标题 | 高考数学必做创新题 |
范文 | 章少川 1 运算定义型 ( )必做1 定义平面向量的一种运算:a 塥b=a·bsin〈a,b〉,则下列命题: ①a 塥b=b 塥a; ②λ(a 塥b)=(λa) 塥b; ③(a+b) 塥c=(a 塥c)+(b 塥c); ④若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a 塥b=x1y2-x2y1. 其中真命题是________(写出所有真命题的序号). 精妙解法 由定义可知b 塥a=b·asin〈a,b〉=a 塥b,所以①正确. ②当λ<0时,〈λa,b〉=π-〈a,b〉,所以(λa) 塥b=λa·bsin〈λa,b〉= -λa·bsina,而λ(a 塥b)=λa·b·sin〈a,b〉,所以②不成立. ③因为a+b的长度不一定等于a+b,所以③不成立. ④(a 塥b)2=a2·b2sin2〈a,b〉=a2·b2(1-cos2〈a,b〉)=a2·b2-a2·b2cos2〈a,b〉=a2·b2-(a·b)2=(x +y )(x +y )-(x1x2+y1y2)2=(x1y2-x2y1)2,所以a 塥b=x1y2-x2y1,所以④成立. 所以真命题是①④. ( )必做2 在实数集R中定义一种运算“ 鄢”,对任意a,b∈R,a 鄢b为唯一确定的实数,且具有以下性质: (1)对任意a∈R,a 鄢0=a; (2)对任意a,b∈R,a 鄢b=ab+(a 鄢0)+(b 鄢0). 关于函数f(x)=(ex) 鄢 的性质,有如下说法: ①函数f(x)的最小值为3; ②函数f(x)为偶函数; ③函数f(x)的单调递增区间为(-∞,0]. 其中正确说法的个数为( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 精妙解法 由运算定义得f(x)=(ex) 鄢 =1+ex+ ≥1+2 =3,①正确; f(-x)=1+e-x+ =1+ +ex=f(x),②正确;令f ′(x)=ex-e-x≥0,解得x≥0, 即单调递增区间为[0,+∞),③错误. 故选C. 2 概念定义型 ( )必做1 设集合A 哿R,如果x0∈R满足:对任意a>0,都存在x∈A,使得0 ③xx= ,n∈N 鄢; ④xx= ,n∈N 鄢, 以0为聚点的集合有__________(写出所有你认为正确的结论的序号). 精妙解法 ①当a= 时,此时对任意的x∈Z+∪Z-,都有x-0=0或者x-0≥1,也就是说不可能0 0 ①f(x)=2x;②f(x)=log x;③f(x)=x2;④f(x)=ln2x, 则其中是“等比函数”的f(x)的序号为____________. 精妙解法 若①f(x)=2x,则 = =2 ,不是常数,所以①不是“等比函数”;②若f(x)=log x, = ,不是常数,所以②不是“等比函数”;③若f(x)=x2, = = ,是常数,所以③是“等比函数”;④若f(x)=ln2x,则f(x)=xln2, = = ,是常数,所以④是“等比函数”. 综上, f(x)是“等比函数”的序号为③④. ( )必做3 对于函数y=f(x)与常数a,b,若f(2x)=af(x)+b恒成立,则称(a,b)为函数f(x)的一个“P数对”;若f(2x)≥af(x)+b恒成立,则称(a,b)为函数f(x)的一个“类P数对”. 设函数f(x)的定义域为R+,且f(1)=3. (1)若(1,1)是f(x)的一个“P数对”,求f(2n)(n∈N 鄢). (2)若(-2,0)是f(x)的一个“P数对”,且当x∈[1,2)时f(x)=k-2x-3,求f(x)在区间[1,2n)(n∈N 鄢)上的最大值与最小值. (3)若f(x)是增函数,且(2,-2)是f(x)的一个“类P数对”,试比较下列各组中两个式子的大小,并说明理由. ①f(2-n)与2-n+2(n∈N 鄢); ②f(x)与2x+2(x∈(0,1]). 精妙解法 (1)由题意知f(2x)=f(x)+1恒成立,令x=2k(k∈N 鄢),可得f(2 )=f(2k)+1,所以{f(2k)}是公差为1的等差数列,故f(2n)=f(20)+n. 又f(20)=3,故f(2n)=n+3. 摇 (2)当x∈[1,2)时, f(x)=k-2x-3,令x=1,可得f(1)=k-1=3, 解得k=4,即x∈[1,2)时, f(x)=4-2x-3,故f(x)在[1,2)上的取值范围是[3,4]. 