| 标题 | 老歌新唱 浅印深痕 |
| 范文 | 沈爱萍 [摘 要] 众所周知，数学教学离不开解题训练. 本文以一道中考数学题为例，从试题与解答、评价与反馈、探究与对策等角度具体阐述如何运用数学资源培养学生的数学解题能力，在中考试题的研究和尝试中，让习题教学达到“老歌新唱，浅印深痕”的效果. [关键词] 数学教学；解题训练；理性精神；数学文化 近几年来，中考数学最后一道压轴题往往会难倒很多学生，给广大的学生心理造成极大负担，同时也对我们的数学课堂教学提出了严峻的挑战. 其实只要我们掌握常用的数学方法，建立一定的数学模型，注重解题训练的反思和提高，在一定程度上能有效地提升学生的解题能力和创造能力，从而最大限度地发挥数学教学的功能. 本文以2013年中考的一道题目为例，谈一谈自己运用中考试题培养学生解题能力的教学过程以及教学反思. ■ 试题与解答，开启解题能力的 窗口 试题 （2013泸州中考）如图1所示，在直角坐标系中，点A的坐标为（-2，0），点B的坐标为（1，-■），已知抛物线y=ax 2+bx+c经过A，B，O（O为原点）三点. （1）求抛物线的解析式. （2）在抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由. （3）如果P是该抛物线上x轴上方的一个动点，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时点P的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由. ■ （1）（2）解答略. 对于第（3）问，这道题并没有多难，可学生为什么找不到解题的突破口呢？ 笔者通过认真审题发现，点A，B为顶点，而P点又在抛物线上，可尝试我们平时用的一般方法，运用参数设Pm，-■m 2-■■m，再看△PAB的面积能否用m的式子表达. 可通过构造已学过的图形如矩形、梯形、三角形等，即补图法，把三角形的面积转化为用梯形的面积减去两个三角形的面积，这是我们在几何图形中常用的解题方法. 解法一，过点A，B分别作y轴的平行线交过点P作平行于x轴的直线于E，F两点，此时各点的坐标如下：A（-2，0），B（1，-■），Pm，-■m 2-■■m， E-2，-■m 2-■■m，F1，-■m 2-■■m， S■=■-■m 2-■■m-■m 2-■■m+■×（1+2） =-■m 2-2■m+■■， S■=■（m+2）·-■m 2-■■m=-■m 2-■■m 2-■■m， S■=■（1-m）·-■m 2-■■m+■=■m 3+■m 2-■■m+■■， S■=S■-（S■+S■） =-■m 2-2■m+■■--■m3-■■m 2-■■m+■m3+■m 2-■■m+■■= -■■m 2-■■m+■ =-■■m+■2+■■. 所以当m=-■时，S△PAB最大=■■，此时P-■，■. 很明显，上述方法运算比较复杂. 此时也可通过分割法，过点P作PM∥y轴交AB于点M，我们发现A，B到PM的距离之和为定值，要△PAB的面积最大，即可转化为求线段PM的最大值，而PM的长度又与P，M两点的纵坐标有关，我们又可用函数的方法来解答，这也是解决这类题目的常见数学方法. 解法二，如图2所示，过点P作PM∥y轴交AB于点M，设Pm，-■m 2-■·■m，又y■=-■x-■■，所以Mm，-■m-■■，PM= -■m 2-■■m--■m-■·■=-■m+■2+■■. 所以当m=-■时，PM最大=■■，此时S△PAB最大=■×■×3=■■，P-■，■. ■ 总结：如图3所示，当A，B到PM的距离和为定长时，要让S■最大，此时可求出PM最大. ■ 如图4所示，当A，B到PN的距离和为定长时，S■最大，即可求出PN最大. ■ 这道题，我们还能发现△PAB中的AB为定长，即AB边上的高最大时，△PAB的面积也最大，即当过P点且平行于AB的直线与抛物线只有一个交点时，高度就为最大. 但这种方法有学生会误认为P在抛物线顶点时高最大，这需要教师在解题时加以友情提醒. 