标识码（OSID）：

中图分类号：TP301文献标识码：A 文章编号：1672-7800（2019）007-0060-05

Calibration of Water Demand Multipliers in Water

Distribution Systems Using Genetic Algorithms

MAO Run-kang， DU Kun， ZHOU Ming， CHEN Pan， LEI Yu-qing， DING Rong-yi， YANG Jia-li

（Faculty of Civil Engineering and Mechanics， Kunming University of Science and Technology， Kunming 650500， China）

Abstract：Hydraulic models have been widely used for design， analysis， and operation of water distribution systems. As with all hydraulic models， water demands are one of the main parameters that cause the most uncertainty to the model outputs. However， estimation of the demand parameters is usually complicated due to the stochastic behavior of the water consumptions. This is an underdetermined system where the number of measurements is limited and less than the number of unknows，so the calibration of water demand will produce a large error，and the traditional genetic algorithm to calibrate the water demand of nodes is to assume that the demand multiplier factors of all nodes are the same， which leads to the problem that the calibration of model can not be close to the real operation. This paper presents an approach to calibration of the demand multiplier factors under an ill-posed condition where the number of measurements is less than the number of parameter variables. The problem is solved by using a genetic algorithm （GA）. A practical case was run multiple times was taken and the average to validate that not only is the GA able to match the calibrated values at measured locations， but by using multiple runs of the GA model， the flow rates and nodal heads at nonmeasured locations can be estimated. The error of node head and pipeline flow is small after check， and their average error is 1.78% and 4.05%， respectively. Compared with the traditional optimized method， this method has higher accuracy and can reflect the real operation of the pipe network. At the same time， it also avoids the problem of large error caused by the local optimal solution produced by genetic algorithm in the traditional optimized method. It also has a certain reference for the calibration of large pipe network model.

Key Words：genetic algorithms; calibration; calibration of water demand multipliers; underdetermined problem

0 引言

供水系统（WDS）作为城市基础设施不可缺少的组成部分，每天都要容纳大量的水量，以确保提供稳定用水。供水管网随着人口增长而变得更加复杂，因此需要加强管理。在现有管网中确定管段流量和节点水头是优化WDS的必要步骤，该任务可以通过使用传感器等测量设备完成。然而，传感器只能捕获系统中某些节点位置的状态。因此，如何利用有限个数的设备校核整个WDS模型需要作进一步研究。

WDS模型校核是指对节点需水量和管段粗糙系数取值进行调整，使模型预测节点水压和管段流量的模拟数据与实测数据在一定误差精度范围内相匹配的过程。Ormsbee&Lingireddy很好地解决了管网校核问题[1]，其提出一个七步校准过程，包括：①模型预定用途确定;②模型参数确定;③校核数据收集;④模型结果评价;⑤模型宏观校正;⑥敏感性分析;⑦模型微观校正。

Savic等[2]对管网校核进行了完整的文献综述，管网校核可以作如下分类：状态（瞬态/静态）、计算方法（迭代/显式/隐式）或优化方法（传统/改进）。

针对管网节点流量校核，吴学伟等[3]将节点水压作为已知参数对节点流量进行计算，但由于验证的管网是实验室的小型管网，因此对大型管网还需作进一步研究;王荣和[4]提出可以用遗传算法校核模型的节点流量与管段粗糙系数;陈宇辉[5]研究了遗传算法、模拟退火算法、自适应遗传算法在求解目标函数时的应用效果;郑飞飞等[6]提出一种基于非交叉抖动爬行突变的遗传算法（CMBGA）校核管网，该算法没有交叉操作，只有变异操作，并通过两个案例得到验证，因而相比传统算法在结果上得到了很大改善，且需要调整的参数较少;刘佳明等[7]针对标准遗传算法收敛速度慢，且容易陷入局部最优解的问题，对遗传算法进行改进，提高了算法速度与精度;Yu等[8]提出一种基于贪婪算法的抽样设计法校核水力模型，该方法以现有传感器为基础，在每个优化仿真步骤中依次添加一个新传感器，从而尽可能使校核中的不确定性最小化，并取得了较好的效率和精度。

管网模型的不确定性是由多种因素引起的，如管道粗糙度、节点需水量或阀门状态等。由于管道粗糙系数和节点需水量对管网不确定性的影响较大，因此其通常用于静态校核。然而，粗糙度系数通常只在长期内变化。例如，Haddad等[9]考虑了该参数的年度变化。因此，节点需水量是短期内影响管网模型不确定性的主要参数（例如每小时、每天）。

