| 标题 | 高考数学必做客观题——不等式 |
| 范文 | 刘长柏 1 不等关系 （ ）必做1 设a=lge，b=（lge）2，c=lg ，则（ ） A. a>b>c B. c>a>b C. a>c>b D. c>b>a 精妙解法 因为0 极速突击 比较大小通常借助于比差、比商的方法，比差需要确定“差”的符号，比商需要确定“商”与1的大小.关系式涉及积、幂等形式，且符号相同时，常常采用比商法；关系式涉及和、差等形式时，常常采用比差法.比较大小过程中要遵循不等式的性质，同时注意利用基本不等式、函数性质、配方法等. （ ）必做2 爬山是一种简单有趣的野外运动，有益于身心健康，但要注意安全，准备好必需物品，控制好速度. 现有甲、乙两人相约爬山，若甲上山的速度为v1，下山的速度为v2（v1≠v2），乙上下山的速度都是 （甲、乙两人中途不停歇），则甲、乙两人上下山所用的时间t1，t2的关系为（ ） A. t1>t2 B. t1 精妙解法 设从山下到山上的路程为x，甲上下山所用的时间t1= + ，乙上下山所用的时间t2= = ，则可得t1-t2= - = = >0，故选A. 极速突击 不等式的性质是解决涉及不等式问题的基础，性质的运用无处不在，其中往往结合函数、方程等内容，特别是与充要条件的判断相结合，是高考高频率的考点. 2 不等式的解法 （ ）必做1 关于x的不等式 ≥0的解为-1≤x<2或x≥3，则点P（a+b，c）位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 精妙解法 由不等式的解集可知，-1，3是方程的两个根，且c=2. 不妨设a=-1，b=3，所以a+b=2，即点P（a+b，c）的坐标为（2，2），位于第一象限，选A. 极速突破 解不等式通常是方程、函数、不等式三位一体考虑，不等式解集的端点是对应方程的根，是函数图象与x轴交点的横坐标，解不等式就转化成函数、方程问题，根据不等式的解集可以确定其解析式或者某些系数. （ ）必做2 关于x的不等式x2-ax+2a<0的解集为A，若集合A中恰有两个整数，则实数a的取值范围是________. 精妙解法 由题意知Δ=a2-8a>0，解得a>8或a<0. 当a>8时，设f（x）=x2-ax+2a，其对称轴为x= >4，且f（4）=16-2a<0， 由于A中恰有两个整数，所以可得f（5）<0，f（3）≥0，f（6）≥0，即25-3a<0，9-a≥0，36-4a≥0，从而解得 当a<0， f（x）=x2-ax+2a的对称轴为x= <0，且f（0）=2a<0， 由于A中恰有两个整数，所以可得f（-1）<0，f（1）≥0，f（-2）≥0，即1+3a<0，1+a≥0，4+4a≥0，从而解得 -1≤a<- . 综上得a∈-1，- ∪ ，9. 极速突击 从函数角度看二次不等式，可直接构造二次函数，还应充分利用问题的“个性”，即要找到问题中“这一个”二次函数的特征. 同时，尽量画出函数图象，利用图形的直观性，数形结合，使得问题直观、具体，充分为关系式的建立指明方向，以求事半功倍. 本题在a>8的前提下，由对称轴x>4， f（4）<0，且A中恰有两个整数，因此f（3）<0不成立（否则由二次函数对称性， f（5）<0，至少有三个整数满足不等式，不符合题意），即满足条件的整数只能为4与5，而得到相应条件. 本题也可以通过分离参数等方法求解. 金刊提醒 各种类型典型解法如下. （1）一元二次不等式解法：先将二次项系数化正，再借助对应二次函数的图象写出解集. （2）高次不等式解法：只要求会解可化为一边是0，另一边可分解为关于x的一次或二次因式积的形式的高次不等式，解法用“标根画线”法，注意穿根时“奇穿偶回”. （3）分式不等式解法：将不等式移项通分化为一边是 ，另一边是0的形式，再做如下转化. >0 圳f（x）·g（x）>0； ≥0 圳f（x）·g（x）≥0，g（x）≠0； <0 圳f（x）·g（x）<0； ≤0 圳f（x）·g（x）≤0，g（x）≠0. （4）绝对值不等式解法：含绝对值问题的终极目标是去掉绝对值. 含一个绝对值的常见解法是f（x）>g（x） 圯f（x）>g（x）或f（x）<-g（x）；f（x） 3 线性规划 （ ）必做1 设曲线x2-y2=0与抛物线y2=-4x的准线围成的三角形区域（包含边界）为D，P（x，y）为D内的一个动点，则目标函数z=x-2y+5的最大值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 精妙解法 由x2-y2=0得曲线为y=±x. 