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标题 初中数学最值问题分类解析
范文 薛俊



[摘 要] 在初中数学中有一类中档题叫最值问题，在进一步分类中又可按照解决问题所依照的数学理论是代数知识还是几何知识分为代数背景下的最值和几何背景下的最值. 每类问题都可以根据相关的数学理论建立相关的解题模型，依照模型可以方便解决相关最值问题.
[关键词] 代数；几何；最小值
最值问题就是在学生几何与代数知识有所积累后，所遇到的一类难度较大、灵活性较强、综合性较高的题目. 伴随它在初中数学竞赛和中考题目中出现的频率的逐步提高，它在初中数学中的重要地位也逐步凸显. 因此，有必要对这类问题作一个细致的分析，以帮助学生更好地认识这类问题的本质，提升解题的质量.
几何背景下的最值常见模型
分析
初中阶段，几何背景下最值求解的典型例题是线段和最小，而作为这类问题的解题依据通常有三种：其一，两点之间线段最短；其二，点到直线的距离垂线段最短；其三，三角形的两边之和大于第三边. 为增加题目的难度，通常将对称与上述知识点嵌套使用，这就意味着抽象出几种常见问题的模型很有必要.
1. 对称背景下的两点之间线段最短
两点之间线段最短，为我们解决线段和最小值提供了解题依据，同时也勾勒出了几何背景下的最小值求解的数学模型之一. 它通常与对称问题嵌套使用，共同刻画线段和的最小值解法步骤. 这种数学模型的基本样式为：如图1，在两定点已知的情况下，求直线上一动点到两定点距离和的最小值. 在这种数学模型下，往往先利用对称求解某一定点关于定直线的对称点，将动点到两点的距离和转化成动点到对称点和定点的距离和. 由于定点和另一定点的对称点分居直线两侧，因此线段和的最小值就可转化成对称点和一定点之间的距离.
例1 在如图2所示的平面直角坐标系中，点P是直线y=x上的动点，A（1，0），B（2，0）是x轴上两定点，求PA+PB的最小值.
分析 因为A，B位于直线的同侧，因此需要借助对称的方法来确定P点的位置. 因为PA+PB=PA′+PB，所以当A′，B，P三点共线时目标表达式取最小值.
由对称可知：PA+PB=PA′+PB，所以（PA+PB）=BA′.
因为A和A′关于直线y=x对称，所以OA′=OA=1，OB=2. 因为△OBA′为直角三角形，满足勾股定理，所以（PA+PB）.
2. 对称背景下的垂线段最短
众所周知，在点到直线的所有线段中，垂线段的距离是最短的. 因此，几何题目中这一公理通常被用作点到线最短距离的解题依据. 对于简单题的处理，上述理论即可解决问题，但有时为了增加试卷的区分度，命题者往往结合其他知识点同时进行考查. 而对称则是出现频率比较高的一类知识点，通过对称能够将原来两线段之和距离最小转化成对称点到直线的所有线段中距离最小，这就是对称背景下垂线段最短运用的基本模型. 如下，以北京的数学竞赛题为例，详细解读这一类型题的解决过程.
例2 如图3，在矩形ABCD中，AB=20 cm，BC=10 cm，请在AC，AB上各找一点M，N，使得BM+MN的值最小.
分析 作B关于直线AC的对称点B′，当B′，M，N三点共线时，BM+MN=B′M+MN=B′N. 如图所示，当B′N⊥AB时线段B′N最短，图中B′N即为所求.
由AB·BC=BE·AC？圯BE=4？圯BB′=8.
由△BB′N∽△CAB？圯AB ∶ AC=B′N ∶ BB′？圯B′N=16，所以（BM+MN）=16.
3. 对称背景下的三角形两边之和大于第三边
几何问题的最值本质上是目标表达式的一个取值范围问题，从知识归类上看它属于不等式范畴. 扫描初中几何知识点，不难找到有关不等式的几何公式，它们可以被用来计算几何最值问题. 这些知识点中三角形的两边之和大于第三边是一个典型的几何公理. 如图4所示，若选择线段AB作为三角形的一边，则可以发现若点C位于线段两侧均可得到AC+BC>AB，但随着点C运动到A，B之间时，可以发现AC+BC=AB. 综合所有情况，可以发现原公理所表示的不等式可以转化为AC+BC≥AB，这就为我们求解几何最小值提供了依据.