解法三，设过点P的直线为y= -■x+b′，与抛物线联立方程组得 y=-■x+b′，y=-■x 2-■■x， 所以-■x 2-■■x= -■·x+b′. 由Δ=0解得b=■，随后可求出最大面积为■■. 通过以上试题的解答，为研究学生的解题的学情，制定合理的教学目标打下坚实的基础，为学生的解题训练开启了充满神奇的窗口. ■ 评价与反馈，打开解题能力的 大门 试题的评价和反馈是习题教学的关键步骤. 本试题秉承了四川省中考题的一贯风格，体现了稳定和创新并重，试题巧妙在学生数学思维分化处设置考点，问题具有适当的梯度，对于培养学生的数学解题能力，具有很好的示范引领作用. 就具体考点来说，本题考查了二次函数的综合性，其中有坐标系中点的坐标求法，抛物线解析式的求法，根据对称性求线段和最小的问题. 同时也考查了在坐标系里表示面积及求面积最大值等问题，解答本题（3）也可以（如解法三）将直线AB向上平移至与抛物线相切的位置，联立此时的直线解析式与抛物线解析式，可求唯一交点P的坐标，将相关数学知识有机地融合在一起，值得我们今后在教学中加以反思和借鉴. 在解决这种类型的数学问题时，我们要培养学生主动寻求动中找定的解题技巧，通过挖掘一些不变的量，再灵活运用函数求最值的解题模型，举一反三加以运用. 其实这样的解题方法训练，在数学中考试题中会经常出现. 例如2012年烟台市中考题第26题的第（2）问，2012年青海中考题第27题第（3）问都是与此有关的题型. 通过此类题型的解答反馈，作为数学教师，在教学中一定要重视学生解题方法的训练，着力培养学生从不同的角度思考问题的能力，激发他们的思维和创造性能力，提高他们分析问题和解决问题的能力，这是我们广大数学老师在今后习题教学中需要明确的主要目标和努力的方向. 通过试题的评价与反馈，能激活学生的思维，能为解题训练提供开启知识大门的钥匙. ■ 探究与对策，拓宽解题能力的 路径 通过此道试题的教学实践，我还进行了深入的探究和思考，在教学中与学生一起研究解题的策略，进一步拓宽了解题的路径，让学生在解题中受益无穷，感受数学的神奇和魅力. 探究1 由显到隐，构建模型 一个小小的变化，即将已知条件适当变化，往往可以使试题平添一份滋味，能够有效地促进学生积极地思考，让学生主动学习. 例如本题由第（1）问求二次函数解析式，可以用一般式、交点式，重点培养学生发散思维的能力. 第（2）问要求△BOC周长的最小值，可转化为OB+OC+BC，点O，B为定点，线段OB的长为定值， 则OC+BC… 此条件还可以呈现为在对称轴上找C点使得到点O，B的距离之和最小等形式. 形式变化了，但其本质不变，解答时要求学生能将隐含的条件显化，在自己的知识网络中主动追寻基本模型，并与题目信息相联通. 对策：增强体验性，丰富学生解题实践 现代的学习方式要求教师结合学生的生活经验和已有的知识进行教学，习题教学也不例外. 在教学中我们要广泛建构解题模型，让学生在解题的体验中掌握透过现象抓住问题实质的能力，体味数学学习的思想和规律，逐渐培养学生的自主创新能力，为自身发展打下坚实的基础. 探究2？摇 深度挖掘， 面向全体 对策1：突出参与性，激发学生解题潜能 数学新课改的教学理念强调，教学中教师要转变师生角色，建立民主、平等、和谐的师生关系，激发学生学习数学的兴趣，让学生主动地参与数学学习，让学生真正成为学习的主人. 针对平时习题教学的实际，笔者设置了一些有趣、有效、有价值的问题，合理把握了学情和教学起点，学生都能积极主动地参与解题训练，在数学学习活动中学生个个热情高涨，表现非凡. 在习题教学中，我注重评价的多元化，总是放手让学生自我评价，让他们在自我判断、自我参照、自我调控中自我超越，最大限度地发挥自己的潜能. 例如本题中一题多解的解法，学生的解题潜能得到了最大的发挥，这让我倍感欣慰. 对策2：尊重差异性，分享学生成功体验 人本主义心理学家罗杰斯认为，师生之间的人际交流活动是教学活动的先决条件，是影响教学效果的一种决定性因素. 笔者以为，只有尊重学生的差异性，加强师生间的沟通，及时调整教学，才能有效地提高课堂教学效率. 