| 标题 | 一个n元分式不等式的下限及推广 |
| 范文 | 李宏铭 摘 ?要：通过琴生不等式，证明一个形式上简洁对称的n元分式不等式，在求最值即寻求最佳上下界时很有作用. 作为一个具体例子，完善了《一个n元分式不等式》一文的结论并做了推广. 文末给出了一个猜想，为继续研究留下了一个课题. 关键词：琴生不等式;推广;凹凸性;上下界;猜想 《一个n元分式不等式》一文（简称文[1]）给出了下面的一个n元分式不等式（即命题1） 命题1 ?若x1，x2，…，xn是非负实数， ?xi=1，n≥3，则 ? ?≤ ?. ① 其实，该不等式不但有上限，而且有下限，这一点文[1]没有涉及. 本文先由琴生不等式推出一个有用的结果，再对不等式①做两个方面的工作：一是给出下限及推广;二是对不等式①本身进行加限推广;最后给出一个猜想. 从琴生不等式得到的预备结果 引理1 ?若ai，bi∈（0，+∞），k，n∈N*，n≥2则 ? ? ?bik≥（ ?ai）k+1②，当且仅当 ?= ?=…= ?时，等号成立. 证明：若令λ= ?bi，则不等式②即为 ? ?·λk≥ ?aik+1③，又可化为 ≥ ?aik+1， 即 ? ? ?k+1≥ ?aik+1. 注意到k∈N*，函数f（x）=xk+1在区间[0，+∞）是严格下凸函数，且 ? ?= ? ?bi= ?·λ=1，由琴生不等式可知 f ?≥f ? ?· ?=f ?ai， 即得 ? ? ?k+1≥f ?aik+1， 即不等式③成立，从而②成立. ？摇 根据琴生不等式中的等号成立条件，可知不等式③中等号成立的充要条件为 ?= ?=…= ?，即 ?= ?=…= ?.？摇 证毕. 本文下面的推导中用到的是下面的等价形式： 引理1的等价形式：若ai，bi∈（0，+∞），k，n∈N*，n≥2则 ≥ ?.？摇？摇 ④ 当且仅当 ?= ?=…= ?时，等号成立. ①式的下限 命题2 ?若x1，x2，…，xn是非负实数， ?xi=1，n≥3，m，k∈N，k≥2， 则 ? ?> ?. ⑤ 证明： ? ?= ? ?≥ ?= ?. 因为x1，x2，…，xn是非负实数且 ?xi=1，所以 ?x ?≤1，从而有 > ?. 上述证明中两次使用不等式，前一次中等号成立的充要条件是x1=x2=…=xn= ?;后一次中，等号成立的充要条件是某一个xi=1，其余都等于0.故知两个不等式中的等号不能同时成立.证毕. 特别地，当k=2时，由⑤式可直接得到不等式①的下限为 ? ?> ?. ①式的推广 引理2 函数f（x）= ?在0， ?是上凸函数，在 ?，+∞是下凸函数. 证明：f′（x）=- ?，因为-4x（1+x2）3<0，故f（x）在[0，+∞）上单调递减. f ″（x）= ?. 故在0， ?上f ″（x）≥0恒成立，f（x）是上凸函数;在 ?，+∞上f ″（x）≤0恒成立，f（x）是下凸函数. 证毕. 命题3 ?若x1，x2，…，xn都是0， ?内的实数， ?xi=λ，n≥3，m，k∈N，k≥2，则 ? ?≤ ?. 当且仅当x1=x2=…=xn= ?时，等号成立. 证明：因为函数f（x）= ?在0， ?是上凸函数，故 ? ? ?≤ ?= ?= ?. 从而 ? ?≤ ?. 证毕. 再注意到函数f（x）= ?在 ?，+∞是下凸函数，重复这个过程（从略），可得： 命题4 ?若x1，x2，…，xn都是 ?，+∞内的实数， ?xi=λ，n≥3，m，k∈N，k≥2，则 ? ?≥ ?. 当且仅当x1=x2=…=xn= ?时，等号成立. ？摇？摇更一般地，我们有下面的命题5、6，为阅读的方便，先给出引理3. 引理3 ?若m，k∈N，k≥2，则函数f（x）= ?在0， ?是上凸函数，在 ?，+∞是下凸函数，且在[0，+∞）上单调递减. 证明：f ′（x）=- ?<0，故f（x）在[0，+∞）上单调递减. f ″（x）= ?·[（mk+1）xm-（m-1）]，故在0， ?上f ″（x）≥0恒成立，f（x）是上凸函数;在 ?，+∞上f ″（x）≤0恒成立，f（x）是下凸函数. 证毕. 由此可得下面的命题5和6，其证明与命题3完全相同，故从略. 命题5 ?若x1，x2，…，xn都是0， ?内的实数， ?xi=λ，n≥2，n，m，k∈N，k≥2，则 ? ?≤ ?. 当且仅当x1=x2=…=xn= ?时，等号成立. 命题6 ?若x1，x2，…，xn都是 ?，+∞内的实数， ?xi=λ，n≥2，n，m，k∈N，k≥2，则 ? ?≥ ?. 当且仅当x1=x2=…=xn= ?时，等号成立. 一个猜想 对于更一般的情形，仿照命题1，我们给出下面的猜想. 猜想： 若x1，x2，…，xn都是非负实数， ?xi= ?，n≥2，n，m，k∈N，k≥2，则 ? ?≤ ?. 当且仅当x1=x2=…=xn= ?时，等号成立. |
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