| 标题 | 高考数学必做客观题——导数及其应用 |
| 范文 | 袁黎霞 1 导数的概念及其几何意义 （ ）必做1 已知f ′（x0）=4，则 =_________. 精妙解法 因为 f ′（x0）= =4， 所以， =2 =2 =2f ′（x0）=8 误点警示 少数考生对这个符号 理解错误，符号中的Δx是一个变化的量，但分子分母必须是同一个变化量，因此，当这两个变化量不一样的时候就要考虑去变通为同一个量. 式子 与式子 是不一样的，它们表示了不同的几何意义. （ ）必做2 已知函数f（x）=f ′（0）cosx+sinx，则函数f（x）在x0= 处的切线方程是_______. 精妙解法 f ′（x）=-f ′（0）sinx+cosx，令x=0，得f ′（0）=1，k=f ′ =-1， 所以切线方程为y-1=-x- ，即x+y- -1=0. 极速突击 本题先求f ′（0）的值，再求在x0= 处的切线斜率. 误点警示 导数f ′（x0）的几何意义是曲线对应的函数y=f（x）在某点x0处切线的斜率，因此切线方程可通过求导数先得斜率，再由切点利用点斜式方程求得. 求过点P（x0，y0）的切线方程时，一要注意P（x0，y0）是否在曲线上；二要注意该点可能是切点，也可能不是切点，因而所求的切线方程可能不只1条. （ ）必做3 已知函数f（x）=sinx的图象与直线y=kx（k>0）有且仅有三个公共点，这三个公共点横坐标的最大值为α，则α等于（ ） A. -cosα B. -sinα C. -tanα D. tanα 精妙解法 f（x）的图象与直线y=kx（k>0）的三个交点如图1所示，且在π， 内相切，其切点为A（α，-sinα），α∈π， . 由于f ′（x）=-cosx，所以-cosα= - ，即α=tanα. 故选D. 图1 金刊提醒 与导数有关的难点主要集中在两个层面：①概念理解层面，比如导数的极限定义，曲线“过一点”和“在一点”处的切线的区别；②能力发展层面，在高考中导数对考生能力的考查是全方位的，它不仅要求考生熟练应用高中常见数学思想方法，例如化归与转化、分类讨论、数形结合、函数与方程等思想，而且还要掌握一些重要的解题策略，例如分离变量、构造函数、换元法、变更主元、多重求导等解题技巧. 2 导数的运算 （ ）必做1 设函数f（x）= ，则使得f ′（x）>0的x的取值范围是（ ） A. -∞， B. 0， C. ，1 D. （e，+∞） 精妙解法 f ′（x）=- ，由f ′（x）>0，得lnx+1<0，所以0 （ ）必做2 设曲线y=xn+1（n∈N 鄢）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则x1·x2·…·xn的值为（ ） A. B. C. D. 1 精妙解法 先求y=xn+1的导函数y′=（n+1）xn，则曲线y=xn+1在点（1，1）处切线的斜率为kn=n+1，切线为y-1=（n+1）（x-1），与x轴的交点的横坐标为xn= ；从而x1·x2·…·xn= · ·…· = . 故选B. 极速突击 解这种题的关键点是求出导数、斜率、切线和xn= 等四个内容，一步紧扣一步，任何一步都不得有错误. 金刊提醒 高考对导数的考查离不开导数的运算，而基本初等函数的求导公式、导数的四则运算及复合函数求导法则是解决问题的前提. 3 定积分及其运算 （ ）必做1 在平面直角坐标系中，不等式组x+y≥0，x-y≥0，x≤a（a为常数）表示的平面区域的面积是1，则 （ex-1）dx等于（ ） A. e+2 B. e C. e-1 D. e-2 精妙解法 画出图象，由面积得a=1， （ex-1）dx=（ex-x） =（e-1）-（e0-0）=e-2，选D. 极速突击 微积分基本定理：如果f（x）是区间[a，b]上的连续函数，并且F ′（x）=f（x），那么 f（x）dx=F（b）-F（a），称F（x）为f（x）的原函数，为了方便，常常把F（b）-F（a）记成 f（x）dx=F（x）ba=F（b）-F（a）. 