| 标题 | 高考数学必做解答题——导数及其应用 |
| 范文 | 陈肖敏 1 导数与函数 （ ）必做1 已知函数f（x）=eax· +a+1，其中a≥-1. （1）求f（x）的单调递减区间； （2）若存在x1>0，x2<0，使得f（x1） ①当a=-1时，令f′（x）=0，解得x= -1. f（x）的单调递减区间为（-x，-1）；单调递增区间为（-1，0），（0，+∞）. 当a≠-1时，令f′（x）=0，解得x=-1，或x= . ②当-1③当a=0时，f（x）为常值函数，不存在单调区间. ④当a>0时，f（x）的单调递减区间为（-1，0），0， ；单调递增区间为（-∞，-1）， ，+∞. （2）①当a>0时，若x∈（0，+∞），f（x）min=f =e （a+1）2>1，而x∈（-∞，0），f（x）max=f（-1）=e-a<1，不符合题意. ②当a=0时，显然不符合题意. ③当-10，符合题意. ④当a=-1时，取x1=1，则f（x ）=-e-1<0；取x2=-1，则f（x2）=e>0，符合题意. 综上，a的取值范围是[-1，0）. 极速突击 讨论函数的单调性，其实质就是讨论不等式的解集的情况，大多数情况下是归结为一个含有参数的一元二次不等式或一元分式不等式的解集的讨论. 当能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时，依据根的大小直接求解，若此时含有参数，则需分类讨论；当不能通过因式分解求出根时，根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论. 讨论时千万不要忽视定义域的限制. 利用导数研究函数单调性的步骤：①求导数f′（x）；②在函数f（x）的定义域内解不等式f′（x）>0或f′（x）<0；③根据②的结果确定函数f（x）的单调区间. 运用导数研究函数的单调性时，若涉及含参数的不等式，则需要进行分类讨论. 误点警示 本题要对参数a进行分类讨论，以a=-1与a=0作为分类标准，再对-10进行讨论，要做到不重不漏. （ ）必做2 已知函数f（x）=2ax+ +lnx， （1）若函数f（x）在x=1，x= 处取得极值，求a，b的值； （2）若f ′（1）=2，函数f（x）在（0，+∞）上是单调函数，求a的取值范围. 破解思路 （1）只要严格按照极值存在的充要条件去分析就可以；（2）条件f ′（1）=2不但给出了a，b关系，还结合后面条件隐含给出在（0，+∞）上恒有f ′（x）≥0. 精妙解法 由函数f（x）=2ax+ +lnx可得x>0， f ′（x）=2a- + =-b + +2a. （1）若函数f（x）在x=1，x= 处取得极值，则有f ′（1）=-b+1+2a=0，f ′ =-4b+2+2a=0，解得a=- ，b= .将其代回得f ′（x）=-2· . 它显然在x=1，x= 处左、右函数值符号是不一致的，因此，a=- ，b= 是符合要求的. （2）由f ′（1）=2可得f ′（1）=-b+1+2a=2>0，即b=2a-1. 又函数f（x）在（0，+∞）上是单调函数，所以有f ′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立. 将b=2a-1代入得f ′（x）=（1-2a） + +2a≥0在x∈（0，+∞）上恒成立. 注意到f ′（x）=（1-2a）· +2a +1≥0；这样，就只要（1-2a）· +2a>0对于x∈（0，+∞）恒成立就可以了，故1-2a=0，2a≥0或1-2a>0，2a≥0，即0≤a≤ . 