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一种基于MC算法构建城市供水管网水压面的方法

范文

欧阳帆邓文琪

摘要：城市管网压力面的精确模拟是供水系统运行维护的重要基础。为克服单一拟合曲面精度难以提高的弊端，利用管网原始离散节点水压值分别构建了非均匀B样条（NURBS）曲面和分块多项式内插拟合曲面，采用移动立方体（MC）算法将这两个曲面进行处理，使新生成的水压面具有较高的拟合精度。

Abstract： The accurate simulation of pressure surface of urban pipe network is an important basis for the operation and maintenance of water supply system. In order to overcome the shortcomings that the accuracy of a single fitting surface is difficult to improve， a non-uniform B-spline（NURBS） surface and a block polynomial interpolation fitting surface are constructed using the original discrete node water pressure values of the pipe network， the moving cube （MC） algorithm is used to process these two surfaces， so that the newly generated water pressure surface has a high fitting accuracy.

關键词：MC算法;水压面;城市供水管网

Key words： MC algorithm;water pressure surface;urban water supply network

中图分类号：TU821.3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文献标识码：A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文章编号：1006-4311（2020）15-0257-02

1 研究背景

城市管网压力面的精确模拟是供水系统运行维护的重要基础，目前压力曲面构建方法中NURBS曲面和分块多项式内插拟合具有代表性。NURBS曲面能精确表示二次曲线弧与二次曲面[1];分块多项式内插拟合内插速度快，同时能保证分块连接处为平滑连续曲面[2]。

但是，NURBS曲面除构建曲面时的型值点在曲面上之外，其他的原始数据都只能得到较好的逼近;分块多项式内插拟合虽然一定程度上解决了多项式对整个管网进行插值时多项式的阶次越高拟合函数就越容易出现震荡的问题[2]，却无法消除震荡。

近些年，以移动立方体（MC）法为代表的等值面重构被广泛地应用于医学等值面模拟和金属探伤等方面，在以上两种水压曲面的基础上，结合MC算法构建市政给水管网压力面不失为一种新的尝试。

2 ?两种单一水压面构建方法

2.1 Shepard内插法构建NURBS管网水压面

信昆仑[3]等以总水压值hi作为三维坐标的Z轴，以管网节点（xi，yi，hi）作为型值点在城市管网平面投影区域上进行Shepard插值，得到四边形网格上的水压数据，构造出基于双三次B样条曲面片的NURBS水压面，方程如下：

式中：u，w∈[0，1]，p为控制点矩阵。

2.2 分块多项式拟合法构建管网水压面

将整个水压面分块，构建各分块的双三次曲面方程如下：

为保证分块区域间的连续和光滑性，从两相邻水压面扭矩连续拼接处x及y方向斜率都应保持连续条件出发可以得到关于a1，a2，…，a16的方程并确定其值。

3 ?基于MC算法构建水压面

3.1 MC算法简介

MC算法基本原理是：空间由无数的小立方体（体元）构成的，等值面与其中一些立方体相交，在立方体内部得到三角形曲面片，保证从相邻的边缘立方体中提取三角曲面片并拼接成曲面。根据三角形面片与体元八个顶点的拓扑关系建立一个以八位二进制为索引值的查找表，通过该表能够查询出与曲面相交的体元的边的序号，从而通过一定的插值方法求出曲面与体元的交点[4]。

3.2 MC算法定位拟合效果更佳离散点

3.2.1 求两单一曲面与MC立方体的交点

根据奈奎斯特采样定理当采样间隔Dx能使在函数F（x）中存在的最高频率中每周期取有两个样本时，则采样数据可以完全恢复原函数F（x）。基于上述MC算法，可将空间划分为无数个边长为δλ的小立方体[2]，δλ=min[1/2f1，1/2f2]，其中f1，f2分别是NURBS曲面和分块多项式内插拟合曲面的频率。

令NURBS曲面为F1（x，y），分块多项式内插拟合曲面为F2（x，y），当x∈[xi，xi-1]，y∈[yj，yj+1]时，计算出F1（xi，yj），F1（xi-1，yj），F1（xi，yj+1），F1（xi-1，yj+1）的值。令：

式中：n1，k表示曲面与x∈[xi，xi-1]，y∈[yj，yj+1]空间内从k开始的n1个立方体相交。

此空间区域内分布的第k个立方体可表示为hk，其8个顶点分别是hk（xi，yj），hk（xi-1，yj），hk（xi，yj+1），hk（xi-1，yj+1），hk+1（xi，yj），hk+1（xi-1，yj），hk+1（xi，yj+1），hk+1（xi-1，yj+1）并且有：

