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极限计算中一些典型错误的剖析

范文

张巍巍

【摘要】极限是高等数学重要的基础工具，贯穿于高等数学学习的始终，而且课程中很多基本概念都是通过极限的方法给出的，比如函数的连续性定义、导数定义及定积分定义等.本文对极限计算过程中遇到的一些典型错误进行剖析总结，帮助学生更好地理解和掌握极限的计算.

【关键词】高等数学;极限计算;典型错误

【基金项目】内蒙古农业大学基础学科科研启动基金项目（JC2017002）

一、引言

高等数学作为高等院校理工科专业重要的公共基础课，为学生后续专业课的学习提供了必要的数学知识和思维方法，为学生从事专业工作和进行科学研究奠定了必备的理论基础，因此学好高等数学是至关重要的.极限作为高等数学学习的重要研究工具，在学习高等数学的过程中起到举足轻重的作用，因此学好极限显得尤为重要.本文通过一些具体实例，结合自己的教学体会，就学生在极限计算过程中遇到的一些典型问题进行剖析，分析产生错误的本质原因，最后给出正确的求解方法.

二、典型错误剖析

（一）对极限思想理解不透彻，思维不严谨，丢掉极限符号和过程，计算极限时不同时取极限

例1 求 limx→∞x2-xx2+1.

[STHZ]错解1[STBZ] limx→∞x2-xx2+1=1-1/x1+1/x2=1.

[STHZ]错解2[STBZ] limx→∞x2-xx2+1=lim1-1/x1+1/x2=1.

[STHZ]剖析[STBZ] 第一种错误是丢掉极限运算符号，没有运算符号，就无法进行运算，第二种错误是丢掉变量的变化过程，因为在不同的变化过程下函数的极限不同.产生以上错误的主要原因是对极限思想理解不深刻，思维不严谨.为避免产生以上错误，学生应深刻理解极限过程.极限过程是无限逼近的过程，计算极限实际上是在某一变化过程下研究变量的变化趋势，因此计算极限时既不可丢掉极限运算符号，又不可丢掉变量的变化过程.在平时的学习过程中，要培养学生严谨的数学思维方式.

[STHZ]正解[STBZ] limx→∞x2-xx2+1=limx→∞1-1/x1+1/x2=1.

例2 求 limx→∞x2+1cos1x-x2.

错解 limx→∞x2+1cos1x-x2=limx→∞x2+1-x2=1.

剖析首先可以确定该极限是∞-∞的未定式，上面的计算过程是先考虑x→∞时函数cos1x的变化情况，再研究函数x2+1-x2的变化情况，这样会改变原有变量之间的关系，显然是错误的.实际上，计算函数极限是研究当x→∞时函数x2+1cos1x-x2的变化趋势，因此在计算极限时要对所有变量同时取极限，切記不可分先后次序分别计算极限.下面给出正确的求解过程.

正解 limx→∞x2+1cos1x-x2=limx→∞x2cos1x-1+cos1x=limx→∞cos1x-1[]1x2+cos1x=limx→∞-12x2[]1x2+cos1x=12.

（二）对极限的计算方法理解不准确、不透彻，忽视方法的使用条件

例3 求limx→0 x3cos21x.

错解 limx→0 x3cos21x=limx→0 x3·limx→0? cos21x=0.

剖析极限乘法运算法则成立的前提条件是每个函数的极限都存在，而limx→0 cos21x不存在，所以以上运算错误.本题应利用无穷小量与有界函数乘积是无穷小量的运算法则求解.

正解 limx→0 x3cos21x=0.

例4 求limx→0sin x-tan xarctan3x，当x→0时，x～sin x～tan x～arctan x.

[STHZ]错解1 [STBZ]limx→0sin x-tan xarctan3x=limx→0x-xx3=0.

[STHZ]错解2[STBZ] limx→0sin x-tan xarctan3x=limx→0sin x-xx3=limx→0cos x-13x2=limx→0-sin x6x=-16.

剖析等价无穷小替换方法的基本原则是因式替换，即分子、分母的因式若为无穷小量，则可以用对应的等价无穷小去替换.因为当x→0时，x-x=0为sin x-tan x的高阶无穷小，sin x-tan x与sin x-x不是等价无穷小，所以以上替换错误.在实际应用中，对函数乘积情形可以用相应的等价无穷小分别替换，但遇到代数和情形时往往不可对每一项单独替换，建议对因式整体替换.

正解 limx→0sin x-tan xarctan3x

[ZK（]=limx→0tan x（cos x-1）arctan3x=limx→0x·-12x2x3=-12.[ZK）]

例5 求 limn→∞nn2+π+nn2+2π+…+nn2+nπ.

错解 limn→∞nn2+π+nn2+2π+…+nn2+nπ

=limn→∞nn2+π+limn→∞nn2+2π+…+limn→∞nn2+nπ=0.

剖析有限个无穷小的代数和为无穷小，但无限个无穷小的代数和不一定是无穷小.当n→∞时，上面极限过程实际上是无限个无穷小的代数和，结果未必是无穷小，所以以上计算错误，正确的做法应该用夹逼准则求解.

正解对数列放缩，可得

n2n2+nπ≤nn2+π+nn2+2π+…+nn2+nπ≤n2n2+π，

因为limn→∞n2n2+nπ=limn→∞n2n2+π=1，由夹逼准则知原数列极限为1.

例6 求 limx→∞x2+2cos xx2.

错解由洛必达法则，可得

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