摇 又(-2,0)是f(x)的一个“P数对”,故f(2x)=-2f(x)恒成立, 当x∈[2k-1,2k)(k∈N 鄢)时, ∈[1,2), f(x)=-2f =4f =…=(-2)k-1f , 故k为奇数时, f(x)在[2k-1,2k)上的取值范围是[3×2k-1,2k+1]; 当k为偶数时, f(x)在[2k-1,2k)上的取值范围是[-2k+1,-3×2k-1]. 摇 所以当n=1时, f(x)在[1,2n)上的最大值为4,最小值为3; 当n为不小于3的奇数时, f(x)在[1,2n)上的最大值为2n+1,最小值为 -2n; 当n为不小于2的偶数时, f(x)在[1,2n)上的最大值为2n,最小值为-2n+1. (3)由(2,-2)是f(x)的一个“类P数对”,可知f(2x)≥2f(x)-2恒成立,即f(x)≤ f(2x)+1恒成立. 令x= (k∈N 鄢),可得f ≤ f +1, 即f -2≤ f -2对一切k∈N 鄢恒成立, 所以f -2≤ f -2≤ f -2≤…≤ [f(1)-2]= ,故f(2-n)≤2-n+2(n∈N 鄢). 摇 若x∈(0,1],则必存在n∈N 鄢,使得x∈ , ,由于f(x)是增函数,故f(x)≤f ≤ +2. 又2x+2>2× +2= +2,故有f(x)<2x+2. 3 类比归纳型 ( )必做1 若集合A1,A2,…,An满足A1∪A2∪…∪An=A,则称A1,A2,…,An为集合A的一种拆分.已知: ①当A1∪A2={a1,a2,a3}时,有33种拆分; ②当A1∪A2∪A3={a1,a2,a3,a4}时,有74种拆分; ③当A1∪A2∪A3∪A4={a1,a2,a3,a4,a5}时,有155种拆分; …… 由以上结论,推测出一般结论: 当A1∪A2∪…∪An={a1,a2,a3,…,an+1},有_________种拆分. 精妙解法 因为当有2个集合时,33=(4-1)2+1=(22-1)2+1;当有3个集合时,74=(8-1)3+1=(23-1)3+1;当有4个集合时,155=(16-1)4+1=(24-1)4+1;由此可以归纳当有n个集合时,有(2n-1)n+1种拆分. ( )必做2 已知函数f(x)=2x,0≤x≤ ,2-2x, 精妙解法 当x∈0, 时, f (x)=2x=x,解得x=0. 当x∈ ,1时, f (x)=2-2x=x,解得x= . 所以f(x)的“1-周期点”的个数为2.当x∈0, 时, f (x)=2x, f (x)=4x=x,解得x=0;当x∈ , 时, f (x)=2x, f (x)=2-4x=x,解得x= . 当x∈ , 时, f (x)=2-2x, f (x)=-2+4x=x,解得x= ;当x∈ ,1时, f (x)=2-2x, f (x)=4-4x=x,解得x= . 所以f(x)的“2-周期点”为22=4个. 以此类推, f(x)的“n-周期点”的个数为2n个. ( )必做3 已知正项等比数列{an}中有 = ,则在等差数列{bn}中,类似的结论有___________. 精妙解法 根据等比性质可知 = = = , = = . 所以在等差数列中,有 = . ( )必做4 若点P0(x0,y0)在椭圆 + =1(a>b>0)外,过点P0作该椭圆的两条切线的切点分别为P1,P2,则切点弦P1P2所在直线的方程为 + =1. 那么对于双曲线,类似地,可以得到一个正确的命题为_________. 精妙解法 运用类比推理的方法,对于双曲线,可以得到一个正确的命题为:若点P0(x0,y0)在双曲线 - =1(a>0,b>0)外,过点P0作该双曲线的两条切线的切点分别为P1,P2,则切点弦P1P2所在直线的方程为 - =1. 其正确性可证明如下: 设P1(x1,y1),P2(x2,y2),P0(x0,y0),则过点P1,P2的切线的方程分别为: - =1, - =1. 因为P0(x0,y0)在这两条切线上,故有 - =1, - =1,这说明P1(x1,y1),P2(x2,y2)都在直线 - =1上,故得切点弦P1P2所在直线的方程为 - =1. ( )必做5 在数学解题中,常会碰到形如“ ”的结构,这时可类比正切的和角公式. 设a,b是非零实数,且满足 =tan ,则 等于( ) A. 4 B. C. 2 D. 精妙解法 将条件左式变形,得 = ,联想两角和的正切公式,设tanα= , 则有tan +α= =tan ,则 +α=kπ+ ,解得α=kπ+ (k∈Z),于是 =tankπ+ = ,选D. 解得k=4,即x∈[1,2)时, f(x)=4-2x-3,故f(x)在[1,2)上的取值范围是[3,4]. 