《直线与圆锥曲线位置关系探究》-理学论文，数学论文-论文范文参考-科学狗论文网

标题

直线与圆锥曲线位置关系探究

范文

王宏伟

【摘要】在高中数学的直线与圆锥曲线位置关系的部分，包括椭圆、双曲线、抛物线等多种类型的数学知识点，每个类型都经常在高考数学试卷中出现，所以高中生仍需要自我勉励，努力地钻研和探究这些数学题目，从而提升高中生对直线与圆锥曲线位置关系的解题能力.

【关键词】高中数学;直线与圆锥曲线的位置关系

从近年来的高考数学试题中可以发现，越来越多地出现关于直线与圆锥曲线位置关系的数学题目，倾向于考查高中生的数形结合能力、数学推理能力，高中生在拥有多方面数学素养的情况下，才可以有效求解题目.并且，这也要求数学教师积极地应对高考数学变化，在教学工作中引导高中生学习更多的解题方法，从而有利于提升高中生的数学成绩.

一、直线与圆锥曲线的知识结构

从高中数学教材内容来看，在人教版的选修2-1中包含了关于直线与圆锥曲线的知識点，从近年来我国高考数学试卷中出现的题型来看，直线与圆锥曲线的位置关系的题目出现频率较大，所以数学教师需要对该类型题目进行深入教学.那么，从高考数学试卷中出现的该类题目种类来看，主要可以分为直线与椭圆、双曲线的位置关系等问题，这些问题既是重要的数学考点，也是高中生必学的重点知识.但是，从目前学生的做题情况来看，有些学生容易混淆彼此的概念，导致做题效果不好.因此，数学教师需要对这些数学题目仔细讲解，将往年的高考考题拿给学生钻研，从而逐渐提升高中生对直线与圆锥曲线位置关系问题的求解能力.

二、直线与圆锥曲线位置关系探究

1.直线与椭圆的位置关系

例1 （2019年浙江高考数学题）x29+y25=1的左焦点为F，点P在椭圆上，并且在x轴的上方位置，如果线段PF的中点在以原点O为圆心、|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是多少？

解法假设点F1为椭圆的右焦点，如图1所示.

从题中可以得知，OF=OM=c=2，再利用中位线定理可以求得PF1=2OM=4.如果假设点P的坐标为（x，y），就可以得出（x-2）2+y2=16，联立（x-2）2+y2=16，x29+y25=1，可得x=-32或x=212，但是由于x=212不符合该题要求，所以将其舍去，将x=-32代入椭圆方程中，从题目中可知点P在椭圆的x轴的上方位置，可得P-32，152，则kPF=15212=15，即直线PF的斜率为15.

2.直线与双曲线的位置关系

例2 （2018年天津理科高考数学题）已知双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A和B两点，假设A和B到双曲线同一条渐近线的距离分别为d1和d2，并且d1+d2=6，则双曲线的方程为（）.

A.x24-y212=1B.x212-y24=1

C.x23-y29=1D.x29-y23=1

解析从该题目可知，如果想要求解A和B的坐标位置，需要先使用点到直线距离的公式求出b的值，然后将b的值代入双曲线方程中求得a的值，这就可以得出最终的双曲线方程.所以，可以先假设双曲线的右焦点为F（c，0）（c>0），这就使得xA=xB=c，然后从题目中的双曲线方程x2a2-y2b2=1，可得y=±b2a2，这时再假设Ac，b2a，Bc，-b2a，将这两个点的坐标代入渐近线bx-ay=0中，可得d1=|bc-b2|a2+b2=bc-b2c和d2=|bc+b2|a2+b2=bc+b2c，然后可以计算d1+d2=2bcc=2b=6，即b=3，b2=9，然后将b的值代入e=ca=1+b2a2=1+9a2=2中，可得a2=3，这就可以求得最终的双曲线方程为x23-y29=1，因此C项为正确选项.