抛物线y2=-4x的准线为x=1，所以它们围成的三角形区域为三角形BOC（如图1）. 图1 由z=x-2y+5得y= x+ （5-z），作直线y= x，且平移直线y= x. 当直线y= x+ （5-z）经过点C时，直线y= x+ （5-z）的截距最小，此时z最大. 由x=1，y=-x得x=1，y=-1，即C（1，-1），代入z=x-2y+5得z=8，选C. （ ）必做2 函数y=f（x）为定义在R上的减函数，函数y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称，x，y满足不等式f（x2-2x）+f（2y-y2）≤0，M（1，2），N（x，y），O为坐标原点，则当1≤x≤4时， · 的取值范围为（ ） A. [12，+∞） B. [0，3] C. [3，12] D. [0，12] 精妙解法 因为函数y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称，所以函数y=f（x）的图象关于原点对称，即函数y=f（x）为奇函数. 由f（x2-2x）+f（2y-y2）≤0得f（x2-2x）≤-f（2y-y2）=f（y2-2y），所以x2-2x≥y2-2y，所以x2-2x≥y2-2y，1≤x≤4， 即（x-y）（x+y-2）≥0，1≤x≤4.画出可行域如图2所示，可得 · =x+2y∈[0，12]. 故选D. 图2 金刊提醒 在线性规划问题的求解中，要充分运用数形结合思想，在解题中能认真领悟图解法的实质. 4 基本不等式与最值运用 （ ）必做1 函数y=ax+3-2（a>0，a≠1）的图象恒过定点A，若A在直线 + =-1上，且m>0，n>0，则3m+n的最小值为 摇（ ） A. 13 B. 16 C. 11+6 D. 28 精妙解法 易知函数y=ax+3-2（a>0，a≠1）恒过定点（-3，-1），所以可得A（-3，-1）. 又因为点A在直线 + =-1上，所以 + =1. 所以，3m+n=（3m+n） + =10+ + ≥10+2 =16. 所以3m+n的最小值为16. 选B. 极速突击 由问题的形式大致确定是利用基本不等式求最值问题后，首先确定 + =1，再用“1”的代换，结合基本不等式求最值. 在条件等式下求最值常常采取“乘1”“常数代入”等方法. 用基本不等式求最值必须验证等号能否取到，当等号无法取到时，可以改变关系式的形式使其等号能够成立，或者利用函数的单调性求最值. 金刊提醒 （1）使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视.要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可. （2）在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件. （3）连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致. 5 不等式恒成立 （ ）必做1 对于满足0≤a≤4的实数a，使x2+ax>4x+a-3恒成立的x的取值范围是________. 精妙解法 原不等式等价于x2+ax-4x-a+3>0，即a（x-1）+x2-4x+3>0. 令f（a）=a（x-1）+x2-4x+3，则函数f（a）=a（x-1）+x2-4x+3表示直线，所以要使0≤a≤4时， f（a）=a（x-1）+x2-4x+3>0，则有f（0）>0， f（4）>0，即x2-4x+3>0且x2-1>0， 解得x>3或x<-1，即x的取值范围为（-∞，-1）∪（3，+∞）. 极速突击 在多个字母的问题中，应避免先入为主，可以变换主元观察关系式的结构，采取最简单的函数形式求解. 一般地，可以按照“谁在变就是谁的函数”确定函数关系，本题中就是0≤a≤4，所以可看成是关于a的函数，x为参数. 误点警示 思维定式，根据习惯，从关于x的二次函数角度求解，不易找到解题思路. 从解二次不等式角度求解，由于分类不当或不会分类而不能求解. （ ）必做2 若不等式 ≤a≤ 在t∈（0，2]上恒成立，则a的取值范围是（ ） A. ，1 B. ，1 C. ， D. ，2 精妙解法 = ，因为t∈（0，2]，所以t+ ≥ ，所以 的最大值为 ； = + =2 + - ，因为t∈（0，2]，所以 ≥1，所以 的最小值为1. 所以不等式在t∈（0，2]上恒成立，a的取值范围是 ，1. 极速突击 不等式恒成立问题，通常转化为求函数的最值，求最值有时按参数分类讨论. 