| 标题 | 坐标测量机校准中三维探测误差的计算方法的探讨 |
| 范文 | 李品 摘要：三坐标测量机是20世纪60年代发展起来的一种新型、高效、多功能的精密测量仪器。对于坐标测量机校准和性能评价中，其中最大允许探测误差（MPEP）是一项重要指标。文章对探測误差的计算方法从一种常见的数学模型出发，探讨具体的算法、数学原理以及实现该方法的过程。为从事该项目校准的人员提供理论和实践的参考。 Abstract： Coordinate measuring machine is a new type， high efficiency and multifunctional precision measuring instrument developed in the 1960s. For coordinate measuring machine calibration and performance evaluation， the maximum allowable detection error （MPEP） is an important indicator. This article starts from a common mathematical model for the calculation method of detection error， and discusses the specific algorithms， mathematical principles， and the process of implementing the method to provide theoretical and practical references for those engaged in the calibration of this project. 关键词：三维探测误差;最小二乘法;拟合球 Key words： three-dimensional detection error;least squares method;fitting sphere 中图分类号：TH721? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文献标识码：A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文章编号：1006-4311（2020）04-0240-02 0? 引言 坐标测量机（Coordinate Measuring Machine，简称CMM）是一种测量物体几何特征的设备，通过机器上的探测器去感应（接触式或非接触式）被测物体表面上的分连续的点。在坐标测量机上有各种各样的探测器，包括机械式探针，光学探测器，激光探测器，白光探测器。探测器的位置可以手动或者自动去调整。坐标测量机主要通过在三维笛卡尔坐标系中（带有xyz轴）的探针相对于参考位置的位移来描述被测量的空间位置。很多坐标测量机还可以控制探针的角度来测量更多的不规则形状物体。 1? 三坐标测量机的精度要求 根据《GBT 16857.2 产品几何技术规范（GPS）坐标测量机的验收检测和复检检测 第2部分：用于测量尺寸的坐标测量机》中规定了两项不同的误差的检测：尺寸测量的示值误差和探测误差。尺寸测量的示值误差只涉及了探测系统的二维性能，作为补充，还需要评定三维探测误差。常用的测量校准器具有量块和标准球，分别用于尺寸测量的示值误差及三维探测误差的校准测量。 2? 探测误差的校准方法 根据《JJF 1064-2010 坐标测量机校准规范》7.1.1（三维）探测误差（P），探测误差校准方法的原理：通过确定测量点到最小二乘拟合球球心距离的范围，评价三维探测误差P是否符合规定的最大允许探测误差MPEP。 校准程序： 选择合适尺寸的检测球（标准球需经上级计量部门校准）。 再允许的极限内，用于可以任意选择探针的方向和检测球的安装位置。 安装检测球。检测球应安装牢固，以减小晃动引入的误差。 建议探针的方向不平行于坐标测量机的任一轴。（注：探针方向和检测球安装位置的选择可能明显地影响测量结果）。 测量并记录25个点。这些点应尽量均匀分布再检测球至少半个球上。点的分布位置应有用户规定。如果用户没有规定，建议下列探测分布： 在检测球的极点（探针方向所定义）一点; 极点下22.5°四点（均匀分布）; 极点下45°八点（均匀分布），相对于前一组点旋转22.5°; 极点下67.5°四点（均匀分布），相对于前一组点旋转22.5°; 极点下90°（即在赤道上）八点（均匀分布），相对于前一组点旋转22.5°。 由此得到25个点的空间直角坐标P（xi，yi，zi）。使用所有25个测量点，计算最小二乘拟合球（实际上是得到拟合球的球心的坐标值和拟合球的半径）。对25个测量点分别计算最小二乘半径距离R（每一个测量点坐标与拟合球球心坐标之间的距离）。计算探测误差P，为25个最小二乘半径距离的范围：P=Rmax-Rmin。 3? 探测误差的计算方法 3.1 数学模型 3.2 数学原理 最小二乘法（又称最小平方法），它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数（本文中指上述误差函数数学模型）匹配，找出最优解。文章中指球心坐标（a，b，c），半径r的确切值。 3.3 计算方法 在这里，需要使用固定点迭代法，迭代法是通过一个初始估计出发，寻找一系列近似解来解决问题的数学过程。和直接法不同，用迭代法求解问题时，其步骤没有固定的次数，而且只能求得问题的近似解，所找到的一系列近似解会收敛到问题的精确解。 3.4 固定点迭代算法程序 ①输入25个坐标点。 ②计算平均值，作为初始迭代的点。 ③赋值i=0，精确度e=10-6，将初始迭代点（x，y，z）分别赋值给（ai，bi，ci）。 ④分别代入（ai，bi，ci）到表达式上中计算得到新的（ai+1，bi+1，ci+1）。 ⑤计算迭代前后的差值ai+1-ai，bi+1-bi，ci+1-ci（确保收敛），分别与精确度e比较，循环执行第4步，直到三个差值都比e要小结束循环。 ⑥输出最后一次迭代计算的结果（ai+1，bi+1，ci+1）。 4? 使用Excel验证此探测误差计算方法正确性 使用Excel软件，输入根据坐标测量机采集到的25个点的坐标，利用绝对引入和相对引用的功能，只需要编辑一行计算公式，就可以通过拖拽单元格的方式实现迭代计算，通过Excel的计算，在第78次迭代计算时，三个差值都小于10-5mm，在第100次迭代计算时，三个差值都小于10-6mm。图1为差值收敛的曲线。 这样就得到了最小二乘拟合球的球心和半径，再通过Excel就能很容易求出每一个测量点坐标与拟合球球心坐标之间的距离，并找出最大值和最小值，从而求出三维探测误差P。 5? 总结 以上列出的只是求三维探测误差P及最小二乘拟合球的一种计算原理、算法及验证方法。还有其他的算法，在追求最优解的路上还有很多途径，选择何种算法，取决于更深层的计算机硬件，来达到程序最优，效率最高，值得更多人去探讨。 参考文献： [1]全国几何量长度计量技术委员会.JJF 1064-2010，坐标测量机校准规范[S]. [2]罗晓晔，王慧珍，陈发波.机械检测技术[M].浙江大学出版社. [3]李庆杨.数值分析[M].清华大学出版社. |
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