摘要：以临沂市许家崖水库为例，采用Copula函数研究了水库洪峰流量与其流域内雨量站降雨量以及洪峰流量自相关的相关性。流域内选取许家崖、棠梨树、高桥、白彦、王家邵庄五个雨量站，分析其24 h最大降雨量与洪峰流量的相关关系，并研究洪峰流量1阶至6阶自相关关系，最后计算在丰水年、平水年和枯水年状态下洪峰流量的条件分布。结果表明，许家崖雨量站与洪峰流量相关性最好，其次为王家邵庄、高桥、棠梨树，最后是白彦。洪峰流量自相关性比较差，最好的是4阶自相关，结论从条件分布图也得到了印证。
关键词：降雨量；洪峰流量；Copula函数；条件分布；相关
中图分类号：TV122 文献标志码：A 文章编号：1672-1683（2014）06-0074-04
水库具有众多的不确定性因素及复杂性，因此，其调度方案的风险分析对于获得最佳水资源利用效率具有重要的决策指导意义。水库洪峰流量与其流域内雨量站最大降雨量有着一定的相关性，而Copula函数就是一种近几年新兴的研究变量相关性的工具。Copula函数起初应用于风险分析[1-4]，近年来在水文方面得到了广泛的应用，设计洪水、丰枯遭遇、洪水模拟等方面均有相应研究[5-13]。它能够灵活的构造边缘分布为任意分布的变量间联合分布，并在此基础上研究各变量之间的相关性。本文尝试采用Copula函数研究洪峰流量与降雨量的相关性，并以临沂市许家崖水库为例进行研究，期望为水库调度提供一种新的思路。
1 Copula函数
1.1 定义
Copula函数定义为[0，1]均匀分布的多维联合分布函数，它可以将多个随机变量的边缘分布联合起来构造联合分布，其形式如下[5]：
1.2 函数形式
本文采用对称性Gumbel Copula函数来构造变量之间的联合分布，形式如下：
1.3 条件分布
2 实例应用
许家崖水库位于费县西南部，淮河流域沂河水系祊河支流温凉河上，水库总库容2.888 6亿m3，兴利库容1.67亿m3，控制流域面积580 km2，干流河道长54 km，干流比降0.001 57 m/m。温凉河发源于平邑县太皇崮西北大刘家沟北山，西北东南自平邑县魏庄乡东南行5 km入费县境，又行经关司、梁邱折东北进入许家崖水库，水库上游流域面积494 km2[14-15]。
本文选择许家崖水库1963年-2008年逐年实测洪峰流量以及其周边五个雨量站年最大24 h点雨量为统计数据，分析洪峰流量与各个雨量站及洪峰流量自身的相关关系。许家崖水库及雨量站分布见图1。
水库洪峰流量与雨量站降雨量序列值见图2和图3。其统计指标值见表1。
2.1 Kendall τ
Copula函数采用Kendall τ来描述不同变量之间的相关性。对于一组变量（x，y），其Kendall τ用下式进行计算：
式中：x，y为观测变量；N为观测个数，在本实例中N=46；τN是 τ 的观测值。τ值与Copula函数θ的参数具有一定的相关性，对于Gumbel Copula函数来说，τ=1-θ-1。
计算许家崖水库洪峰流量与各雨量站降雨量的Kendall τ值，见表2。洪峰流量自身的Kendall τ值，见表3；根据kendall τ值计算Copula函数参数θ见表4。
kendall τ值越大，说明两个变量之间的相关性越好，当τ取负值时，图像趋近于直线x+y=1；当τ取正值时，图像趋近于直线x=y，τ的绝对值越大，越靠近。由表2可知，许家崖雨量站与洪峰流量相关性最好，其次为王家邵庄、高桥、棠梨树，最后是白彦；洪峰流量自相关性比较差，均小于0.2，最好的是4阶自相关，其kendall τ为0.196 7。许家崖水库洪峰流量与各雨量站降雨量及4阶自相关散点图见图4。
采用常规的相关系数计算洪峰流量与各雨量站降雨量的相关及其自身的相关性，见表5、表6。
将kendall τ值与相关系数值进行比较可知，洪峰流量与降雨量相关性的变化趋势基本一致，除棠梨树雨量站外，kendall τ值越大，相关系数值也越大；洪峰流量与其自身的相关性参数kendall τ值与相关系数值变化趋势不一致，笔者认为，这主要是因为洪峰流量与其自身的相关性较差，在此情况下kendall τ值与相关系数值相关性也较差；两种方法计算的最大值是一致的。
2.2 边缘分布频率曲线
采用Gringorten 公式计算经验频率，并以此作为边缘分布，其公式为
式中：K表示数据序列降序排序序号；N表示样本总个数。洪峰流量与降雨量的频率曲线见图5。
2.3 洪峰流量的条件分布
由于经验频率公式是从大到小排序，而频率分布函数是从小到大排序，因此：
选择枯水年、平水年和丰水年（其经验频率分别为大于90%、等于50%和小于10%）三种情况计算不同雨量站与洪峰流量的条件分布，见图6。
由图可知，在枯水年的情况下，各个雨量站对于洪峰流量的影响较大，图（a）中各条曲线距离较大；许家崖雨量站对洪峰流量重现期的影响最大，例如在许家崖雨量站的经验频率为大于90%时，洪峰流量出现1 000 m3/s的重现期约为101.1年，出现4 000 m3/s的重现期约为104年，而若前第4年洪峰流量经验频率为大于90%时，洪峰流量出现1 000 m3/s的重现期约为100.8年，出现4 000 m3/s的重现期约为102.1年，二者相差较为明显。在丰水年的情况下，各雨量站对洪峰流量影响基本一致，洪峰流量的自相关性影响程度相对较大；平水年介于二者之间。各个雨量站对洪峰流量的影响程度与其Kendall τ值呈正比关系。
3 结语
Copula函数通过任意边缘分布和相关性来联结多维联合分布，是一种有效的建模方法。本文通过Copula函数研究许家崖水库洪峰流量与各个雨量站的相关性以及自相关性，并得到不同条件下洪峰流量的条件重现期，为水库调度提供了一定的参考依据。
（1）根据Copula函数参数kendall τ值与相关系数进行比较可知，许家崖水库洪峰流量与降雨量相关性的变化趋势基本一致，洪峰流量与其自身相关性的变化趋势呈现不同；但是两种方法计算的最大值是一致的，即许家崖水库洪峰与许家崖雨量站的相关性最好，洪峰流量自身相关性则是4阶最好。
（2）由条件分布可知，在枯水年的情况下，各个雨量站对于洪峰流量的影响较大；在丰水年的情况下，各雨量站对洪峰流量影响基本一致，洪峰流量的自相关性影响程度相对较大；平水年介于二者之间。
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