标题 | 三角恒等变换 |
范文 | 章少川 本部分内容由两角和差与两倍角的正、余弦公式,正切公式组成.主要考查运算能力、公式的灵活运用能力. 在客观题中,突出考查基本公式所涉及的简单运算;解答题中以中等难度题为主,重点考查函数名称、角、关系式的变换,多数问题都会联系三角形、向量等概念进行综合考查, 重点:熟练记忆诱导公式、同角三角函数关系,两角和差的三角函数公式及二倍角公式,另外对特殊角的三角函数值应非常熟悉.培养观察能力,寻求角与角之间的联系,掌握必要的变形技巧,提高准确的解题方向. 难点:其一,如何牢固记忆众多公式;其二,如何根据三角函数的形式去选择合适的求值、化简与证明的方法. 1. 三角恒等变形的基本思路 一般从“角”“名”“结构”三方面入手. 一看“角”,这是最重要的一环,常见思路是复角变单角、一般角变特殊角、目标角变已知角;二看“函数名称”,常见的有“切化弦”“万能公式”等;三看“结构特征”,常用思路是关系式的展开与合并、次幂的转换、分式与整式的运算、角度的配凑等. 2. 三角恒等变形的基本策略 (1)齐次同除:如已知tanα=2,求的值. (2)sinα±cosα与sinα·cosα的关系,以及1±sinα=sin±cos. (3)常值代换:特别是用“1”的代换,如1=sin2θ+cos2θ=tan45°等. (4)角的配凑:如α=(α+β)-β=(α-β)+β,2α=(α+β)+(α-β),α=[(α+β)+(α-β)]. (5)互余关系:如sin+θ=cos-θ,cos-2α=sin+2α. (6)降次与升次:即倍角公式的变形,sin2α=,cos2α=,1+cosα=2cos2等. (7)引入辅助角:asinθ+bcosθ=sin(θ+φ),这里辅助角φ所在象限由a,b的符号确定,φ角的值由tanφ=确定. 值得注意的是,掌握特定类型的特别做法会在解题过程中起到事半功倍的效果,但切不可生搬硬套,一定要结合试题的具体问题做具体分析. 3. 求值题常见类型 (1)给角求值:一般所给出的角都是非特殊角,从表面来看较难,但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系. (2)给值求值:此解题关键在于“变角”,使其角相同或具有某种关系. (3)给值求角:其实质是“给值求值”,关键也是“变角”,把所求角用含已知角的式子表示,由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角. 例1 设α为锐角,若已知cosα+=,则sin2α+的值为_______. 思索 三角变换的基本策略常常是从角的关系寻找突破口:本题若从条件展开cosα+=,则也应展开所求的sin2α+,才可找出它们之间的关系,有一定难度;但若从角度关系入手,发现已知角与未知角的倍数关系,再进行拆角变换就可很快解决此题. 破解 因为α为锐角,即0<α<,所以<α+<+=. 因为cosα+=,所以sinα+=. 所以sin2α+=2sinα+·cosα+=2××=. 所以cos2α+=2cos2α+-1=. 所以sin2α+=sin2α+-=sin2α+cos-cos2α+sin=·-·=. 例2 (2014年高考重庆卷) 若已知函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,-≤φ<的图象关于直线x=对称,且图象上相邻两个最高点的距离为π. (1)求ω和φ的值; (2)若f=<α<,求cosα+的值. 思索: 问题(1)考查三角函数的图象与性质,不难求得ω和φ的值;问题(2)先把条件变形,即sinα-=,而结论要求cosα+即sinα,从角的关系寻找突破口,应进行拆角变换. 破解 (1)因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π,所以f(x)的最小正周期T=π,从而ω==2.又因为f(x)的图象关于直线x=对称,所以2×+φ=kπ+,k=0,±1,±2,….因为-≤φ<,所以φ=-. (2)由(1)及已知得f=·sin2×-=,故sinα-=.又由<α<得0<α-<,?摇 所以cosα-===.因此cosα+=sinα=sinα-+=sinα-·cos+cosα-sin=×+×=. 