结果分析从该道题目来看，学生可以利用待定系数法进行求解，可以按照“定形—定量”的方法求出标准的双曲线方程，然后利用与渐近线的关系求得a和b的坐标值，然后将其代入渐近线bx-ay=0中，这就可以顺利地求得该段双曲线的标准方程x2a2-y2b2=λ（λ≠0），然后利用题目中的条件d1+d2=6求得λ值，从而可以最终求出正确的双曲线方程.

3.直线与抛物线的位置关系

例3 （2018年浙江高考数学题）如图2所示，已知点P为y轴左侧（不含y轴）的一点，抛物线C：y2=4x上存在两个不同的点A和B，并且满足PA和PB的中点均在C上.

（1）假设AB的中点为M，证明：PM垂直于y轴;

（2）若P是半椭圆x2+y24=1（x<0）上的动点，求△PAB面积的取值范围.

解析（1）首先，为了帮助解题，先假设三个点的坐标P（x0，y0），A14y21，y1，B14y22，y2，由于在题目中已经说明PA和PB的中点落在抛物线上，这就可以将y1和y2的值代入抛物线的方程中，可得y+y022=4×14y2+x02，而这得出的结果是y2-2y0y+8x0-y20=0的实数根，再代入可得y1+y2=2y0，这就说明线段PM与y轴是垂直关系.

（2）从第一个问题可以得方程组y1+y2=2y0，y1y2=8y0-y20，可得|PM|=18（y21+y22）-x0=34y20-3x0|PM|，|y1-y2|=22（y20-4x0），这就可以得出△PAB的面积为S△PAB=12|PM|·|y1-y2|=324（y20-4x0）32，而x20+y204=1（x0<0），这就可以得出y20-4x0=-4x20-4x0+4∈[4，5]，这就说明△PAB的取值范围是62，15104.

结果分析从该道题中直线与抛物线的位置关系可知，该道题目主要考查学生的函数转换能力，学生需要将题目中的多元函数合理地转化为一元函数，这样可以降低解题难度，并且需要学生套用抛物线公式求得实数根，以此可以判断线段PM和y轴的关系，再将关系式套用在第二个问题获得方程组，这就形成较为复杂的多元方程式，将x2+y24=1（x<0）加入后就可以得出相应的区间，这就是最终的取值范围.不过，由于该道题目涉及值域，所以还可以利用导数的方法求解.

4.弦长问题

例4 （2018年江苏高考数学题）在极坐标系中，直线l的方程为ρsinπ6-θ=2，曲线C的方程为ρ=4cos θ，求直线l被曲线C所截的弦长.

解析从题目曲线C的极坐标方程ρ=4cos θ可得出圆心为（2，0），曲线围成的圆的半径为4，当点A（4，0）经过直线l的极坐标方程ρsinπ6-θ=2时，可以获得此时的倾斜角度为π6，这就说明直线l除了与圆C相交于点A外，还有另外一个交点.那么，可以先假设该交点的坐标位置为B，则∠OAB=π6，在图3中将O点和B点连接，又由于OA是圆C的直径，这就可得∠OBA=π2，AB=4cosπ6=23，所以，最终可以求得所截的弦长为23.

结果分析从该道弦长问题的题目来看，虽然相比之前题目难度较低，但是需要學生利用数形结合、数据建模的方法画出图形，这样有助于学生边看题边解题，从而可以提升学生对弦长问题的求解能力.

5.圆锥曲线上点到直线的距离问题

例5 （2017年高考全国文科数学Ⅰ卷）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x=3cos θy=sin θ（θ为参数），直线l的参数方程为x=a=4ty=1-t（t为参数）.

（1）若a=-1，求曲线C和直线l的交点坐标;

（2）若曲线C上的点到直线l的距离的最大值为17，求a的值.

解析（1）从题目可知，如果将曲线C的参数方程转化为x29+y2=1，在a=-1的情况下，使得直线l的参数方程也可以转化为x+4y-3=0，再将两个转化后的方程联立x-4y-3=0，x29+y2=1，将其求解可得x=3，y=0或者x=-2125，y=2425，这就说明曲线C和直线l相交于（3，0）和-2125，2425两个点.