极速突击 求可导函数极值的步骤：（1）确定函数的定义域；（2）求导数f ′（x）；（3）解方程f ′（x）=0，求出函数定义域内的所有根；（4）列表检验f ′（x）在f ′（x）=0的根x0左、右两侧值的符号，如果左正右负，那么f（x）在x0处取极大值，如果左负右正，那么f（x）在x0处取极小值. 误点警示 对于（1），如果不检验f ′（x）在f ′（x）=0的根x0左、右两侧值的符号，那么解题过程将是不完整的. 对于（2）， f（x）在区间D上是增函数，对应的应是f ′（x）≥0在区间D上恒成立，而非f ′（x）>0在区间D上恒成立（单调递减亦是如此）. 就本题而言，虽然利用f ′（x）>0可得相同的答案，但这样的做法却是错误的. （ ）必做3 设函数f（x）=lnx- ax2-bx. （1）当a=b= 时，求f（x）的最大值； （2）令F（x）=f（x）+ ax2+bx+ （0 破解思路 （1）当a=b= 时， f（x）是不含有参数的确定函数，求其最大值应该是属于使用基本知识、技能的范围；（2）适当化简函数形式，会发现此函数是一个简单而只含有参数a的函数，切线的斜率就是其导函数，利用k≤ 恒成立采用分离系数的方法求a的取值范围；（3）将问题转化为求函数g（x）=x2-2mlnx-2mx与x轴有唯一交点时m的值，这需要研究函数的图象与性质，主要涉及利用导数研究其单调性，该问题的解决需要层层剥离外表去发现本质. 精妙解法 （1）依题意，知f（x）的定义域为（0，+∞），当a=b= 时， f（x）=lnx- x2- x， 摇f ′（x）= - x- = . 令f ′（x）=0，解得x=1（因为x>0）. 当0 所以， f（x）的极大值为f（1）=- ，此即为最大值. 摇（2）F（x）=lnx+ ，x∈（0，3]，则有k=F ′（x0）= ≤ 在x∈（0，3]上恒成立，所以得a≥- x +x0 ，x∈（0，3]. 当x0=1时，- x +x0取得最大值 ，所以a≥ . （3）方程2mf（x）=x2有唯一实数解，即x2-2mlnx-2mx=0有唯一实数解. 设g（x）=x2-2mlnx-2mx，题意就转化为求其与x轴有唯一交点的m值. 这首先要研究其单调性. g′（x）= . 令g′（x）=0，得x2-mx-m=0. 因为m>0，x>0，所以x1= <0（舍去），取x2= <0. 当x∈（0，x2）时，g′（x）<0，g（x）在（0，x2）上单调递减；当x∈（x2，+∞）时，g′（x）>0，g（x）在（x2，+∞）上单调递增. 当x=x2时，g′（x2）=0，g（x）取最小值g（x2）. 又x→0+时，g（x）=x2-2mlnx-2mx→+∞；x→+∞时，也有g（x）=x2-2mlnx-2mx→+∞. 因此，题意转化为求满足方程组g（x2）=0，g′（x2）=0的m的解，即x -2mlnx2-2mx2=0，x -mx2-m=0，所以2mlnx2+mx2-m=0. 因为m>0，所以2lnx2+x2-1=0（ 鄢）. 设函数h（x）=2lnx+x-1=0，因为当x>0时，h（x）是增函数，所以h（x）=0至多有一解. 因为h（1）=0，所以方程（ 鄢）的解为x2= =1，解得m= . 极速突击 在什么时候使用导数？不是我们主观强加使用，而是在函数性质分析需要时候会自然使用的. 熟练使用导数的前提是对导数的工具性有高度充分的理解. 求函数f（x）在闭区间[a，b]内的最大值与最小值的方法： （1）确定函数f（x）在闭区间[a，b]内连续、可导；（2）求函数f（x）在开区间（a，b）内的极值；（3）求函数f（x）在[a，b]端点处的函数值f（a）， f（b）；（4）比较函数f（x）的各极值与f（a）， f（b）的大小，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值；（5）如果涉及实际应用问题还要将解答结果在实际意义中检验. 