例3 (2014年高考天津卷)已知函数f(x)=cosx·sinx+-cos2x+,x∈R. (1)求f(x)的最小正周期. (2)求f(x)在闭区间-,上的最大值和最小值. 思索 本题是一道典型的三角函数题:一般是通过对三角函数“角、名、结构”的分析,先把函数化归为y=Asin(ωx+φ)的常见形式,才可进行函数性质研究.“降幂”变形与“辅助角”变形是最常用手法. 破解 (1)f(x)=cosx·sinx+-cos2x+=cosx·sinx+cosx-cos2x+=cosx·sinx-cos2x+=sin2x-cos2x=sin2x-.所以f(x)的最小正周期为π. (2)-≤x≤时, -≤2x-≤,所以2x-=-,即x=-时, f(x)取最小值-;所以2x-=,即x=时, f(x)取最大值. 例4 (2014年高考江西卷)已知函数f(x)=sin(x+θ)+acos(x+2θ),其中a∈R,θ∈-,. (1)当a=,θ=时,求f(x)在区间[0,π]上的最大值与最小值; (2)若f=0, f(π)=1,求a,θ的值. 思索 本题第(1)问把特殊值代入,展开变形为单一函数并结合图象可求区间[0,π]上的最值;第(2)问由两个条件得到两个关系式,要注意分析其特征才能求得两个参数的值.本题由于条件中含参数,可加条件使问题更简单化,也可改造为更综合的探究性试题或开放性试题. 破解 (1)因为a=,θ=,所以f(x)=sin(x+θ)+acos(x+2θ)=sinx++cosx+=sinx+cosx-sinx=cosx-sinx=cosx+.又0≤x≤π,所以≤x+≤,所以f(x)min= -1, f(x)max=. (2)由已知f=sin+θ+acos+2θ=cosθ-asin2θ=cosθ-2asinθcosθ=0;又θ∈-,,所以cosθ≠0,所以2asinθ=1.因为f(π)=sin(π+θ)+acos(π+2θ)=-sinθ-acos2θ=1,所以-sinθ-a(1-2sin2θ)=1,所以 -sinθ-a+2asin2θ=1,所以a=-1,所以sinθ=-. 又θ∈-,,所以θ=-. 1. 已知α∈,,sin-α= -,则cos2α=_______. 2. 化简: (1); (2)(0<θ<π). 3. 若已知0<β<<α<,且cos-α=,sin+β=,则sin(α+β)的值为_______. 4. 已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)为偶函数,且其图象上相邻最高点、最低点间的距离为. (1)求函数f(x)的表达式;?摇 (2)若已知sinα+f(α)=,据此求的值. 参考答案 1. 因为α∈,,所以-α∈-,0. 因为sin-α=-,所以cos-α=,故cos2α=sin-2α=2sin-αcos-α=2×-×=-. 2. 如下: (1)原式= ===cos2x. (2)原式=·sin-cos==. 因为0<θ<π,所以0<<,cos>0,所以原式=-cosθ. 3. cos-α=sinα+=,因为<α+<π,所以cosα+= -. 因为sin+β=,<β+<π,所以cos+β=-,所以sin(α+β)=-sinα++β+= -sinα+cosβ++cosα+·sinβ+=. 4. (1)因为f(x)为偶函数,所以可得sin(-ωx+φ)=sin(ωx+φ),即2sinωxcosφ=0恒成立,所以有cosφ=0. 又0≤φ≤π,所以φ=. 又相邻最高点、最低点间的距离为,图象上相邻对称轴之间的距离为π,所以T=2π,所以ω=1,所以f(x)=cosx. (2)因为原式===2sinαcosα,且sinα+cosα=,所以1+2sinα·cosα=,即2sinαcosα=-,故原式=-. 破解 (1)因为a=,θ=,所以f(x)=sin(x+θ)+acos(x+2θ)=sinx++cosx+=sinx+cosx-sinx=cosx-sinx=cosx+.又0≤x≤π,所以≤x+≤,所以f(x)min= -1, f(x)max=. (2)由已知f=sin+θ+acos+2θ=cosθ-asin2θ=cosθ-2asinθcosθ=0;又θ∈-,,所以cosθ≠0,所以2asinθ=1.