误点警示 求定积分的关键是寻求原函数，积分区间不能出错. （ ）必做2 如图1所示，在一个边长为1的正方形OBCA内，曲线y=x2和曲线y= 围成一个叶形图（阴影部分），向正方形OBCA内随机投一点（该点落在正方形OBCA内任何一点是等可能的），则所投的点落在叶形图内部的概率是___________. 图1 精妙解法 S阴影= （ -x2）dx= x - x3 = -0- -0= ，所以所投的点落在叶形图内部的概率是 = . 金刊提醒 高考对定积分的考查主要涉及定积分的运算、微积分的基本定理及曲边梯形面积的求法. 4 导数的简单应用 （ ）必做1 已知函数y= x3+bx2+（b+2）x+3在R上不是单调增函数，则b的取值范围为________. 精妙解法 函数y= x3+bx2+（b+2）x+3的导函数是y′=x2+2bx+（b+2），若函数在R上是单调增函数，则有y′≥0在R上恒成立，结合图象开口向上，这样就要使Δ=4b2-4（b+2）≤0，得-1≤b≤2. 但本题要求的是函数不是单调增函数，即要求的是[-1，2]在R中的补集合（-∞，-1）∪（2，+∞）. 另解：函数y= x3+bx2+（b+2）x+3的导函数是y′=x2+2bx+（b+2），若函数在R上不是单调增函数，则有y′<0在R上有解，结合图象开口向上，这样就要使Δ=4b2-4（b+2）>0，即（-∞，-1）∪（2，+∞）. 极速突击 （1）若函数f（x）在区间D上满足f ′（x）>0，则f（x）为区间D上的增函数； 若函数f（x）在区间D上满足f ′（x）<0，则f（x）为区间D上的减函数. （2）若函数f（x）为区间D上的增函数，则f ′（x）≥0对区间D恒成立； 若函数f（x）为区间D上的减函数，则f ′（x）≤0对区间D恒成立. 误点警示 f（x）在区间D递增，则f ′（x）≥0对区间D恒成立，而不是f ′（x）>0对区间D恒成立. （ ）必做2 设函数f（x）=ex（sinx-cosx），若0≤x≤2013π，则函数f（x）的各极大值之和为________. 精妙解法 求得f ′（x）=2exsinx，当x∈（2kπ，2kπ+π）时， f ′（x）>0； 当x∈（2kπ+π，2kπ+2π）时， f ′（x）<0，所以当x∈（2kπ，2kπ+π）时， f（x）递增，当x∈（2kπ+π，2kπ+2π）时，函数f（x）递减，故当x=2kπ+π时， f（x）取极大值，其极大值为f（2kπ+π）=e2kπ+π·[sin（2kπ+π）-cos（2kπ+π）]=e2kπ+π. 又0≤x≤2013π，所以函数f（x）的各极大值之和 S=eπ+e3π+…+e2013π= . 极速突击 本题先确定函数f（x）的极大值点，再求和. 误点警示 应用导数解函数f（x）的极值，要先求出f ′（x）=0的解，再判断在各个解的两侧导数值的符号，只有满足两侧导数值异号的解才是f（x）的极值点. （ ）必做3 已知函数f（x）=（ax2+x）-xlnx在[1，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是_________. 精妙解法 函数f（x）=（ax2+x）-xlnx的导数是f ′（x）=2ax-lnx，由题意得f ′（x）=2ax-lnx≥0对于x∈[1，+∞）恒成立. 题意等价于a≥ 对于x∈[1，+∞）恒成立，即要求 在x∈[1，+∞）上的最大值. 记g（x）= ，则g′（x）= =0，得x0=e，且g′（x）= 的值在x0=e处左正右负. 所以，函数g（x）= 在x0=e处达到最大值；即对于x∈[1，+∞）时，恒有g（x）= ≤ 、所以，a的取值范围是 ，+∞. 极速突击 这一类题其实就是含有参数的恒成立问题，问题的突破点是转变成新的函数，然后求这个函数的最值或极值点. 