基于MC法分别比较第k，k+1，…，（k+n1）个立方体的8个顶点与F1（xi，yj），F1（xi-1，yj），F1（xi，yj+1），F1（xi-1，yj+1）的大小，将大于F1（x，y）的立方体顶点标记为1，小于F1（x，y）的标记为0，以此得到一个基于体元与曲面拓扑关系的8位二进制索引值，并查找MC算法的查找表得到与曲面相交的立方体的边。因为小立方体足够小，找到立方体与曲面相交的边时，交点默认为是立方体边的中点。

同理可以得到分块多项式内插拟合曲面与x∈[xi，xi-1]，y∈[yj，yj+1]空间域内从m开始的n0个立方体相交的点。

3.2.2 定位更佳离散拟合点

当x∈[xi，xi-1]，y∈[yj，yj+1]时，因为δλ足够小，可选该区域内的水压均值μh来代表该区域内真实水压面的水压值，由于NURBS曲面除型值点外其它点只能较好逼近，而分块多项式内插拟合曲面拟合阶次再高也无法克服其围绕真实值震荡的缺点。因此x∈[xi，xi-1]，y∈[yj，yj+1]，两个曲面上的点都是围绕水压均值点来回震荡，与μh值邻近的值出现的概率大，离μh越小的值出现的概率越小，并且该区域两种曲面上的点分布都是集中在μh附近，从而当x∈[xi，xi-1]，y∈[yj，yj+1]时，真实水压面上的点Q（x，y，h）服从三元正态分布N3（μ，∑）。因此可以将定位拟合效果更佳的离散点的问题转化为求总体均值μ的最大似然估计。

将真实水压面上的点视为总体，基于MC算法求得的交点视为来自总体的样本点，在作似然估计之前需要对上述来自总体的样本值做一定的预处理，依据区间估计原理求出总体水压均值μh的置信度为（1-α）的置信区间，将未落入区间之内的样本值剔除掉。因为总体服从正态分布，方差未知，故采用如下公式求置信区间[5]：

式中：为样水压本均值，S*n为样本水压标准差，且

上述三元正态分布未知参数值μ的最大似然估计为：

式中：n为样本点数。

令k01，k11，…kn1，m01，m11，…，mn1，为样本值经过预处理之后曲面分别与第k，（k+1），…，（k+n1），m，（m+1），…，（m+n0）个立方体方向边的交点数，k00，k10，…，kn0， m00，m10，…，mn0為曲面分别与第k，（k+1），…，（k+n1），m，（m+1），…，（m+n0）个立方体水平方向边的交点，欲求的点为Qi：

令NURBS曲面与第k到k+n1个立方体沿AB方向与立方体交点数为n01，沿BC方向与立方体交点数为n11，沿CD方向与立方体的交点数为n21，沿DA方向与立方体的交点数为n31;分块二元样条插值曲面与第m个立方体到m+n0个立方体沿AB方向与立方体交点数为n00，沿BC方向与立方体交点数为n10，沿CD方向与立方体的交点个数为n20，沿DA方向与立方体的交点数为n30，则：

当Qi（x），Qi（y），Qi（h）确定下来时，就定位出了空间中更逼近真实水压的点。

4 ?结论

提出了一种基于MC算法构建市政给水管网水压面的新思路。通过MC算法得到同一区域内NURBS曲面及分块多项式插值拟合曲面与空间小立方体的所有相交点，并对这些交点运用区间估计理论进行预处理，剔除拟合误差较大点，继而用最大似然估计法定位得到更加逼近真实水压面的离散数据点。该法有效地克服了用单一曲面逼近离散点时的缺陷，但是由于MC算法本身存在二义性，导致由离散点拼接成的多边形有多种可能，二义性有待解决，从而得到更高精度的离散点。

参考文献：

[1]施法中.计算机辅助设计与有理B样条[M].北京：高等教育出版社，2001，8.

[2]李志林，朱庆. 数字高程模型[M].武汉：武汉测绘科技大学出版社，2000，3.

[3]信昆仑，刘遂庆，耿为民.城市给水管网三维水压面的绘制[J].给水排水，2002，28（6）：83-85.

[4]胡凌燕，史康柏，徐少平，刘小平.基于改进立方体算法的三维重建[J].中国医学影像技术，2019，35（6）：925-929.

[6]赵选民，徐伟，师义民，秦超英.数理统计[M].北京：科学出版社，2002.

基金项目：广东省教育厅青年创新项目（2017GkQNCX066）;深圳市科技计划（JCYJ20180307155011964）;深圳信息职业技术学院青年科技培育项目（QN201708）;深圳信息职业技术学院青年创新团队项目（SZIIT2019KJ024）。

课题项目：全国轻工职业教育教学指导委员会2018年度教改课题《基于教育部生态文明教育需求下的高等职业院校VR游戏化垃圾分类课程的设计、实施和评价研究》，课题编号：QGHZW2018076。

作者简介：欧阳帆（1984-），女，湖南汝城人，博士研究生，专任教师，讲师，研究方向为生物信息学处理及市政管网漏损预判。

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