例如本题的教学尝试，我通过设计具备适当难度、逐层递进、适度开放的题组教学，组织学生开展小组合作，让学生自主选择学习内容，在互相探究、思维碰撞中提升解题智慧. 并强化反思解决问题的过程，让学生获得解题成功的体验，只有这样，才能培养学生学习的自信心，才能使不同层次的学生在解题方面有不同的发展，从而实现全体学生获得全面发展. 美国著名数学家、数学教育家、数学史家克莱因在《西方文化中的数学》中写道：“数学是一种精神，一种理性的精神. 正是这种精神，激发、促进、鼓舞并驱使人类的思维得以运用到最完善的程度，亦正是这种精神，试图决定性地影响人类的物质、道德和社会生活；试图回答有关人类自身存在提出的问题；努力去理解和控制自然；尽力去探求和确立已经获得知识的最深刻的和最完美的内涵. ”作为数学教师，一定要通过解题的教学实践培养学生的理性精神，让学生在数学文化的学习中提升素养，张扬个性. 一道中考试题的教学尝试，犹如老歌新唱，浅印深痕. 它唱出了数学文化魅力的神奇，唱出了师生成长的和谐，唱出了学生理性精神发展的足音. 面对日益发展的数学课堂教学，我将一如既往地探索数学解题的艺术，为提升学生的数学素养而不懈努力，在学生的数学学习活动中留下自己奋斗的印迹. ■ 探究与对策，拓宽解题能力的 路径 通过此道试题的教学实践，我还进行了深入的探究和思考，在教学中与学生一起研究解题的策略，进一步拓宽了解题的路径，让学生在解题中受益无穷，感受数学的神奇和魅力. 探究1 由显到隐，构建模型 一个小小的变化，即将已知条件适当变化，往往可以使试题平添一份滋味，能够有效地促进学生积极地思考，让学生主动学习. 例如本题由第（1）问求二次函数解析式，可以用一般式、交点式，重点培养学生发散思维的能力. 第（2）问要求△BOC周长的最小值，可转化为OB+OC+BC，点O，B为定点，线段OB的长为定值， 则OC+BC… 此条件还可以呈现为在对称轴上找C点使得到点O，B的距离之和最小等形式. 形式变化了，但其本质不变，解答时要求学生能将隐含的条件显化，在自己的知识网络中主动追寻基本模型，并与题目信息相联通. 对策：增强体验性，丰富学生解题实践 现代的学习方式要求教师结合学生的生活经验和已有的知识进行教学，习题教学也不例外. 在教学中我们要广泛建构解题模型，让学生在解题的体验中掌握透过现象抓住问题实质的能力，体味数学学习的思想和规律，逐渐培养学生的自主创新能力，为自身发展打下坚实的基础. 探究2？摇 深度挖掘， 面向全体 对策1：突出参与性，激发学生解题潜能 数学新课改的教学理念强调，教学中教师要转变师生角色，建立民主、平等、和谐的师生关系，激发学生学习数学的兴趣，让学生主动地参与数学学习，让学生真正成为学习的主人. 针对平时习题教学的实际，笔者设置了一些有趣、有效、有价值的问题，合理把握了学情和教学起点，学生都能积极主动地参与解题训练，在数学学习活动中学生个个热情高涨，表现非凡. 在习题教学中，我注重评价的多元化，总是放手让学生自我评价，让他们在自我判断、自我参照、自我调控中自我超越，最大限度地发挥自己的潜能. 例如本题中一题多解的解法，学生的解题潜能得到了最大的发挥，这让我倍感欣慰. 对策2：尊重差异性，分享学生成功体验 人本主义心理学家罗杰斯认为，师生之间的人际交流活动是教学活动的先决条件，是影响教学效果的一种决定性因素. 笔者以为，只有尊重学生的差异性，加强师生间的沟通，及时调整教学，才能有效地提高课堂教学效率. 例如本题的教学尝试，我通过设计具备适当难度、逐层递进、适度开放的题组教学，组织学生开展小组合作，让学生自主选择学习内容，在互相探究、思维碰撞中提升解题智慧. 并强化反思解决问题的过程，让学生获得解题成功的体验，只有这样，才能培养学生学习的自信心，才能使不同层次的学生在解题方面有不同的发展，从而实现全体学生获得全面发展. 美国著名数学家、数学教育家、数学史家克莱因在《西方文化中的数学》中写道：“数学是一种精神，一种理性的精神. 正是这种精神，激发、促进、鼓舞并驱使人类的思维得以运用到最完善的程度，亦正是这种精神，试图决定性地影响人类的物质、道德和社会生活；试图回答有关人类自身存在提出的问题；努力去理解和控制自然；尽力去探求和确立已经获得知识的最深刻的和最完美的内涵. ”作为数学教师，一定要通过解题的教学实践培养学生的理性精神，让学生在数学文化的学习中提升素养，张扬个性. 