摇 又(-2,0)是f(x)的一个“P数对”,故f(2x)=-2f(x)恒成立, 当x∈[2k-1,2k)(k∈N 鄢)时, ∈[1,2), f(x)=-2f =4f =…=(-2)k-1f , 故k为奇数时, f(x)在[2k-1,2k)上的取值范围是[3×2k-1,2k+1]; 当k为偶数时, f(x)在[2k-1,2k)上的取值范围是[-2k+1,-3×2k-1]. 摇 所以当n=1时, f(x)在[1,2n)上的最大值为4,最小值为3; 当n为不小于3的奇数时, f(x)在[1,2n)上的最大值为2n+1,最小值为 -2n; 当n为不小于2的偶数时, f(x)在[1,2n)上的最大值为2n,最小值为-2n+1. (3)由(2,-2)是f(x)的一个“类P数对”,可知f(2x)≥2f(x)-2恒成立,即f(x)≤ f(2x)+1恒成立. 令x= (k∈N 鄢),可得f ≤ f +1, 即f -2≤ f -2对一切k∈N 鄢恒成立, 所以f -2≤ f -2≤ f -2≤…≤ [f(1)-2]= ,故f(2-n)≤2-n+2(n∈N 鄢). 摇 若x∈(0,1],则必存在n∈N 鄢,使得x∈ , ,由于f(x)是增函数,故f(x)≤f ≤ +2. 又2x+2>2× +2= +2,故有f(x)<2x+2. 3 类比归纳型 ( )必做1 若集合A1,A2,…,An满足A1∪A2∪…∪An=A,则称A1,A2,…,An为集合A的一种拆分.已知: ①当A1∪A2={a1,a2,a3}时,有33种拆分; ②当A1∪A2∪A3={a1,a2,a3,a4}时,有74种拆分; ③当A1∪A2∪A3∪A4={a1,a2,a3,a4,a5}时,有155种拆分; …… 由以上结论,推测出一般结论: 当A1∪A2∪…∪An={a1,a2,a3,…,an+1},有_________种拆分. 精妙解法 因为当有2个集合时,33=(4-1)2+1=(22-1)2+1;当有3个集合时,74=(8-1)3+1=(23-1)3+1;当有4个集合时,155=(16-1)4+1=(24-1)4+1;由此可以归纳当有n个集合时,有(2n-1)n+1种拆分. ( )必做2 已知函数f(x)=2x,0≤x≤ ,2-2x, 精妙解法 当x∈0, 时, f (x)=2x=x,解得x=0. 当x∈ ,1时, f (x)=2-2x=x,解得x= . 所以f(x)的“1-周期点”的个数为2.当x∈0, 时, f (x)=2x, f (x)=4x=x,解得x=0;当x∈ , 时, f (x)=2x, f (x)=2-4x=x,解得x= . 当x∈ , 时, f (x)=2-2x, f (x)=-2+4x=x,解得x= ;当x∈ ,1时, f (x)=2-2x, f (x)=4-4x=x,解得x= . 所以f(x)的“2-周期点”为22=4个. 以此类推, f(x)的“n-周期点”的个数为2n个. ( )必做3 已知正项等比数列{an}中有 = ,则在等差数列{bn}中,类似的结论有___________. 精妙解法 根据等比性质可知 = = = , = = . 所以在等差数列中,有 = . ( )必做4 若点P0(x0,y0)在椭圆 + =1(a>b>0)外,过点P0作该椭圆的两条切线的切点分别为P1,P2,则切点弦P1P2所在直线的方程为 + =1. 那么对于双曲线,类似地,可以得到一个正确的命题为_________. 精妙解法 运用类比推理的方法,对于双曲线,可以得到一个正确的命题为:若点P0(x0,y0)在双曲线 - =1(a>0,b>0)外,过点P0作该双曲线的两条切线的切点分别为P1,P2,则切点弦P1P2所在直线的方程为 - =1. 其正确性可证明如下: 设P1(x1,y1),P2(x2,y2),P0(x0,y0),则过点P1,P2的切线的方程分别为: - =1, - =1. 因为P0(x0,y0)在这两条切线上,故有 - =1, - =1,这说明P1(x1,y1),P2(x2,y2)都在直线 - =1上,故得切点弦P1P2所在直线的方程为 - =1. ( )必做5 在数学解题中,常会碰到形如“ ”的结构,这时可类比正切的和角公式. 设a,b是非零实数,且满足 =tan ,则 等于( ) A. 4 B. C. 2 D. 精妙解法 将条件左式变形,得 = ,联想两角和的正切公式,设tanα= , 则有tan +α= =tan ,则 +α=kπ+ ,解得α=kπ+ (k∈Z),于是 =tankπ+ = ,选D. 解得k=4,即x∈[1,2)时, f(x)=4-2x-3,故f(x)在[1,2)上的取值范围是[3,4]. 