标题 | 课例“垂径定理”教案赏析 |
范文 | 徐建华 [摘 ?要] 圆是初中数学几何部分非常重要的知识,它是轴对称图形,垂径定理是圆对称性衍生出的一个重要性质,在圆的很多问题中都需要用到垂径定理及其推论. 上好这节课事关学生的后续学习,值得仔细探究与学习. [关键词] 垂径定理;激疑引趣 垂径定理是苏教九年级上册圆的对称性这一节的重要内容,它是圆对称的具化反映,是圆对称性的延伸与拓展,揭示了圆的弦与直径、弧与弧之间的几何关系和代数关系. 通过垂径定理的探究与运用,会向学生渗透“特殊—一般—特殊”的数学思想,培养学生观察分析、归纳概括的能力. 联系语文,激疑引趣 1. 语文课例:在初中语文八年级上册中,同学们都学过“中国石拱桥”这一课文. 课文向同学们详细介绍了位于河北境内现存最早的石拱桥——赵州桥. 大家还记得课文插图中赵州桥的样子吗?现在为了对这座古老的桥梁进行进一步研究,需要对其进行测算. 2. 问题引入:如图1所示,赵州桥是一座圆弧形拱桥,它桥拱的跨度为37.4 m,拱高7.2 m,问:桥拱的半径是多少?(注:跨度即为桥拱所对应的弦长,拱高即弧的中点到弦的长度) 赏析?摇 以学生学习过的语文课文为引子,有两点好处:其一,这是学生们熟悉的内容,根据心理学研究,学生在遇到自己熟悉的内容时往往会高度注意;其二,将语文与数学联系起来,会引起学生的好奇心,更易投入到本课的学习中. 循序渐进,猜想定理 数学是一门猜想的学科,许多伟大的数学定理都是由数学猜想开始的. 为了使学生们能够通过自我探究得到垂径定理,本课学习由猜想开始. 1. 旧知回顾,承上启下 观察图2和图3,并通过模型实验回答下列问题. (1)在图2中,弦AB将⊙O分成了两部分,说出每部分的名称. (2)移动图2中的AB,使之过圆点(图3),此时⊙O被分成的两部分各叫什么?它们存在什么样的关系?若将⊙O沿着AB对折(图3),两者能重合吗? 赏析?摇 为了保证学生学习过程中的自我探究,教师可让学生事先准备好几张圆形纸片,并让学生在回答问题前先动手实验——将圆形纸片沿任意一条直径对折,观察能否重合. (有些老师喜欢再用电脑去演示,笔者认为这是多此一举,因为学生通过亲身体验已经得到了最直观的感受,况且电脑演示的直观程度比实物的直观程度低)通过学生的验证,我们得到了有关圆的最基本性质——圆的对称性:圆是轴对称图形,任意一条直径所在的直线均是它的对称轴. 2. 运动变换,猜想结论 (1)变动中寻找规律 观察图4、图5和图6中弦AB的运动变化过程,分析图形并回答下列问题. ①图4中,AB和CD为⊙O的两条直径,找出圆中相等的线段与弧. ②图5中,直径AB与CD相互垂直,图中相等的线段与弧有哪些? ③图6中,保持AB与CD的垂直关系,上下平移弦AB,圆中存在哪些相等的线段与弧? ④通过上面三幅图的变换过程,你能否从中找到什么规律? (2)猜想中归纳结论 根据上述三幅图形的运动变化过程及探究得出的结论,我们可以大胆地做出如下猜测: 观察图6,AB为⊙O上任意一条弦,CD为⊙O的一条直径,AB和CD的关系是相互垂直,发现在上下平移AB的过程中,无论AB处于何位置,都存在这样的关系:AE=BE,=,=,因此,我们可以大胆地猜测这样的结论:在⊙O中,AB为圆的任意一条弦,CD为⊙O的一条直径,且AB⊥CD,垂足为点E,则AE=BE,=,=. 赏析?摇 在教学过程中,直接抛出垂径定理的命题让学生运用已有知识去证明,这是以往大多数教师采用的方法——讲授法,但这样就缺失了学生们的自我探究过程. 教学设计中通过两条直径相交,到两直径垂直,再到直径与非直径的弦垂直,给予了学生探究的空间,让学生有了足够的思维时间,体现了学生探究性学习的动态性和发现性,契合了学生的认知规律. 逐步探究,证明定理 1. 引导证明,归纳定理 理论的猜想需要严格的说理论证才能被运用于现实,为了证明我们的猜想,可对上述猜想进行更严谨的理论说明. 上述猜想可以转化成如下题设: 如图7所示,AB是⊙O的任意一条弦,CD为⊙O的一条直径,AB⊥CD,垂足为E,求证:AE=BE,=,=. 分析?摇 要证明AE=BE,题设中已知AB⊥CD,自然想到利用等腰三角形三线合一定理,因此需要构造三角形. 而弧相等可以考虑用圆心角所对应的弧相等或者用对称性来完成. 证明?摇 ①连结AO,BO,则AO=BO. AO=BOAB⊥CD?圯E为AB中点?圯AE=BE. ②由①知OC为∠AOB的平分线?圯∠AOC=∠BOC?圯=. ∠AOC=∠BOC∠COD=∠DOC?圯∠AOD=∠BOD?圯=. 通过上述证明过程,我们可以清晰地归纳出垂径定理: 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的弧. 