误点警示 这是一类综合性比较强的试题，往往需要第2次使用导数. （ ）必做4 对于R上的可导函数f（x），若满足（x-1）f ′（x）≥0，则必有（ ） A. f（0）+f（2）<2f（1） B. f（0）+f（2）≤2f（1） C. f（0）+f（2）≥2f（1） D. f（0）+f（2）>2f（1） 精妙解法 由（x-1）f ′（x）≥0得，当x<1时有f ′（x）≤0，当x>1时有f ′（x）≥0；因此，有f（x）在区间（-∞，1）上递减或为常数， f（x）在区间（1，+∞）上递增或为常数；x=1是f（x）的最小值点；从而应该有f（0）+f（2）≥2f（1），故选C. 极速突击 单纯以导数的特征为条件给出的问题一般来说比较简单，但把导数结合在一个复杂的环境中是当前考试的趋势，所以，分离出导数的特征条件是首要做的事情. 误点警示 当x<1时有f ′（x）≤0，只能表明函数f（x）在区间（-∞，1）上递减或（部分或全部）为常数，即不严格单调递减. 另一个同理. （ ）必做5 已知函数f（x）=x（x-c）2在x=2处取得极大值，则常数c的值为__________. 精妙解法 由函数f（x）=x（x-c）2得，导函数f ′（x）=3x- c（x-c）=0的两根为 c，c，这两个根同号，所以，必有c>0且小根是 c；再由f ′（x）=3x- c（x-c）是开口向上的二次函数，且f（x）在x=2处取得极大值，则f ′（x）在x=2处的左边是正值、右边是负值，只能有 c=2，即c=6. 极速突击 这类问题既要重视“极值”的条件，又要重视“极大”的条件. 误点警示 部分考生往往只对f ′（2）=0引起重视，没有很好地考虑“极大值”的要求. 金刊提醒 导数的应用问题，首先要确定函数的定义域，再求导数f ′（x），得到导函数的零点后，一般列表判定单调区间与极值或最值；若是含参变量的单调性或极值问题，则应结合定义域对方程根的问题进行讨论；对于某些综合问题，还要进行命题转化（如恒成立、大小比较、数列问题等），逐步化归为基本问题来解决，尤其是注意分类讨论、数形结合等思想的综合运用. 另解：函数y= x3+bx2+（b+2）x+3的导函数是y′=x2+2bx+（b+2），若函数在R上不是单调增函数，则有y′<0在R上有解，结合图象开口向上，这样就要使Δ=4b2-4（b+2）>0，即（-∞，-1）∪（2，+∞）. 极速突击 （1）若函数f（x）在区间D上满足f ′（x）>0，则f（x）为区间D上的增函数； 若函数f（x）在区间D上满足f ′（x） <0，则f（x）为区间D上的减函数. （2）若函数f（x）为区间D上的增函数，则f ′（x）≥0对区间D恒成立； 若函数f（x）为区间D上的减函数，则f ′（x）≤0对区间D恒成立. 误点警示 f（x）在区间D递增，则f ′（x）≥0对区间D恒成立，而不是f ′（x）>0对区间D恒成立. （ ）必做2 设函数f（x）=ex（sinx-cosx），若0≤x≤2013π，则函数f（x）的各极大值之和为________. 精妙解法 求得f ′（x）=2exsinx，当x∈（2kπ，2kπ+π）时， f ′（x）>0； 当x∈（2kπ+π，2kπ+2π）时， f ′（x）<0，所以当x∈（2kπ，2kπ+π）时， f（x）递增，当x∈（2kπ+π，2kπ+2π）时，函数f（x）递减，故当x=2kπ+π时， f（x）取极大值，其极大值为f（2kπ+π）=e2kπ+π·[sin（2kπ+π）-cos（2kπ+π）]=e2kπ+π. 又0≤x≤2013π，所以函数f（x）的各极大值之和 S=eπ+e3π+…+e2013π= . 极速突击 本题先确定函数f（x）的极大值点，再求和. 误点警示 应用导数解函数f（x）的极值，要先求出f ′（x）=0的解，再判断在各个解的两侧导数值的符号，只有满足两侧导数值异号的解才是f（x）的极值点. （ ）必做3 已知函数f（x）=（ax2+x）-xlnx在[1，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是_________. 