若采用分离变量法，再求最值，往往可避免分类讨论.一般地， f（x）>a对一切x∈D都成立 圳f（x）min>a； f（x） 由x=1，y=-x得x=1，y=-1，即C（1，-1），代入z=x-2y+5得z=8，选C. （ ）必做2 函数y=f（x）为定义在R上的减函数，函数y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称，x，y满足不等式f（x2-2x）+f（2y-y2）≤0，M（1，2），N（x，y），O为坐标原点，则当1≤x≤4时， · 的取值范围为（ ） A. [12，+∞） B. [0，3] C. [3，12] D. [0，12] 精妙解法 因为函数y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称，所以函数y=f（x）的图象关于原点对称，即函数y=f（x）为奇函数. 由f（x2-2x）+f（2y-y2）≤0得f（x2-2x）≤-f（2y-y2）=f（y2-2y），所以x2-2x≥y2-2y，所以x2-2x≥y2-2y，1≤x≤4， 即（x-y）（x+y-2）≥0，1≤x≤4.画出可行域如图2所示，可得 · =x+2y∈[0，12]. 故选D. 图2 金刊提醒 在线性规划问题的求解中，要充分运用数形结合思想，在解题中能认真领悟图解法的实质. 4 基本不等式与最值运用 （ ）必做1 函数y=ax+3-2（a>0，a≠1）的图象恒过定点A，若A在直线 + =-1上，且m>0，n>0，则3m+n的最小值为 摇（ ） A. 13 B. 16 C. 11+6 D. 28 精妙解法 易知函数y=ax+3-2（a>0，a≠1）恒过定点（-3，-1），所以可得A（-3，-1）. 又因为点A在直线 + =-1上，所以 + =1. 所以，3m+n=（3m+n） + =10+ + ≥10+2 =16. 所以3m+n的最小值为16. 选B. 极速突击 由问题的形式大致确定是利用基本不等式求最值问题后，首先确定 + =1，再用“1”的代换，结合基本不等式求最值. 在条件等式下求最值常常采取“乘1”“常数代入”等方法. 用基本不等式求最值必须验证等号能否取到，当等号无法取到时，可以改变关系式的形式使其等号能够成立，或者利用函数的单调性求最值. 金刊提醒 （1）使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视.要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可. （2）在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件. （3）连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致. 5 不等式恒成立 （ ）必做1 对于满足0≤a≤4的实数a，使x2+ax>4x+a-3恒成立的x的取值范围是________. 精妙解法 原不等式等价于x2+ax-4x-a+3>0，即a（x-1）+x2-4x+3>0. 令f（a）=a（x-1）+x2-4x+3，则函数f（a）=a（x-1）+x2-4x+3表示直线，所以要使0≤a≤4时， f（a）=a（x-1）+x2-4x+3>0，则有f（0）>0， f（4）>0，即x2-4x+3>0且x2-1>0， 解得x>3或x<-1，即x的取值范围为（-∞，-1）∪（3，+∞）. 极速突击 在多个字母的问题中，应避免先入为主，可以变换主元观察关系式的结构，采取最简单的函数形式求解. 一般地，可以按照“谁在变就是谁的函数”确定函数关系，本题中就是0≤a≤4，所以可看成是关于a的函数，x为参数. 误点警示 思维定式，根据习惯，从关于x的二次函数角度求解，不易找到解题思路. 从解二次不等式角度求解，由于分类不当或不会分类而不能求解. （ ）必做2 若不等式 ≤a≤ 在t∈（0，2]上恒成立，则a的取值范围是（ ） A. ，1 B. ，1 C. ， D. ，2 精妙解法 = ，因为t∈（0，2]，所以t+ ≥ ，所以 的最大值为 ； = + =2 + - ，因为t∈（0，2]，所以 ≥1，所以 的最小值为1. 所以不等式在t∈（0，2]上恒成立，a的取值范围是 ，1. 极速突击 不等式恒成立问题，通常转化为求函数的最值，求最值有时按参数分类讨论. 若采用分离变量法，再求最值，往往可避免分类讨论.