数学符号表示为:CD⊥AB,垂足为ECD是圆O的直径,AB为圆O的弦?圯=AE=BE= 2. 巩固定理,探究变式 仔细分析垂径定理,可以发现它的构成包含五个要件:①CD为圆O的直径;②AB⊥CD;③AE=BE;④=;⑤=. 那么如果知晓其中任意两个条件,能否确定其他三者呢?我们需要进一步探究. 探究1?摇 在圆O中,AB为弦(非直径),CD为圆O的直径,且CD过AB的中点E,求证:AB⊥CD;=;=. 【可概括为平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧】 探究2?摇 在圆O中,CD为圆O的直径,AB为圆O的弦,且AB与CD交于点E,=,求证:AB⊥CD;AE=BE;=. 【可概括为平分弦所对劣弧的直径,垂直平分弦并且平分弦所对的优弧】 探究3?摇 在圆O中,CD为圆O的直径,AB为圆O的弦,且AB与CD交于点E,=,求证:AB⊥CD;AE=BE;=. 【可概括为平分弦所对优弧的直径,垂直平分弦并且平分弦所对的劣弧】 探究4?摇 在圆O中,CD和 AB均为圆O的弦,AB⊥CD于点E,且AE=BE,求证:CD为圆O直径;=;=. 【可概括为圆O的一条弦被另一条弦垂直平分,则此直线为直径,并且此直径平分弦所对的弧】 问:通过以上四个探究过程,你可以找到什么规律? 引导学生发现垂径定理反映的是直径、弦和弧之间的关系,引导学生认识到任意选择垂径定理构成要件中的两个要件,均可以得出其他三个要件. 为了使学生明确垂径定理的构成要件,巩固所学知识,安排图8至图11四幅图让学生判断能否使用垂径定理或其推论. 再次向学生强调垂径定理的运用需要两个条件,缺一不可. 赏析?摇 所谓不愤不启,不悱不发,在教学过程中,应力促学生达到愤悱的状态,然后给予启发,引导学生论证垂径定理. 接着,通过变换垂径定理的条件与结论,让学生自行论证,总结出垂径定理中的五个要件,且只要满足两个就可以得出其他三个这样的规律. 让学生完整无缺地经历垂径定理的知识探究过程,在探究的过程中提升思维的分析能力. 设置命题,运用定理 1. 联系勾股定理,运用于计算 案例1?摇 如图12所示,在圆O中,弦AB的长为24,点O到AB的距离为5,求圆O的半径. 分析?摇 这是垂径定理的使用,根据条件,点O到AB的距离为5,所以要作OC⊥AB,满足条件之一垂直;O为圆心,满足条件之二,OC是过圆心的直线. 根据垂径定理可知C为AB的中点,故BC=12. 要求半径只需连结OB,利用勾股定理. 变式1?摇 如图12所示,OB=5,OC=3,AC=BC,求AB的长. 分析?摇 这是垂径定理推论的使用,根据题设知OC是过圆心的直线,C是AB的中点,满足垂径定理的两个要件,因此可知OC⊥AB,再使用勾股定理可以求解BC,进而求得AB. 思考?摇 圆的弦长为2a,圆心到弦的距离为b,圆的半径为r,则a,b,r三者之间满足什么样的关系? 分析?摇 a,b,r三个字母分别代表半弦长、弦心距和半径,此三条线段组成了一个直角三角形,因此三者满足勾股定理,即a2+b2 = r2. 变式2?摇 如图13所示,在圆O中,AB=16,OC⊥AB于点E,CE=4,求圆O的半径. 分析?摇 根据题设可知,题目条件满足垂径定理,BE=8,设圆的半径为r,则OE=r-4. 根据勾股定理可得r2=(r-4)2+82,解得r=10. 问:现在你能解决赵州桥的半径问题了吗?(解略) 2. 联系几何知识,运用于证明 案例2?摇 如图14所示,在同心圆中,直线分别交大圆与小圆于A,B,C,D四点,求证:AC=BD. 分析?摇 隐去大圆,弦CD是小圆的一个非直径弦,过点O作OE⊥CD于点E,可以利用垂径定理,证明CE=DE. 隐去小圆,弦AB为大圆的非直径弦,A,B,C,D在同一直线上,又OE⊥AB,利用垂径定理可得AE=BE. 两式相减可以得到AC=BD. 变式1?摇 图14中隐去大圆或小圆,需要哪些条件才能证明AC=BD? 变式2?摇 如果是三个同心圆,你能证明哪些线段相等? 案例2的目的主要是让学生明确这样一个事实:过圆心作弦的垂线是解决这类问题常用的方法. 赏析?摇 从代数和几何两方面运用垂径定理,覆盖了垂径定理运用的面,恰当地变换问题题设与结论,拓宽了垂径定理运用的范围与难度,细化了垂径定理运用的点. 学生在同种题型、不同形式的题目训练中升华了知识,促进了知识点的迁移. 学生的学习,尤其是数学习题,是一个逐步探索的过程,讲授法虽然可以高效率地将知识灌输给学生,但学生的印象却不如逐步探究来得深刻. 学生的发展是学生通过对一条条定理、一道道例题的自主探究而形成的,教学中应放手让学生自我探究,但应注意形散而神聚. |
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