| 标题 | 函数模型及其应用 |
| 范文 | （1）利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义. （2）收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）的实例，了解函数模型的广泛应用. 出于“立意”和创设情景的需要，高考函数应用问题设置的角度和方式也不断创新，重视函数思想的考查，加大了探索题、开放题和信息题的考查力度，主要涉计经济、环保、能源、健康等社会现象，从而使高考考题显得新颖、生动和灵活. 2014年1月31日是春节. 某蔬菜基地在2014年1月23日有一批黄瓜进入市场销售，通过市场调查，预测黄瓜的价格f（x）（单位：元/kg）与时间x（x表示距1月31日的天数，单位：天，x∈（0，8]）的数据如下表： （1）根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述黄瓜价格f（x）与上市时间x的变化关系： f（x）=ax+b， f（x）=ax2+bx+c， f（x）=a·bx， f（x）=a·logbx，其中a≠0，并求出此函数； （2）为了控制黄瓜的价格，不使黄瓜的价格过于偏高，经过市场调研，引入一控制函数h（x）=ex-（12-2m）x+39（x>0），m称为控制系数，求证：当m>ln2-1时，总有f（x） 完美解答 （1）根据表中的数据，描述黄瓜价格f（x）与上市时间x的变化关系的函数绝不是单调函数，这与函数f（x）=ax+b， f（x）=a·bx， f（x）=a·logbx均具有的单调性不符，所以，在a≠0的前提下，可选取二次函数f（x）=ax2+bx+c进行描述. 把表格提供的三对数据代入该解析式得到：64a+8b+c=8，36a+6b+c=4，4a+2b+c=20，解得a=1，b=-12，c=40. 所以，黄瓜价格f（x）与上市时间x的函数关系是f（x）=x2-12x+40，x∈（0，8]. （2）设函数g（x）=h（x）-f（x）=ex-x2+2mx-1，求导得g′（x）=ex-2x+2m，继续对g′（x）求导得g″（x）=ex-2，表格如下： 由上表可知，g′（x）≥g′（ln2），而g′（ln2）=eln2-2ln2+2m=2-2ln2+2m=2（m-ln2+1）. 由m>ln2-1知g′（ln2）>0，所以g′（x）>0，即g（x）在区间（0，+∞）上为增函数. 于是有g（x）>g（0），而g（0）=e0-02+2m×0-1=0，即f（x） 2. 某厂有一台价值为1万元的生产设备，现要通过技术改造来提高该生产设备的生产能力，提高产品的增加值，经过市场调查发现，产品的增加值y（万元）与技术改造投入金额x（万元）之间满足：①y与（1-x）和x2的乘积成正比；②当x 且技术改造投入的金额满足： （0，t]，其中t为常数. （1）求y=f（x）的解析式及定义域； （2）当t∈（0，2]时，求产品的增加值的最大值及相应的技术改造投入的金额. （1）利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义. （2）收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）的实例，了解函数模型的广泛应用. 出于“立意”和创设情景的需要，高考函数应用问题设置的角度和方式也不断创新，重视函数思想的考查，加大了探索题、开放题和信息题的考查力度，主要涉计经济、环保、能源、健康等社会现象，从而使高考考题显得新颖、生动和灵活. 2014年1月31日是春节. 某蔬菜基地在2014年1月23日有一批黄瓜进入市场销售，通过市场调查，预测黄瓜的价格f（x）（单位：元/kg）与时间x（x表示距1月31日的天数，单位：天，x∈（0，8]）的数据如下表： （1）根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述黄瓜价格f（x）与上市时间x的变化关系： f（x）=ax+b， f（x）=ax2+bx+c， f（x）=a·bx， f（x）=a·logbx，其中a≠0，并求出此函数； （2）为了控制黄瓜的价格，不使黄瓜的价格过于偏高，经过市场调研，引入一控制函数h（x）=ex-（12-2m）x+39（x>0），m称为控制系数，求证：当m>ln2-1时，总有f（x） 完美解答 （1）根据表中的数据，描述黄瓜价格f（x）与上市时间x的变化关系的函数绝不是单调函数，这与函数f（x）=ax+b， f（x）=a·bx， f（x）=a·logbx均具有的单调性不符，所以，在a≠0的前提下，可选取二次函数f（x）=ax2+bx+c进行描述. 