误点警示 方程2lnx+x-1=0为超越方程，不能直接求解，需要利用数形结合思想，利用“形”的直观性解决“数”的抽象性. 类似于第（3）小题这种含有参数的问题，我们一般的处理策略有两种：一是利用分类讨论思想直接求解，二是采用分离系数的方法来避免分类讨论. 也就是说，第（3）小题还可以利用分离系数的方法转化为求m= 且m>0的唯一解，但此函数的导函数不易求，容易犯错. （ ）必做4 （1）已知一条直线l与函数y=sinx（x∈R）的图象相切，且有无穷多个切点. 试写出这条直线的方程，并说明理由. （2）是否存在函数y=f（x）满足它的图象上任意两点处的切线都不相同？若存在，请举例说明；若不存在，请说明理由. （3）设g（x）=lnx，x>0， x2+2x- ，x≤0 的图象上存在k（k≥2，k∈N 鄢）个不同的点，使得函数y=g（x）的图象在这k个点处的切线是同一条直线l，求这k个点的坐标和直线l的方程. 破解思路 熟知导数的几何意义是解决本题的关键，对于（1），我们知道y=1或-1与函数y=sinx的图象存在无穷多个切点，利用导数的几何意义求得切点即可；对于（2），只需研究所求函数的导函数是单调函数即可；对于（3），结合图象及第（2）问的启示，让我们知道有两个切点，且这两个切点一定落在区间（-∞，0）和（0，+∞）上，再利用导数的几何意义建立方程组，解之即可. 精妙解法 （1）存在直线y=1与函数y=sinx（x∈R）的图象相切于无穷多个切点. 对于y=sinx，因为y′=cosx，当x=2kπ+ （k∈Z）时，y′=0，y=1. 所以，在点2kπ+ ，1（k∈Z）处，函数y=sinx（x∈R）的图象的切线为同一条直线y=1. 注：同样地可以说明在点2kπ- ，-1（k∈Z）处，函数y=sinx（x∈R）的图象的切线为同一条直线y=-1. （2）存在函数f（x）=x2（x∈R）的图象上任意两点处的切线都不相同. 因为f ′（x）=2x，则函数f ′（x）=2x在x∈R上单调递增. 所以，对于任意的x1≠x2，都有f ′（x1）≠f ′（x2）. 从而可知，函数f（x）=x2（x∈R）的图象上任意两点（x1， f（x1）），（x2， f（x2））处的切线斜率都不相等. 于是，函数f（x）=x2（x∈R）的图象上任意两点处的切线都不相同. （3）由题设可知g′（x）= ，x>0，x+2，x≤0. 1°因为g′（x）在x∈（-∞，0]上单调递增，所以当x∈（-∞，0]时，函数g（x）的图象上任意两点处的切线的斜率都互不相同，从而知当x∈（-∞，0]时，函数g（x）的图象上任意两点处的切线都不相同. 2°因为g′（x）在x∈（0，+∞）上单调递减，所以当x∈（0，+∞）时，函数g（x）的图象上任意两点处的切线的斜率都互不相同，从而知当x∈（0，+∞）时，函数g（x）的图象上任意两点处的切线都不相同. 因此，由1°，2°及题设可知，k只能为2，且这两个点一定分别落在区间（-∞，0]和（0，+∞）上. 3°设a>0，b≤0，记点A（a，lna），Bb， b2+2b- ，则可得函数g（x）的图象在点A处的切线方程为y-lna= （x-a），即y= x+lna-1 ①. 函数g（x）的图象在点B处的切线为y- b2+2b- =（b+2）（x-b），即y=（b+2）x- b2- ②. 因为方程①②表示同一条直线， 则有 =b+2， ③ 摇lna-1=- b2- . ④ 摇把③代入④，得ln -1=- b2- ，即 b2-ln（b+2）- =0，b∈（-2，0]. 记h（b）= b2-ln（b+2）- ，b∈（-2，0]，则h′（b）=b- = . 因为b∈（-2，0]，所以（b+1）2-2∈[-2，-1]. 