| 标题 | 反复抽象：数学建模不可或缺的思维裂变 |
| 范文 | 唐惠玉 摘 要：生活中往往蕴藏着很多无关紧要的信息，影响了学生对数学本质知识的体验与感知。这就要求教师捕捉蕴含在其中的数学信息，将具体的生活场景转化为符号化的数学问题，即在建模的过程中还原数学本质。本文提出要尊重学生，在直觉性思维中进行提炼；协调商定，在统一性原则下达成共识；化繁为简，在简易性思维中再现本质；反思质变，在反复性抽象中广泛拓展，从而促进学生建模能力的生长。 关键词：尊重学生；反思质变；化繁为简；数学建模 数学源自于生活，但生活中往往蕴藏着很多无关紧要的信息，影响了学生对数学本质知识的体验与感知。这就要求教师捕捉蕴含在其中的数学信息，将具体的生活场景转化为符号化的数学问题，即在建模的过程中还原数学本质。而这一切需要学生抽象化思维的不断参与，笔者就以四年级中“用数对确定位置”这一内容的教学为例，谈谈自己的一些思考与实践。 一、尊重学生，在直觉性思维中进行提炼 直觉是生命个体凭借自身的感知意识，在不经意状态下所形成的一种体验认知。人们在分析生活中的常见现象时，就可以依据自身的直觉意识对生活中的现象进行抽象，这其中就包括了人们默认的一些规则和策略。 比如教学伊始，教师组织学生开展“猜谜语”的游戏，先出示一排学生喜爱的小动物，然后选择其中一只小动物将其所处的位置告知学生，让该生借助手语的方式将小动物的位置信息传递给其他学生，看谁能够更好地理解该生的动作，找出这只小动物。一位学生竖起了4根手指，很多学生都能意识到是从左向右数第4个。而后，教师加大游戏难度，出示了6×6的动物方阵，以同样的方式展开游戏，当一位学生用双手表达出3和5两个数字时，其他学生则说出了很多不同的理解，所确定的位置也千差万别。 面对一排和方阵两种不同的排列方式，学生自主运用了一个数字和两个数字的方式表示位置，这种抽象式的表达技巧，是学生自发形成的，是在规避了言语表达情况下学生意识中的一种自觉。简单的游戏却让学生经历了一次从直观鲜明到问题抽象的过程，初步感知了数学建模的思想。学生在自主性抽象直觉体验成果时，一般都能依循生活中的思维习惯。如在方阵排列时，教师了解到有的学生将其看成是书页上的文字，有的学生将其视为做操时排列的队伍，用具体的数字表示第几行第几个。也正因为如此，学生才出现了理解上的歧义。 不管何种方法，都是学生自主意识中对生活问题的提炼与抽象，都是学生内在意识进行建模的开始。这就要求教师在教学中要善于把握学生的认知规律，依循学生原始的思维习惯展开引领，从而为抽象化的建模服务。 二、协调商定，在统一性原则下达成共识 由于生命个体内在的差异性，他们原始经验不同、直觉思维不同，依循自己直觉而抽象出来的模型也有着一定的差异，与他人进行交流分享时，自然会出现一些错误和障碍。但数学模型的结构应该是相同的，应该呈现出一种固有的形态，应该得到所有人的认可和接受。这就意味着教师要在尊重学生个性直觉的过程中，实行统一性原则，从而便于学生的认知与理解。 比如在这节课中，学生面对方阵排列出现了不同的理解状态，教师应该给予学生表达自我的空间，说说自己的理解：有的学生至上而下地理解，有的学生从左到右，有的学生先行后列，有的学生先列后行……正是理解方式的不同，所以对位置确定的结果也就五花八门。针对这一现象，教师组织同桌两人先协调商定，然后再进行游戏，此时两人就形成了“心有灵犀一点通”的效果，没有再出现歧义。在反思分析中，很多学生指出同桌两人之间已经有了明确的规定，对表达的顺序和方式有了统一的方法，就一定可以準确地理解对方的意思，从而明确小动物所处的位置。这种方式下的建模，其抽象的程度更高，对学生内在思维能力的要求也自然水涨船高。教师引领学生继续思考：那怎样才能让全班学生都一下子猜对小动物所处的位置呢？学生纷纷指出可以在全班范围内统一规则，就可以形成统一的表达原则，问题也就迎刃而解了。 