而对称背景下的两边之和大于第三边，就是利用对称将已知点到某点的距离转化成对称点到点的距离，然后构造三角形来解决问题. 如下以2014年东营中考试卷中的一道求解几何最值的题目详解上述理论的运用.
例3 如图5，在⊙O中，AB是直径，AB=8，，M是AB上一动点，求CM+DM的最小值.
分析 作D关于AB的对称点D′，由题意可知C，D为的三等分点，所以CD′为⊙O的直径.
由轴对称的性质可知，DM=D′M？圯CM+DM=CM+D′M.
M在AB上运动时，D′，C，M三点构成三角形（M与O重合除外）. 根据三角形中两边之和大于第三边可知， CM+D′M>D′C；当M与O重合时，CM+D′M=D′C. 综上所述：CM+D′M≥D′C，所以CM+DM的最小值为8.
通过上述三个例子可以发现，对称背景下的最小值求解，有一个共性，即求解的第一步为利用对称性找出对称点，然后再在此基础嵌套使用相关几何定理来确定动点在何位置时，线段和取最小值. 因此，在对称背景下的最值求解，关键步骤在于利用对称的特性，将题意转化，化“折”为“直”.
代数背景下的最值模型分析
初中阶段，代数背景下最值求解的类型包括如下几种：其一，函数背景下的最值；其二，方程背景下的最值；其三，代数式背景下的最值. 无论哪种类型，其解题的最关键点是建立起不等关系，利用不等关系，求解范围，进而求解最值.
1. 函数背景下的最值
初中阶段能够作为最值求解依据的包括二次函数存在最小值或最大值以及函数单调性，因此，利用二次函数顶点求最值是其中一类；而另一类则是利用初中常见基本初等函数的单调性来求解.
①二次函数求解最值：众所周知，对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当a>0时，y存在最小值，最小值为y=；当a<0时，y存在最大值，最大值为y=. 例如，二次函数y= -2x2+140x-500，因为其开口向下，所以顶点纵坐标为其最大值，最大值为1950.
②函数单调性求解最值：由于初中仅涉猎了一次函数、二次函数及反比例函数的单调性，所以这种类型的题目通常会在上述基本初等函数中产生. 通常的模型是结合函数的单调性求解给定区间上的函数最值. 例如，某工厂要招聘A，B两类工人150人，其中A类工人的工资为600元，B类工人的工资为1000元，要求B类人数不少于A类的2倍，问：如何招聘工资最少？显然可设招A类工人x人，则B类工人为（150-x）人，付出工资为y，则150-x≥2x，解得02. 方程背景下的最值
以方程为背景的最值模型，往往为求y=（f（x），g（x）中有一个为二次多项式）的最小值或最大值，这一类型若按原型归类应当归于函数背景下，但由于初中知识范围有限，无法通过函数去求解最值，但可以通过恒等变形将函数转化成方程，此时就可以借助一元二次方程根的判别式建立一个关于y的不等式，求解不等式，可得一个关于y的范围.
例如，求y=的最大值和最小值. 恒等变换可得x2-x+1=y（x2+x+1），移项变形为（y-1）x2+（y+1）x+y-1=0. 由于x2+x+1>0恒成立，所以x∈R，所以方程必然有解，Δ=（1+y）2-4（y-1）2≥0，解得≤y≤3. 所以y，ymax=3.
3.？摇代数式背景下的最值
代数式背景下的最值模型往往是ax2+bx+cy2+dy+e可化成（kx+m）2+（hy+n）2+l的形式，显然在实数范围内（kx+m）2+（hy+n）2+l≥l，当且仅当kx+m=hy+n=0时代数式取到l. 这其实是利用了非负数的性质建立了不等关系，从而获取最值.
例如，a，b为实数，求a2+ab+b2-a-2b的最值. 显然上式可以化成两个非负代数式的和，即原式=ab-1）2-1≥-1，当a=0，b=1时取到等号，所以上述代数式的最小值为-1.
回顾两类问题的解题思想，反思两类问题的解题依据，其实不难发现，解决最值问题所依赖的知识共可以分成两类：一类是与最值相关的几何定理、公理；一类是与范围有联系的代数公式. 在解题的过程中根据题目呈现的不同实际情况，可以单独使用其中一类知识，或者将两类知识交叉使用来解决.
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更新时间：2025/3/13 0:42:56