因为f(π)=sin(π+θ)+acos(π+2θ)=-sinθ-acos2θ=1,所以-sinθ-a(1-2sin2θ)=1,所以 -sinθ-a+2asin2θ=1,所以a=-1,所以sinθ=-. 又θ∈-,,所以θ=-. 1. 已知α∈,,sin-α= -,则cos2α=_______. 2. 化简: (1); (2)(0<θ<π). 3. 若已知0<β<<α<,且cos-α=,sin+β=,则sin(α+β)的值为_______. 4. 已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)为偶函数,且其图象上相邻最高点、最低点间的距离为. (1)求函数f(x)的表达式;?摇 (2)若已知sinα+f(α)=,据此求的值. 参考答案 1. 因为α∈,,所以-α∈-,0. 因为sin-α=-,所以cos-α=,故cos2α=sin-2α=2sin-αcos-α=2×-×=-. 2. 如下: (1)原式= ===cos2x. (2)原式=·sin-cos==. 因为0<θ<π,所以0<<,cos>0,所以原式=-cosθ. 3. cos-α=sinα+=,因为<α+<π,所以cosα+= -. 因为sin+β=,<β+<π,所以cos+β=-,所以sin(α+β)=-sinα++β+= -sinα+cosβ++cosα+·sinβ+=. 4. (1)因为f(x)为偶函数,所以可得sin(-ωx+φ)=sin(ωx+φ),即2sinωxcosφ=0恒成立,所以有cosφ=0. 又0≤φ≤π,所以φ=. 又相邻最高点、最低点间的距离为,图象上相邻对称轴之间的距离为π,所以T=2π,所以ω=1,所以f(x)=cosx. (2)因为原式===2sinαcosα,且sinα+cosα=,所以1+2sinα·cosα=,即2sinαcosα=-,故原式=-. 破解 (1)因为a=,θ=,所以f(x)=sin(x+θ)+acos(x+2θ)=sinx++cosx+=sinx+cosx-sinx=cosx-sinx=cosx+.又0≤x≤π,所以≤x+≤,所以f(x)min= -1, f(x)max=. (2)由已知f=sin+θ+acos+2θ=cosθ-asin2θ=cosθ-2asinθcosθ=0;又θ∈-,,所以cosθ≠0,所以2asinθ=1.因为f(π)=sin(π+θ)+acos(π+2θ)=-sinθ-acos2θ=1,所以-sinθ-a(1-2sin2θ)=1,所以 -sinθ-a+2asin2θ=1,所以a=-1,所以sinθ=-. 又θ∈-,,所以θ=-. 1. 已知α∈,,sin-α= -,则cos2α=_______. 2. 化简: (1); (2)(0<θ<π). 3. 若已知0<β<<α<,且cos-α=,sin+β=,则sin(α+β)的值为_______. 4. 已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)为偶函数,且其图象上相邻最高点、最低点间的距离为. (1)求函数f(x)的表达式;?摇 (2)若已知sinα+f(α)=,据此求的值. 参考答案 1. 因为α∈,,所以-α∈-,0. 因为sin-α=-,所以cos-α=,故cos2α=sin-2α=2sin-αcos-α=2×-×=-. 2. 如下: (1)原式= ===cos2x. (2)原式=·sin-cos==. 因为0<θ<π,所以0<<,cos>0,所以原式=-cosθ. 3. cos-α=sinα+=,因为<α+<π,所以cosα+= -. 因为sin+β=,<β+<π,所以cos+β=-,所以sin(α+β)=-sinα++β+= -sinα+cosβ++cosα+·sinβ+=. 4. (1)因为f(x)为偶函数,所以可得sin(-ωx+φ)=sin(ωx+φ),即2sinωxcosφ=0恒成立,所以有cosφ=0. 又0≤φ≤π,所以φ=. 又相邻最高点、最低点间的距离为,图象上相邻对称轴之间的距离为π,所以T=2π,所以ω=1,所以f(x)=cosx. (2)因为原式===2sinαcosα,且sinα+cosα=,所以1+2sinα·cosα=,即2sinαcosα=-,故原式=-. |
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