在许多文献中，研究人员采用不同方法对需水量估算进行研究，例如扩展卡尔曼滤波、跟踪状态校核和卡尔曼滤波、遗传算法和粒子滤波。但这些模型是建立在给定框架基础上的，在该框架中，测量位置是预先确定的，校准数量小于测量点数量。只有少数文献直接讨论了过欠定系统，如比例需求法与奇异值分解（SVD）法。

在以往研究中，当测量数量小于校核参数变量数量时，对供水系统节点需水量的校核是一个非线性欠定问题。通过QR分解、SVD、牛顿—拉夫森方法中的Moore-Penrose伪逆矩阵等局部线性化方法，可以得到问题局部解。但是由于解的不唯一性，计算结果不仅离实际解差距很远，甚至在某些节点上会产生负值。显然，如果测量设备数据被认为是唯一的已知输入，那么寻找可靠的需水量校准方法仍然是水力研究人员面临的挑战。

鉴于此，本文提出一种校核欠定系统需水量乘数因子的方法，即测量数量小于需求参数变量数量。EPANET工具包用于求解管网方程组，遗传算法（GAS）用于寻找已知测量输入与其模拟值之间的最优解。将遗传算法多次运行后的平均值作为校核后的最优解，通过对管网不同情景进行测试以对管网可靠性进行评估。此外，本研究还探讨了使用Piller抽样设计技术选择最佳测量位置，以提高校准模型的精确性[10]，然后将该方法应用于实际案例研究，最后得出结论并给出相关建议。

1 GA校准模型

该模型将隐式技术应用于稳态水力模拟，将校核过程描述为一个优化问题。目标函数是使模型中模拟值与其相应实测值之间的差值最小化。决策变量是“决策变量”章节描述的节点需求乘数因子（DMFs）。

2 目标函数

本文采用最小二乘法求解目标函数，该方法是将测量位置上管道流量和节点水头的测量值与模拟值之间的平方差之和最小化[11]。

[MinF=i=1nwHH0i-Hi2+j=1mwqQ0j-Qj2]? ? （1）

式中，n为水压监测点数，i为第i个水压监测点，wH、wq为水压与流量值的权重系数，[H0i、Hi]为第i点的压力监测值与模型值，[Q0j、Qj]为第j管道的流量监测值与模型值。

管道流量、节点水头和节点需水量均与时间有关。然而，在短时间内，如30min或1h，可以被认为是恒定的，因此在公式（1）中没有明确给出时间依赖符号。测量值是从现场测量设备中获得的，或者可以通过运行诸如EPANET等水力模拟工具包生成这些值。加权因子wH、wq可以用监测值的平方倒数进行计算[12]。

3 决策变量

在WDS模型中，每个节点的需水量是通过将每个时间t上的基本需水量与其相应的DMF相乘进行计算的。

[Dk，t=D0，k×fk，t]? ? ? ? ? ? ?（2）

D0，k為第K节点基本需水量，使用季度/年度用水帐单信息，fk，t为第K节点在T时刻的需水量乘数因子。

优化问题的决策变量是在每个时刻节点需水量的需求乘数因子fk，t，其范围如下：

[fminkfk，tfmaxk]? ? ? ? ? ? （3）

其中[fmink]必须大于零，[fmaxk]是根据峰值需求因素的典型值进行选择的[13]，本文中[fmaxk]取1.5。

表1给出了一次求解6个需求乘数因子的GA（即染色体）案例。它们是从0～1.50的范围内选取的，增量步长为0.02（值随机产生）。每个需求乘数因子有一个浮点数编码，从0～75不等。通过使用这些编码信息，将遗传算法产生的染色体解码成一组需求乘数因子，并乘以基本需求得到的实际需水量，即可用于水力模拟过程。

表1 需求校核问题的GA染色体及解码实例

4 校核精度要求

校核后的模型必须达到一定精度，模型精度是由实际测量值与模拟值差值进行衡量的。评价管网模型是否符合实际，国内和国际上都没有出台相应技术标准或行业标准。但是一些研究机构根据多年的科研和工程经验，给出了相应建议值，仅供参考。英国水研究中心（WRC）校核标准包括以下几部分[14]：

（1）流量监测点：当主干管流量大于总用水量的10%时，误差取测量值的±5%;否则，误差取测量值的±10%。

（2）压力监测点：85%的监测点压力偏差在±0.5m 或? ? ±5%的整个系统最大水头损失;95%的监测点压力偏差在 ±0.75m 或±7.5%的整个系统最大水头损失;100%的监测点压力偏差在±2m或±15%的整个系统最大水头损失。