精妙解法 函数f（x）=（ax2+x）-xlnx的导数是f ′（x）=2ax-lnx，由题意得f ′（x）=2ax-lnx≥0对于x∈[1，+∞）恒成立. 题意等价于a≥ 对于x∈[1，+∞）恒成立，即要求 在x∈[1，+∞）上的最大值. 记g（x）= ，则g′（x）= =0，得x0=e，且g′（x）= 的值在x0=e处左正右负. 所以，函数g（x）= 在x0=e处达到最大值；即对于x∈[1，+∞）时，恒有g（x）= ≤ 、所以，a的取值范围是 ，+∞. 极速突击 这一类题其实就是含有参数的恒成立问题，问题的突破点是转变成新的函数，然后求这个函数的最值或极值点. 误点警示 这是一类综合性比较强的试题，往往需要第2次使用导数. （ ）必做4 对于R上的可导函数f（x），若满足（x-1）f ′（x）≥0，则必有（ ） A. f（0）+f（2）<2f（1） B. f（0）+f（2）≤2f（1） C. f（0）+f（2）≥2f（1） D. f（0）+f（2）>2f（1） 精妙解法 由（x-1）f ′（x）≥0得，当x<1时有f ′（x）≤0，当x>1时有f ′（x）≥0；因此，有f（x）在区间（-∞，1）上递减或为常数， f（x）在区间（1，+∞）上递增或为常数；x=1是f（x）的最小值点；从而应该有f（0）+f（2）≥2f（1），故选C. 极速突击 单纯以导数的特征为条件给出的问题一般来说比较简单，但把导数结合在一个复杂的环境中是当前考试的趋势，所以，分离出导数的特征条件是首要做的事情. 误点警示 当x<1时有f ′（x）≤0，只能表明函数f（x）在区间（-∞，1）上递减或（部分或全部）为常数，即不严格单调递减. 另一个同理. （ ）必做5 已知函数f（x）=x（x-c）2在x=2处取得极大值，则常数c的值为__________. 精妙解法 由函数f（x）=x（x-c）2得，导函数f ′（x）=3x- c（x-c）=0的两根为 c，c，这两个根同号，所以，必有c>0且小根是 c；再由f ′（x）=3x- c（x-c）是开口向上的二次函数，且f（x）在x=2处取得极大值，则f ′（x）在x=2处的左边是正值、右边是负值，只能有 c=2，即c=6. 极速突击 这类问题既要重视“极值”的条件，又要重视“极大”的条件. 误点警示 部分考生往往只对f ′（2）=0引起重视，没有很好地考虑“极大值”的要求. 金刊提醒 导数的应用问题，首先要确定函数的定义域，再求导数f ′（x），得到导函数的零点后，一般列表判定单调区间与极值或最值；若是含参变量的单调性或极值问题，则应结合定义域对方程根的问题进行讨论；对于某些综合问题，还要进行命题转化（如恒成立、大小比较、数列问题等），逐步化归为基本问题来解决，尤其是注意分类讨论、数形结合等思想的综合运用. 另解：函数y= x3+bx2+（b+2）x+3的导函数是y′=x2+2bx+（b+2），若函数在R上不是单调增函数，则有y′<0在R上有解，结合图象开口向上，这样就要使Δ=4b2-4（b+2）>0，即（-∞，-1）∪（2，+∞）. 极速突击 （1）若函数f（x）在区间D上满足f ′（x）>0，则f（x）为区间D上的增函数； 若函数f（x）在区间D上满足f ′（x）<0，则f（x）为区间D上的减函数. （2）若函数f（x）为区间D上的增函数，则f ′（x）≥0对区间D恒成立； 若函数f（x）为区间D上的减函数，则f ′（x）≤0对区间D恒成立. 误点警示 f（x）在区间D递增，则f ′（x）≥0对区间D恒成立，而不是f ′（x）>0对区间D恒成立. （ ）必做2 设函数f（x）=ex（sinx-cosx），若0≤x≤2013π，则函数f（x）的各极大值之和为________. 