一道中考试题的教学尝试，犹如老歌新唱，浅印深痕. 它唱出了数学文化魅力的神奇，唱出了师生成长的和谐，唱出了学生理性精神发展的足音. 面对日益发展的数学课堂教学，我将一如既往地探索数学解题的艺术，为提升学生的数学素养而不懈努力，在学生的数学学习活动中留下自己奋斗的印迹. ■ 探究与对策，拓宽解题能力的 路径 通过此道试题的教学实践，我还进行了深入的探究和思考，在教学中与学生一起研究解题的策略，进一步拓宽了解题的路径，让学生在解题中受益无穷，感受数学的神奇和魅力. 探究1 由显到隐，构建模型 一个小小的变化，即将已知条件适当变化，往往可以使试题平添一份滋味，能够有效地促进学生积极地思考，让学生主动学习. 例如本题由第（1）问求二次函数解析式，可以用一般式、交点式，重点培养学生发散思维的能力. 第（2）问要求△BOC周长的最小值，可转化为OB+OC+BC，点O，B为定点，线段OB的长为定值， 则OC+BC… 此条件还可以呈现为在对称轴上找C点使得到点O，B的距离之和最小等形式. 形式变化了，但其本质不变，解答时要求学生能将隐含的条件显化，在自己的知识网络中主动追寻基本模型，并与题目信息相联通. 对策：增强体验性，丰富学生解题实践 现代的学习方式要求教师结合学生的生活经验和已有的知识进行教学，习题教学也不例外. 在教学中我们要广泛建构解题模型，让学生在解题的体验中掌握透过现象抓住问题实质的能力，体味数学学习的思想和规律，逐渐培养学生的自主创新能力，为自身发展打下坚实的基础. 探究2？摇 深度挖掘， 面向全体 对策1：突出参与性，激发学生解题潜能 数学新课改的教学理念强调，教学中教师要转变师生角色，建立民主、平等、和谐的师生关系，激发学生学习数学的兴趣，让学生主动地参与数学学习，让学生真正成为学习的主人. 针对平时习题教学的实际，笔者设置了一些有趣、有效、有价值的问题，合理把握了学情和教学起点，学生都能积极主动地参与解题训练，在数学学习活动中学生个个热情高涨，表现非凡. 在习题教学中，我注重评价的多元化，总是放手让学生自我评价，让他们在自我判断、自我参照、自我调控中自我超越，最大限度地发挥自己的潜能. 例如本题中一题多解的解法，学生的解题潜能得到了最大的发挥，这让我倍感欣慰. 对策2：尊重差异性，分享学生成功体验 人本主义心理学家罗杰斯认为，师生之间的人际交流活动是教学活动的先决条件，是影响教学效果的一种决定性因素. 笔者以为，只有尊重学生的差异性，加强师生间的沟通，及时调整教学，才能有效地提高课堂教学效率. 例如本题的教学尝试，我通过设计具备适当难度、逐层递进、适度开放的题组教学，组织学生开展小组合作，让学生自主选择学习内容，在互相探究、思维碰撞中提升解题智慧. 并强化反思解决问题的过程，让学生获得解题成功的体验，只有这样，才能培养学生学习的自信心，才能使不同层次的学生在解题方面有不同的发展，从而实现全体学生获得全面发展. 美国著名数学家、数学教育家、数学史家克莱因在《西方文化中的数学》中写道：“数学是一种精神，一种理性的精神. 正是这种精神，激发、促进、鼓舞并驱使人类的思维得以运用到最完善的程度，亦正是这种精神，试图决定性地影响人类的物质、道德和社会生活；试图回答有关人类自身存在提出的问题；努力去理解和控制自然；尽力去探求和确立已经获得知识的最深刻的和最完美的内涵. ”作为数学教师，一定要通过解题的教学实践培养学生的理性精神，让学生在数学文化的学习中提升素养，张扬个性. 一道中考试题的教学尝试，犹如老歌新唱，浅印深痕. 它唱出了数学文化魅力的神奇，唱出了师生成长的和谐，唱出了学生理性精神发展的足音. 面对日益发展的数学课堂教学，我将一如既往地探索数学解题的艺术，为提升学生的数学素养而不懈努力，在学生的数学学习活动中留下自己奋斗的印迹. |
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