一般地， f（x）>a对一切x∈D都成立 圳f（x）min>a； f（x） 由x=1，y=-x得x=1，y=-1，即C（1，-1），代入z=x-2y+5得z=8，选C. （ ）必做2 函数y=f（x）为定义在R上的减函数，函数y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称，x，y满足不等式f（x2-2x）+f（2y-y2）≤0，M（1，2），N（x，y），O为坐标原点，则当1≤x≤4时， · 的取值范围为（ ） A. [12，+∞） B. [0，3] C. [3，12] D. [0，12] 精妙解法 因为函数y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称，所以函数y=f（x）的图象关于原点对称，即函数y=f（x）为奇函数. 由f（x2-2x）+f（2y-y2）≤0得f（x2-2x）≤-f（2y-y2）=f（y2-2y），所以x2-2x≥y2-2y，所以x2-2x≥y2-2y，1≤x≤4， 即（x-y）（x+y-2）≥0，1≤x≤4.画出可行域如图2所示，可得 · =x+2y∈[0，12]. 故选D. 图2 金刊提醒 在线性规划问题的求解中，要充分运用数形结合思想，在解题中能认真领悟图解法的实质. 4 基本不等式与最值运用 （ ）必做1 函数y=ax+3-2（a>0，a≠1）的图象恒过定点A，若A在直线 + =-1上，且m>0，n>0，则3m+n的最小值为 摇（ ） A. 13 B. 16 C. 11+6 D. 28 精妙解法 易知函数y=ax+3-2（a>0，a≠1）恒过定点（-3，-1），所以可得A（-3，-1）. 又因为点A在直线 + =-1上，所以 + =1. 所以，3m+n=（3m+n） + =10+ + ≥10+2 =16. 所以3m+n的最小值为16. 选B. 极速突击 由问题的形式大致确定是利用基本不等式求最值问题后，首先确定 + =1，再用“1”的代换，结合基本不等式求最值. 在条件等式下求最值常常采取“乘1”“常数代入”等方法. 用基本不等式求最值必须验证等号能否取到，当等号无法取到时，可以改变关系式的形式使其等号能够成立，或者利用函数的单调性求最值. 金刊提醒 （1）使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视.要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可. （2）在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件. （3）连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致. 5 不等式恒成立 （ ）必做1 对于满足0≤a≤4的实数a，使x2+ax>4x+a-3恒成立的x的取值范围是________. 精妙解法 原不等式等价于x2+ax-4x-a+3>0，即a（x-1）+x2-4x+3>0. 令f（a）=a（x-1）+x2-4x+3，则函数f（a）=a（x-1）+x2-4x+3表示直线，所以要使0≤a≤4时， f（a）=a（x-1）+x2-4x+3>0，则有f（0）>0， f（4）>0，即x2-4x+3>0且x2-1>0， 解得x>3或x<-1，即x的取值范围为（-∞，-1）∪（3，+∞）. 极速突击 在多个字母的问题中，应避免先入为主，可以变换主元观察关系式的结构，采取最简单的函数形式求解. 一般地，可以按照“谁在变就是谁的函数”确定函数关系，本题中就是0≤a≤4，所以可看成是关于a的函数，x为参数. 误点警示 思维定式，根据习惯，从关于x的二次函数角度求解，不易找到解题思路. 从解二次不等式角度求解，由于分类不当或不会分类而不能求解. （ ）必做2 若不等式 ≤a≤ 在t∈（0，2]上恒成立，则a的取值范围是（ ） A. ，1 B. ，1 C. ， D. ，2 精妙解法 = ，因为t∈（0，2]，所以t+ ≥ ，所以 的最大值为 ； = + =2 + - ，因为t∈（0，2]，所以 ≥1，所以 的最小值为1. 所以不等式在t∈（0，2]上恒成立，a的取值范围是 ，1. 极速突击 不等式恒成立问题，通常转化为求函数的最值，求最值有时按参数分类讨论. 若采用分离变量法，再求最值，往往可避免分类讨论.一般地， f（x）>a对一切x∈D都成立 圳f（x）min>a； f（x） |
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