摇 又(-2,0)是f(x)的一个“P数对”,故f(2x)=-2f(x)恒成立, 当x∈[2k-1,2k)(k∈N 鄢)时, ∈[1,2), f(x)=-2f =4f =…=(-2)k-1f , 故k为奇数时, f(x)在[2k-1,2k)上的取值范围是[3×2k-1,2k+1]; 当k为偶数时, f(x)在[2k-1,2k)上的取值范围是[-2k+1,-3×2k-1]. 摇 所以当n=1时, f(x)在[1,2n)上的最大值为4,最小值为3; 当n为不小于3的奇数时, f(x)在[1,2n)上的最大值为2n+1,最小值为 -2n; 当n为不小于2的偶数时, f(x)在[1,2n)上的最大值为2n,最小值为-2n+1. (3)由(2,-2)是f(x)的一个“类P数对”,可知f(2x)≥2f(x)-2恒成立,即f(x)≤ f(2x)+1恒成立. 令x= (k∈N 鄢),可得f ≤ f +1, 即f -2≤ f -2对一切k∈N 鄢恒成立, 所以f -2≤ f -2≤ f -2≤…≤ [f(1)-2]= ,故f(2-n)≤2-n+2(n∈N 鄢). 摇 若x∈(0,1],则必存在n∈N 鄢,使得x∈ , ,由于f(x)是增函数,故f(x)≤f ≤ +2. 又2x+2>2× +2= +2,故有f(x)<2x+2. 3 类比归纳型 ( )必做1 若集合A1,A2,…,An满足A1∪A2∪…∪An=A,则称A1,A2,…,An为集合A的一种拆分.已知: ①当A1∪A2={a1,a2,a3}时,有33种拆分; ②当A1∪A2∪A3={a1,a2,a3,a4}时,有74种拆分; ③当A1∪A2∪A3∪A4={a1,a2,a3,a4,a5}时,有155种拆分; …… 由以上结论,推测出一般结论: 当A1∪A2∪…∪An={a1,a2,a3,…,an+1},有_________种拆分. 精妙解法 因为当有2个集合时,33=(4-1)2+1=(22-1)2+1;当有3个集合时,74=(8-1)3+1=(23-1)3+1;当有4个集合时,155=(16-1)4+1=(24-1)4+1;由此可以归纳当有n个集合时,有(2n-1)n+1种拆分. ( )必做2 已知函数f(x)=2x,0≤x≤ ,2-2x, 精妙解法 当x∈0, 时, f (x)=2x=x,解得x=0. 当x∈ ,1时, f (x)=2-2x=x,解得x= . 所以f(x)的“1-周期点”的个数为2.当x∈0, 时, f (x)=2x, f (x)=4x=x,解得x=0;当x∈ , 时, f (x)=2x, f (x)=2-4x=x,解得x= . 当x∈ , 时, f (x)=2-2x, f (x)=-2+4x=x,解得x= ;当x∈ ,1时, f (x)=2-2x, f (x)=4-4x=x,解得x= . 所以f(x)的“2-周期点”为22=4个. 以此类推, f(x)的“n-周期点”的个数为2n个. ( )必做3 已知正项等比数列{an}中有 = ,则在等差数列{bn}中,类似的结论有___________. 精妙解法 根据等比性质可知 = = = , = = . 所以在等差数列中,有 = . ( )必做4 若点P0(x0,y0)在椭圆 + =1(a>b>0)外,过点P0作该椭圆的两条切线的切点分别为P1,P2,则切点弦P1P2所在直线的方程为 + =1. 那么对于双曲线,类似地,可以得到一个正确的命题为_________. 精妙解法 运用类比推理的方法,对于双曲线,可以得到一个正确的命题为:若点P0(x0,y0)在双曲线 - =1(a>0,b>0)外,过点P0作该双曲线的两条切线的切点分别为P1,P2,则切点弦P1P2所在直线的方程为 - =1. 其正确性可证明如下: 设P1(x1,y1),P2(x2,y2),P0(x0,y0),则过点P1,P2的切线的方程分别为: - =1, - =1. 因为P0(x0,y0)在这两条切线上,故有 - =1, - =1,这说明P1(x1,y1),P2(x2,y2)都在直线 - =1上,故得切点弦P1P2所在直线的方程为 - =1. ( )必做5 在数学解题中,常会碰到形如“ ”的结构,这时可类比正切的和角公式. 设a,b是非零实数,且满足 =tan ,则 等于( ) A. 4 B. C. 2 D. 精妙解法 将条件左式变形,得 = ,联想两角和的正切公式,设tanα= , 则有tan +α= =tan ,则 +α=kπ+ ,解得α=kπ+ (k∈Z),于是 =tankπ+ = ,选D. |
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