这一板块中的抽象方法，是在学生个体直觉抽象的基础上进行的，学生与自己的合作伙伴交流商讨，就是为了统一规则，为更深入的抽象提炼奠定基础。只有在这种状态下所提炼出来的抽象模型，才能被所有的人接受。更高级别的问题情境中，数学家尝试用数对的方式表示事物的具体位置，也是基于统一原则的前提下进行的，否则也容易出现理解的误区，导致科学实践的失败。 三、化繁为简，在简易性思维中再现本质 数学是一门追求从复杂到简单的学科，尝试运用最为简练的语言和符号，来表示纷繁复杂的数量关系。因此，教师在引领学生进行模型建构时，应该尊重数学课程简化性的特点，促进学生数学意识的高效发展。 如为了让学生更深入地理解“数对”在确定事物位置时所起到的作用，教师利用课件出示了教室里的座位图，引领学生以教师站立在讲台前的视角观察学生的座位，了解教师就是依照“先列后行”的方式确定位置的，而数学家所提倡的“数对”也是如此。教师可以引导学生将每个座位视为一个小圆点，将座位图转化为更简洁的点阵图，形象的生活元素变成了抽象的数学符号，但其内在的规则并没有变化。这就让学生意识到在“万变不离其宗”的大前提下，可将一些无关紧要的内容剔除，将具有生活气息的数学内容抽象成为数学问题进行表达。 随后，教师引领学生思考：第3列第4行的表述方法，还可以怎样简化呢？教学中，教师依次报了一串数对，要求学生记录这些动物的位置，速度越报越快，很多学生难以记录，但也有学生能够完整记录，并分毫不差地确定了这些小动物的位置。在经验分享时，这部分学生表示在心中默认了先列后行的原则，只要记录两个数字，即可准确定位。随后，教师则引导学生运用（3，4）的格式记录数对，将简化性的特点贯彻在学生学习过程中。 教师运用这种方式，逼迫着学生更加快速地记录数对、确定位置，不仅让学生自主生发出简化数对表达的方式，更认识到在确定位置过程中简化的必要性。由此不难看出，将生活中形象直观的数学问题提炼成相应数学结构模型的过程中，简化是一种明智的选择，不仅让抽象而成的数学模型更加简洁，一看就懂，更契合了数学模型建构的内在需要，可谓一举两得。 四、反思质变，在反复性抽象中广泛拓展 数学模型是生命个体高度抽象之后的成果，但因为数学知识体系相对复杂，往往一个相对复杂的模型之中就蕴含着许多其他的模型。这就要求教师在引领学生建构出模型之后，要及时进行必要的反思，促使学生在思维升格的基础上将模型的建构上升到一个全新的高度。 如在提炼抽象出数对模型之后，教师引导学生从自己的生活实际出发，想想生活中还有哪些场景是需要运用数对来确定位置的，不少学生纷纷指出：电影票上的座位号、地图上的经纬线、围棋的棋盘……都需要借助数对的方式来确定位置。教师引领学生运用已经形成的数对模型，对这些生活中的场景进行深入对比与分析，其实这些方法都是依据两条完全不同的直线交叉于一点来确定位置的。如此一来，学生对于数对模型的感知就又上了一个台阶，为构建更为广泛的模型结构奠定了基础。紧接着，教师引导学生深入分析了一维队列和二维点阵确定位置的技巧，学生发现一维队列中，只需要一个数字就可以确定事物的位置，而二维点阵中要罗列两个确定的数字才能准确地把握事物的位置。随后，教师出示了学生喜欢玩的魔方，引导学生思考：魔方中的位置需要借助几个数字才能确定呢？借助如此深入而清晰的分析，学生对原本形成的模型又有了更加深入的感知，实现了向一般模型的广泛拓展。 由此不难看出，教师在“用数对确定位置”这一课的教学过程中，引领学生先后经历了四次不同程度的抽象与提炼，依循着从低级到高级，步步为营、层层剥笋的方式，让学生在亲身经历的过程中感受数学建模抽象化的特征，促进了学生建模能力的发展，更为数学核心能力的提升奠定了基础。 |
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