又因为b+2>0，则h′（b）<0在b∈（-2，0]上恒成立，所以函数h（b）在（-2，0]上单调递减. 由h（-1）=0，得b=-1，a=1. 所以，所求的k个点的坐标分别为（1，0）和（-1，-2），直线l的方程为y=x-1. 极速突击 本题的关键工作是如何把几何的要求翻译为代数的要求，然后转化为函数的性质与导数的关系.此外，我们应该清楚一点：函数的导函数依然为函数，具有函数的一切特性. 金刊提醒 函数与导数的综合问题通常以超越函数为背景，判断函数的单调性、求极值（最值）、判断方程解的个数、求参数取值范围等，函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合等思想渗透其中. 2 导数与不等式 （ ）必做1 已知函数f（x）=ax+x2-xlna（a>0，a≠1）. （1）求函数f（x）在点（0， f（0））处的切线方程； （2）若存在x1，x2∈[-1，1]，使得f（x1）-f（x2）≥e-1（e是自然对数的底数），求实数a的取值范围. 破解思路 （1）函数y=f（x）在点x0处的导数f ′（x0）的几何意义，就是曲线y=f（x）在点（x0， f（x0））处切线的斜率. 因此，曲线y=f（x）在点（x0， f（x0））处的切线方程为y-f（x0）=f ′（x0）（x-x0）. （2）要使得x∈[-1，1]时f（x1）-f（x2）≥e-1，因f（x1）-f（x2）≤f（x）max-f（x）min，则只要f（x）max-f（x）min≥e-1即可，转化为求函数的最值问题. 精妙解法 （1）因为函数f（x）=ax+x2-xlna（a>0，a≠1），所以f ′（x）=axlna+2x-lna，f ′（0）=0. 又因为f（0）=1，所以函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=1. （2）因为存在x1，x2∈[-1，1]，使得f（x1）-f（x2）≥e-1成立， 而当x∈[-1，1]时，f（x1）-f（x2）≤f（x）max-f（x）min， 所以只要f（x）max-f（x）min≥e-1即可. 又因为x，f′（x），f（x）的变化情况如下表所示： 所以f（x）在[-1，0]上是减函数，在[0，1]上是增函数，所以当x∈[-1，1]时，f（x）的最小值f（x）min=f（0）=1，f（x）的最大值f（x）max为f（-1）和f（1）中的最大值. 因为f（1）-f（-1）=（a+1-lna）- +1+lna=a- -2lna， 令g（a）=a- -2lna（a>0），因为g′（a）=1+ - =1- >0， 所以g（a）=a- -2lna在a∈（0，+∞）上是增函数. 而g（1）=0，故当a>1时，g（a）>0，即f（1）>f（-1）；当0所以，当a>1时， f（1）-f（0）≥e-1，即a-lna≥e-1，令y=a-lna，则y′=1- = ，所以y在a∈（1，+∞）上是增函数，解得a≥e；当0综上可知，所求a的取值范围为a∈0， ∪（e，+∞）. 极速突击 这类含有两个变量的恒成立和存在性问题是近年各地模拟考试的热点，此类问题逻辑思维要求比较高，相当于解决两次恒成立问题，或者是不等式有解问题. 此类问题最容易把最大值、最小值搞错. 如下： 若存在x1，x2∈D， f（x1）≥g（x2），则只需满足f（x）max≥g（x）min； 若任意x1，x2∈D， f（x1）≥g（x2），则只需满足f（x）min≥g（x）max； 若任意的x1∈D，都存在x2∈D，使得f（x1）≥g（x2），则只需满足f（x）min≥g（x）min. （ ）必做2 已知函数f（x）=x-a-lnx（a>0）. （1）若a=1，求f（x）的单调区间及f（x）的最小值； （2）若a>0，求f（x）的单调区间； （3）试比较 + +…+ 与 的大小（n∈N 鄢且n≥2），并证明你的结论. 