把表格提供的三对数据代入该解析式得到：64a+8b+c=8，36a+6b+c=4，4a+2b+c=20，解得a=1，b=-12，c=40. 所以，黄瓜价格f（x）与上市时间x的函数关系是f（x）=x2-12x+40，x∈（0，8]. （2）设函数g（x）=h（x）-f（x）=ex-x2+2mx-1，求导得g′（x）=ex-2x+2m，继续对g′（x）求导得g″（x）=ex-2，表格如下： 由上表可知，g′（x）≥g′（ln2），而g′（ln2）=eln2-2ln2+2m=2-2ln2+2m=2（m-ln2+1）. 由m>ln2-1知g′（ln2）>0，所以g′（x）>0，即g（x）在区间（0，+∞）上为增函数. 于是有g（x）>g（0），而g（0）=e0-02+2m×0-1=0，即f（x） 2. 某厂有一台价值为1万元的生产设备，现要通过技术改造来提高该生产设备的生产能力，提高产品的增加值，经过市场调查发现，产品的增加值y（万元）与技术改造投入金额x（万元）之间满足：①y与（1-x）和x2的乘积成正比；②当x 且技术改造投入的金额满足： （0，t]，其中t为常数. （1）求y=f（x）的解析式及定义域； （2）当t∈（0，2]时，求产品的增加值的最大值及相应的技术改造投入的金额. （1）利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义. （2）收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）的实例，了解函数模型的广泛应用. 出于“立意”和创设情景的需要，高考函数应用问题设置的角度和方式也不断创新，重视函数思想的考查，加大了探索题、开放题和信息题的考查力度，主要涉计经济、环保、能源、健康等社会现象，从而使高考考题显得新颖、生动和灵活. 2014年1月31日是春节. 某蔬菜基地在2014年1月23日有一批黄瓜进入市场销售，通过市场调查，预测黄瓜的价格f（x）（单位：元/kg）与时间x（x表示距1月31日的天数，单位：天，x∈（0，8]）的数据如下表： （1）根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述黄瓜价格f（x）与上市时间x的变化关系： f（x）=ax+b， f（x）=ax2+bx+c， f（x）=a·bx， f（x）=a·logbx，其中a≠0，并求出此函数； （2）为了控制黄瓜的价格，不使黄瓜的价格过于偏高，经过市场调研，引入一控制函数h（x）=ex-（12-2m）x+39（x>0），m称为控制系数，求证：当m>ln2-1时，总有f（x） 完美解答 （1）根据表中的数据，描述黄瓜价格f（x）与上市时间x的变化关系的函数绝不是单调函数，这与函数f（x）=ax+b， f（x）=a·bx， f（x）=a·logbx均具有的单调性不符，所以，在a≠0的前提下，可选取二次函数f（x）=ax2+bx+c进行描述. 把表格提供的三对数据代入该解析式得到：64a+8b+c=8，36a+6b+c=4，4a+2b+c=20，解得a=1，b=-12，c=40. 所以，黄瓜价格f（x）与上市时间x的函数关系是f（x）=x2-12x+40，x∈（0，8]. （2）设函数g（x）=h（x）-f（x）=ex-x2+2mx-1，求导得g′（x）=ex-2x+2m，继续对g′（x）求导得g″（x）=ex-2，表格如下： 由上表可知，g′（x）≥g′（ln2），而g′（ln2）=eln2-2ln2+2m=2-2ln2+2m=2（m-ln2+1）. 由m>ln2-1知g′（ln2）>0，所以g′（x）>0，即g（x）在区间（0，+∞）上为增函数. 于是有g（x）>g（0），而g（0）=e0-02+2m×0-1=0，即f（x） 2. 某厂有一台价值为1万元的生产设备，现要通过技术改造来提高该生产设备的生产能力，提高产品的增加值，经过市场调查发现，产品的增加值y（万元）与技术改造投入金额x（万元）之间满足：①y与（1-x）和x2的乘积成正比；②当x 且技术改造投入的金额满足： （0，t]，其中t为常数. （1）求y=f（x）的解析式及定义域； （2）当t∈（0，2]时，求产品的增加值的最大值及相应的技术改造投入的金额. |
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