精妙解法 求得f ′（x）=2exsinx，当x∈（2kπ，2kπ+π）时， f ′（x）>0； 当x∈（2kπ+π，2kπ+2π）时， f ′（x）<0，所以当x∈（2kπ，2kπ+π）时， f（x）递增，当x∈（2kπ+π，2kπ+2π）时，函数f（x）递减，故当x=2kπ+π时， f（x）取极大值，其极大值为f（2kπ+π）=e2kπ+π·[sin（2kπ+π）-cos（2kπ+π）]=e2kπ+π. 又0≤x≤2013π，所以函数f（x）的各极大值之和 S=eπ+e3π+…+e2013π= . 极速突击 本题先确定函数f（x）的极大值点，再求和. 误点警示 应用导数解函数f（x）的极值，要先求出f ′（x）=0的解，再判断在各个解的两侧导数值的符号，只有满足两侧导数值异号的解才是f（x）的极值点. （ ）必做3 已知函数f（x）=（ax2+x）-xlnx在[1，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是_________. 精妙解法 函数f（x）=（ax2+x）-xlnx的导数是f ′（x）=2ax-lnx，由题意得f ′（x）=2ax-lnx≥0对于x∈[1，+∞）恒成立. 题意等价于a≥ 对于x∈[1，+∞）恒成立，即要求 在x∈[1，+∞）上的最大值. 记g（x）= ，则g′（x）= =0，得x0=e，且g′（x）= 的值在x0=e处左正右负. 所以，函数g（x）= 在x0=e处达到最大值；即对于x∈[1，+∞）时，恒有g（x）= ≤ 、所以，a的取值范围是 ，+∞. 极速突击 这一类题其实就是含有参数的恒成立问题，问题的突破点是转变成新的函数，然后求这个函数的最值或极值点. 误点警示 这是一类综合性比较强的试题，往往需要第2次使用导数. （ ）必做4 对于R上的可导函数f（x），若满足（x-1）f ′（x）≥0，则必有（ ） A. f（0）+f（2）<2f（1） B. f（0）+f（2）≤2f（1） C. f（0）+f（2）≥2f（1） D. f（0）+f（2）>2f（1） 精妙解法 由（x-1）f ′（x）≥0得，当x<1时有f ′（x）≤0，当x>1时有f ′（x）≥0；因此，有f（x）在区间（-∞，1）上递减或为常数， f（x）在区间（1，+∞）上递增或为常数；x=1是f（x）的最小值点；从而应该有f（0）+f（2）≥2f（1），故选C. 极速突击 单纯以导数的特征为条件给出的问题一般来说比较简单，但把导数结合在一个复杂的环境中是当前考试的趋势，所以，分离出导数的特征条件是首要做的事情. 误点警示 当x<1时有f ′（x）≤0，只能表明函数f（x）在区间（-∞，1）上递减或（部分或全部）为常数，即不严格单调递减. 另一个同理. （ ）必做5 已知函数f（x）=x（x-c）2在x=2处取得极大值，则常数c的值为__________. 精妙解法 由函数f（x）=x（x-c）2得，导函数f ′（x）=3x- c（x-c）=0的两根为 c，c，这两个根同号，所以，必有c>0且小根是 c；再由f ′（x）=3x- c（x-c）是开口向上的二次函数，且f（x）在x=2处取得极大值，则f ′（x）在x=2处的左边是正值、右边是负值，只能有 c=2，即c=6. 极速突击 这类问题既要重视“极值”的条件，又要重视“极大”的条件. 误点警示 部分考生往往只对f ′（2）=0引起重视，没有很好地考虑“极大值”的要求. 金刊提醒 导数的应用问题，首先要确定函数的定义域，再求导数f ′（x），得到导函数的零点后，一般列表判定单调区间与极值或最值；若是含参变量的单调性或极值问题，则应结合定义域对方程根的问题进行讨论；对于某些综合问题，还要进行命题转化（如恒成立、大小比较、数列问题等），逐步化归为基本问题来解决，尤其是注意分类讨论、数形结合等思想的综合运用. |
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