（3）分界线：模拟计算得到的管网压力分界线应与实际情况相吻合。

（4）供水趋势：模拟计算得到的供水趋势应与实际情况相吻合。

（5）压力分布：模拟计算得到的各节点水压分布情况应与实际情况相吻合，计算得到的高压区和低压区等应与实际情况相吻合。

根据国内供水管网专家赵洪宾教授[15]提出的符合中国实际情况的管网水力模型校核精度建议值：①计算出的各水源出厂供水量、供水压力与实测记录相吻合;②计算出的各压力监测点水压与实测记录吻合程度：100%监测点的压力实测值与计算值之差≤±40 kPa，80%监测点的压力实测值与计算值之差≤±20 kPa，50%监测点的压力实测值与计算值之差≤±10 kPa;③对于管段流量占管网总供水量1%以上的管段，误差<±5%，对于管段流量占管网总供水量0.5%以上的管段，误差<±10%;④计算得到的各节点水压分布情况应与实际情况相吻合，计算得到的低压区应与实际情况相吻合。

5 GA过程与算子

本研究实现的遗传算法校核是用MATLAB编写的，该算法流程如图2所示。随机生成染色体的初始群体，并将其解码为对应每个节点的DMF值，给管网每个节点分配DMF中的一个值，然后调用EPANET模拟管网的稳态水力学。通过计算目标函数，得到校核后测量点的管道流量和水头（Qj，Hi），并与实际测量值进行比较。应用目标函数的逆（1/（F+1）表达式，以避免F为零时的不确定形式）定义GA每个成员的适应度函数。这是衡量每个成员质量的标准，用来决定每个成员的生存机会。

通过应用遗传算法的选择、交叉与变异，产生继承前几代特征的新一代，然后反复校核过程，直到达到标准后停止。

对于选择算子，Goldberg &Deb [16]的一项研究建议使用锦标赛选择算子，因为其具有更好的收敛性。此外，Goldberg还提出概率相对较高的两点交叉算子（Pc=0.6～1.0）与突变概率为Pm≈1/编码长度[17]的位变异算子，以提高GA模型性能。因此，在本文研究中将竞赛选择、两点交叉、位变异等方法应用于遗传算法模型校核。

图1 需求乘数因子遗传算法校核流程

6 测量地点选择

校准模型的准确性不仅取决于现场测量数量，还取决于测量位置。Nhu&Angu等[18]使用遗传算法对管网进行校核，发现在相同管网上如果测量点位置不同，得到的结果也有所不同。许多研究人员利用各种数学和统计方法研究了最优测量位置问题，例如Yu、Powell、Vítkovsk、Berry、Propato以及Krause等在校准模型中采用抽样设计（SD）方法选择测量地点。Piller使用SD方法将状态向量估计中测量误差的影响降到最低;Bush&Uber提出3种基于D-最优性准则的SD方法[19]：最大和法、加权和法和最大最小法，这3种方法都是以雅可比矩阵为基础的;Kapelan等[20]发现在SD模型中使用遗传算法可以得到最优的压力测量位置，其中第一个模型被描述为一个单目标，第二个模型被描述为一个多目标优化问题。

在本文中，Pliier提出的基于贪婪算法的SD方法被运用于校核需水量乘数因子模型中，用于寻找最佳测量位置。测量位置对校核结果的影响通过评价遗传算法模型收敛性确定。

7 SD方法

管网中的水力稳态能够解决节点连续性方程与管道能量方程的非线性问题，节点水头和管道流量敏感度对节点需水量的影响可表示为：

[AT？q？θ+GD=0ns，ndD？q？θ-A？h？θ=0np，nd]? ? ?（4）

其中，A、AT为未知节点水头的影响矩阵及其转置矩阵，其能反映出节点及管道情况;q、h為管道流量与节点水头向量;GD为分配后的节点需求矩阵。在本文中，节点需水量的聚合不用考虑。因此，GD为节点基本需水量的对角矩阵，D为管道信息的对角矩阵，其中对角元素是各管道水头损失方程的导数，公式（4）的结果是管道流量和节点水压与节点需水量相关的雅克比矩阵。