破解思路 对于（1），首先去掉绝对值符合，再研究导函数；对于（2），将参数a作为需要分类讨论的元，方法同（1）；对于（3），我们首先需要得到一个不等关系，受第（1）问的启发，有 <1- ，即 <1- ，再将其放缩为 <1- <1- 便可使原不等式获证. 精妙解法 （1）当x≥1时， f（x）=x-1-lnx， f ′（x）=1- ≥0， f（x）在[1，+∞）上是单调递增的；当0 故a=1时， f（x）的单调增区间为[1，+∞），单调减区间为（0，1）， f（x）min= f（1）=0. 摇 （2）①若a≥1， 当x≥a时， f（x）=x-a-lnx， f ′（x）=1- = ≥0，则f（x）在区间[a，+∞）上是单调递增的； 当0 当0（3）由（1）可知，当a=1，x>1时，有x-1-lnx>0，即 <1- ， 则有 + +…+ <1- +1- +…+1- =n-1- + +…+ 误点警示 对于第（2）问，容易犯分类不清楚的问题，主要是对a的分类标准不清楚. 金刊提醒 不等式恒成立与不等式有解问题的区别主要在于，表述时对已知范围的变量的形容词一个是“任意的”而另一个是“存在”. 对于恒成立问题和存在性问题（即有解问题）小结如下： A≥f（x）在x∈D上恒成立，则等价于A≥f（x）max； A≤f（x）在x∈D上恒成立，则等价于A≤f（x）min； 若在区间D上存在x，使得不等式A≥f（x）成立，则等价于A≥f（x）min； 若在区间D上存在x，使得不等式A≤f（x）成立，则等价于A≤f（x）max. 3 导数应用题 （ ）必做1 如图1，实线部分是某公园设计的游客观光路线平面图，曲线部分是以AB为直径的半圆，点O为圆心，△ABD是以AB为斜边的等腰直角三角形，其中AB=2 km，∠EOA=∠FOB=2x0 图1 （1）试将y表示为x的函数； （2）试确定当x取何值时，该公园整体的“心悦效果”最佳. 破解思路 解决本题的关键是审清题意，理解“心悦效果”. 第（1）问先得到弧EF，AE，BF的长，求得DE，DF，得到y关于x的函数式；第（2）问利用导数求y的最大值. 精妙解法 （1）因为∠EOA=∠FOB=2x0 又当x∈0， 时，y′>0，所以y在0， 上单调递增；当x∈ ， 时，y′<0，所以y在 ， 上单调递减，所以当x= ，函数y有最大值，故当x= 时，该公园整体的“心悦效果”最佳. 极速突击 在利用导数求解生活中的优化问题时，常常会遇到下述情况：所给函数在给定的区间上只有一个极值点，那么这个极值点也是函数在该区间上的最值点，据此可求得函数的最值，从而使问题得以解决. 金刊提醒 解应用题时，一是要充分阅读，弄清题意；二是要正确地数学化（转化为数学问题）；三是解决数学问题；四是用数学问题的解去解释或说明实际问题. （2）①若a≥1， 当x≥a时， f（x）=x-a-lnx， f ′（x）=1- = ≥0，则f（x）在区间[a，+∞）上是单调递增的； 当0 当0（3）由（1）可知，当a=1，x>1时，有x-1-lnx>0，即 <1- ， 则有 + +…+ <1- +1- +…+1- =n-1- + +…+ 误点警示 对于第（2）问，容易犯分类不清楚的问题，主要是对a的分类标准不清楚. 金刊提醒 不等式恒成立与不等式有解问题的区别主要在于，表述时对已知范围的变量的形容词一个是“任意的”而另一个是“存在”. 