（2）从题目可知，在第一个问题中已经将直线l的参数方程转化为普通方程x+4y-a-4=0，这就可以将（3cos θ，sin θ）代入第二个问题中，可得与直线l的距离为d=|3cos θ+4sin θ-a-4|17.如果在a≥-4的情况下，可以得出最大距离为a+917，则a+917=17，这就可以得出a=8;如果在a<-4的情况下，可以得出最大距离为-a+117，则-a+117=17，这就可以得出a=-16.

结果分析从该道圆锥曲线上点到直线的距离问题来看，主要考查学生对三角函数有界性的掌握情况，需要先将题目中的参数方程转化为可以在直角坐标系中显示的普通方程，然后将曲线和直线两个方程通过联立求得交点的坐标位置，然后利用椭圆参数方程推导出点到直线的距离公式，最终通过三角函数的有界性推导出a的值.不过，虽然该部分在高中数学中属于选修内容，但是对训练和培养学生的解题能力方面具有促进作用.

6.中点弦问题

例6 （2018年高考全国文科数学Ⅲ卷）在平面直角坐标系xOy中，圆O的参数方程为x=cos θy=sin θ（θ为参数），过点（0，-2）且倾斜角为α的直线l与圆O相交于点A和点B.

（1）求α的取值范围;

（2）求AB中点P的轨迹的参数方程.

解析（1）从题目可知，圆P的参数方程可以转化为x2+y2=1，如果在α=π2的情况下，这时直线l与圆O会有两个交点，如果在α≠π2的情况下，可以让tan α=k，使得直线l的方程转变为y=kx-2，将该方程代入圆O的方程，可得21+k2<1，这就可以得到k<-1或k>1两个解，再从图像中找寻其所包含的值域，分别为α∈π4，π2和α∈π2，3π4，由此可见，最终可以求得π4，3π4为α的取值范围.

（2）从题目可知，直线l的参数方程为x=tcos αy=-2+tsin αt为参数，π4<α<3π4，假设A，B，P三点分别对应tA，tB，tP，这就可以得到tP=tA+tB2，并且tA和tB符合t2-22tsin α+1=0的条件，这就可以得到tA+tB=22sin α，tp=2sin α，再从第二个问题的题目中可知，可以利用中点P的位置关系，将tA和tB代入可得x=tpcos α，y=-2+tpsin α，即轨迹方程为x=22sin 2αy=-22-22cos 2αα为参数，π4<α<3π4.

结果分析从该道中点弦问题来看，主要考查学生灵活运用中点弦的求解方法，先将圆的参数方程转化为较为简单的二元方程，然后分别从α=π2和α≠π2的角度判断交点的数量和位置，使得可以确保α值的范围，然后需要充分利用题目中的已知条件，假设A，B，P三点，用于得出新的关系方程，再结合第一个问题就可以得出最终的轨迹方程.因此，该道题目的难度并不高，需要学生加强数学思维转换能力，从而可以提升学生对中点弦问题的解题能力.

三、结束语

综上所述，在高中数学教材中，在直线与圆锥曲线的位置关系的内容中，包含多种类型的数学题目，这就需要学生具备处理多种问题的解题能力.因此，高中数学教师需要在课堂教学中引导学生展开多种习题练习，不断积累该部分知识的解题经验，这样才能为提升解题能力打下基础.

【参考文献】

[1]鲁荣，黄凤娥.探究直线与圆锥曲线的位置关系[J].高中生学习（试题研究），2015（12）：35-37.

[2]许兴震，王雷，刘勤.直线与圆锥曲线的位置关系[J].中学数学教学参考，2016（1）：112-115.

[3]郭兴甫.直线与圆锥曲线的位置关系常见题型及求解策略[J].数学通讯，2018（21）：38-43.

随便看

科学优质学术资源、百科知识分享平台，免费提供知识科普、生活经验分享、中外学术论文、各类范文、学术文献、教学资料、学术期刊、会议、报纸、杂志、工具书等各类资源检索、在线阅读和软件app下载服务。