[？q？θ=-D-1AATD-1A-1GD？h？θ=-ATD-1A-1GD]? （5）

由于未知需求参数f0需要估计，Piller提出的基于贪婪算法的SD方法能使测量误差对状态向量估计的影响最小化，并迭代地选择测量位置（S矩阵）。测量位置的选择矩阵S已被确定，因此ST0矩阵是满秩矩阵，而且其伪逆矩阵[（ST0）*∞]的值中具有最小值。矩阵T0=E1J0E2表示雅克比矩阵的平衡矩阵，在公式中E1表示左乘对角矩阵以表示节点与管道测量精度，E2表示右乘与参数变量变化对应的矩阵，J0= J（yf0）表示公式（5）中在f0处计算的雅克比矩阵。本文中由于只有需水量参数需要校核，因此E1 表示单位矩阵，即所有测量都具有相同精度，E2如公式（6）所示。

[E2=diag（f0）]? ? ? ? ? （6）

当节点或管道被选择作为测量位置时，其值为1，否则为0，文献[7]中对该方法进行了详细解释。

8 案例

用该案例测试上述方法在更大管网中的性能，该管网水力模型由EPANET提供，包括26个管道、27个节点、2个储水池及3个泵站。假设管网中最多可安装3种测量设备，此外假定泵的流量已知，管网如图4所示。

图2 案例管网

基于贪婪算法的测量位置选择模型发现，对于这种管网，管道中的管道流量比节点水头更加敏感，则在管道5、12和22处设置3个流量测量点，如图1所示。该遗传算法的校核模型具有以下特点：①决策变量为22个，对应于管网的22个需求乘数因子;②决策变量选择范围为0～1.5;③选取群体大小N = 500、交叉概率Pc = 0.8、变异概率Pm = 0.0 4和代数大小N = 1 000作为遗传算法参数;④为评价决策变量增量的影响，分别考察了[Δθ]=0.000 5、0.005、0.02和0.1的不同增量。

在Intel Corei5（2.9GHz）的计算机上运行100次GA模型，总运行时间约为16.3h，每一次运行约10min。表2总结了不同增长步长对模型的影响。对于决策变量4个不同的增长步长，误差大致相等。由此也可得出一个结论，即遗传算法校核模型对决策变量增长步长不敏感。

表2 不同增长步长引起的误差

图3-图5给出了在决策变量增长步长为0.02时的结果，分别为节点水头、节点需水量、管道流量。图的下部表示水压、需水量、流量真实值和模拟值，图的上部表示真实值与模拟值误差，另外图中部分节点编号被省略。

图3 平均校准需水量（运行GA? ? ?图4 平均校准节点水压（运行GA100次）与管网实际需水量比较? ? ? ? ?100次）与管网实际水压比较

将节点需水量分成3组，分别为：0～30L/s、30L/s～60L/s、60L/s以上。图3显示出：在需水量较小的第一组中，校核后的误差很大，为0.67%～61.33%;在第二组中，误差为14.33%～38.89%;第三组中，误差为0.53%～9.69%。

如图4所示，实际水头大的误差反而小，校核前后各节点水头误差均小于2.5%。其中在节点15处的实际水头为44.66，校核后的水头为45.69，误差为2.31%。在节点2处的实际水头为115.84，校核后的水头为116.83，误差为0.85%，平均误差为1.78。

相应地，由图5可以看出，校核后高流量的管段误差比低流量的误差小，最大误差出现在编号为24的管道，实际流量为8L/s，校核流量为10.4%，对应误差为30%。管网中管道流量校核后的平均误差为4.05%。其中管段5、12、22为测量点（已知）。

图5 平均校准管道流量（运行GA 100次）与管网实际流量比较

一般通过比较监测点的实测值与模型计算值是否吻合衡量模型校核準确度。由图4、图5可以看出，管道流量和节点水头误差均满足误差要求，与实测值较吻合，说明校核后节点的需求乘数因子更符合实际情况。

9 结语

传统遗传算法校核节点需求量会出现局部最优解，从而导致模拟值与实际值出现较大偏差，而且由于该传统方法是假定节点需求乘数因子一致，从而导致校核结果不能反映实际情况。为解决上述问题，本文提出用遗传算法校核需求乘数因子，将遗传算法运行多次并取平均值作为校核结果，避免了单次运行出现局部最优解而影响结果，并通过校核需求乘数因子使管网中的节点情况更接近真实情况，使得校核结果更加真实可靠。

本方法虽在案例中取得了较好效果，为了更好地加以运用，未来研究工作还需要寻找更先进的方法校核节点需水量，并减少计算时间。此外，由于测量数据中存在误差而导致校核模型不准确的问题也需要重视。最后，解决管网漏损问题对于校核结果的可靠性也十分重要。

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