对于恒成立问题和存在性问题（即有解问题）小结如下： A≥f（x）在x∈D上恒成立，则等价于A≥f（x）max； A≤f（x）在x∈D上恒成立，则等价于A≤f（x）min； 若在区间D上存在x，使得不等式A≥f（x）成立，则等价于A≥f（x）min； 若在区间D上存在x，使得不等式A≤f（x）成立，则等价于A≤f（x）max. 3 导数应用题 （ ）必做1 如图1，实线部分是某公园设计的游客观光路线平面图，曲线部分是以AB为直径的半圆，点O为圆心，△ABD是以AB为斜边的等腰直角三角形，其中AB=2 km，∠EOA=∠FOB=2x0 图1 （1）试将y表示为x的函数； （2）试确定当x取何值时，该公园整体的“心悦效果”最佳. 破解思路 解决本题的关键是审清题意，理解“心悦效果”. 第（1）问先得到弧EF，AE，BF的长，求得DE，DF，得到y关于x的函数式；第（2）问利用导数求y的最大值. 精妙解法 （1）因为∠EOA=∠FOB=2x0 又当x∈0， 时，y′>0，所以y在0， 上单调递增；当x∈ ， 时，y′<0，所以y在 ， 上单调递减，所以当x= ，函数y有最大值，故当x= 时，该公园整体的“心悦效果”最佳. 极速突击 在利用导数求解生活中的优化问题时，常常会遇到下述情况：所给函数在给定的区间上只有一个极值点，那么这个极值点也是函数在该区间上的最值点，据此可求得函数的最值，从而使问题得以解决. 金刊提醒 解应用题时，一是要充分阅读，弄清题意；二是要正确地数学化（转化为数学问题）；三是解决数学问题；四是用数学问题的解去解释或说明实际问题. （2）①若a≥1， 当x≥a时， f（x）=x-a-lnx， f ′（x）=1- = ≥0，则f（x）在区间[a，+∞）上是单调递增的； 当0 当0（3）由（1）可知，当a=1，x>1时，有x-1-lnx>0，即 <1- ， 则有 + +…+ <1- +1- +…+1- =n-1- + +…+ 误点警示 对于第（2）问，容易犯分类不清楚的问题，主要是对a的分类标准不清楚. 金刊提醒 不等式恒成立与不等式有解问题的区别主要在于，表述时对已知范围的变量的形容词一个是“任意的”而另一个是“存在”. 对于恒成立问题和存在性问题（即有解问题）小结如下： A≥f（x）在x∈D上恒成立，则等价于A≥f（x）max； A≤f（x）在x∈D上恒成立，则等价于A≤f（x）min； 若在区间D上存在x，使得不等式A≥f（x）成立，则等价于A≥f（x）min； 若在区间D上存在x，使得不等式A≤f（x）成立，则等价于A≤f（x）max. 3 导数应用题 （ ）必做1 如图1，实线部分是某公园设计的游客观光路线平面图，曲线部分是以AB为直径的半圆，点O为圆心，△ABD是以AB为斜边的等腰直角三角形，其中AB=2 km，∠EOA=∠FOB=2x0 图1 （1）试将y表示为x的函数； （2）试确定当x取何值时，该公园整体的“心悦效果”最佳. 破解思路 解决本题的关键是审清题意，理解“心悦效果”. 第（1）问先得到弧EF，AE，BF的长，求得DE，DF，得到y关于x的函数式；第（2）问利用导数求y的最大值. 精妙解法 （1）因为∠EOA=∠FOB=2x0 又当x∈0， 时，y′>0，所以y在0， 上单调递增；当x∈ ， 时，y′<0，所以y在 ， 上单调递减，所以当x= ，函数y有最大值，故当x= 时，该公园整体的“心悦效果”最佳. 极速突击 在利用导数求解生活中的优化问题时，常常会遇到下述情况：所给函数在给定的区间上只有一个极值点，那么这个极值点也是函数在该区间上的最值点，据此可求得函数的最值，从而使问题得以解决. 金刊提醒 解应用题时，一是要充分阅读，弄清题意；二是要正确地数学化（转化为数学问题）；三是解决数学问题；四是用数学问题的解去解释或说明实际问题. |
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