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标题	深入考题模型，拓展应用探析
范文	赵艳 [摘? 要] 初中数学中的“将军饮马”模型在解决线段和最值问题中有着广泛的应用. 本文从教材知识点说起，以一道考题为例，对该模型进行研究拓展，并给出线段和最值问题的教学建议. [关键词] 最值;线段;将军饮马模型;拓展;思想 从教材考点说起 “轴对称”是苏教版八年级上册的重要内容，教材中结合生活实际对该内容进行了详细的讲解，主要是为了让学生在感受图形对称美的同时理解图形变换过程中的不变关系，并能灵活运用解决实际问题. 其中该章节最为重要的知识点是轴对称的基本性质，它是后续线段垂直平分线性质定理研究的基础，也是相关几何问题研究的核心，尤其是利用其性质，结合“两点之间，线段最短”定理进行线段和最值问题的探究活动. 在近几年各地的中考中出现了众多考查该知识点的考题，如常规的平面几何题、研究线段取值的函数曲线题等. 对中考真题的探析 轴对称的性质在抛物线问题中有着一定的应用，尤其是研究线段最值时可以采用该种转化方式，依据轴对称的性质可以建立起两点直线距离的研究模型，下面探究一相关中考题. 从考题抽象模型 上述第（2）问求PO+PA取得最小值时点P的坐标，就是研究定点A，O与定直线l上动点P之间的线段最值. 对考题进行模型抽象，如图3所示，在问题解答过程中采用作对称点的方式来将关于一条直线的同侧点转化为异侧点，利用轴对称的性质来转化线段和，借助两点之间的线段最小值定理可以证明最小值的取值情况. 对模型进行深入探究可知该问题实际上就是对经典的“将军饮马”模型的变式应用，如图4模型所示，将军从山脚下的点A出发，到河流l处饮马，然后再走到营地B，试问将军应在河流的何处饮马，所走的距离才会最短. 该问题的研究采用的就是轴对称的建模方式，即作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B与l的交点就是最佳的饮马点. 虽然出题的形式有所不同，但剖析本质所用的研究模型是一致的. 对饮马模型的拓展 饮马模型是研究线段最值问题的常用模型，是关于“两定点——一定直线——一动点”的模型，是轴对称性质和“两点之间，线段最短”定理的综合应用. 对于该模型我们可以进行适度的拓展，如图5所示，l1和l2是两条定直线，点M和N分别是直线l1和l2上的两个动点，点P是一定点，即“一定点——两定直线——一两动点”模型，图5做法就为求模型中PM+MN+NP最小值的策略：过点P分别作直线l1和l2的两个对称点P″和P′，根据轴对称则有PM+MN+NP=P′M+MN+NP′=P′P″，此时线段和的最小值就为线段P′P″的长. 在历年的考题中也有对“将军饮马”拓展模型的应用. 评析? 上述考题虽然增加了条件“△PCE的面积最大”，但实际上是为了确定点P的坐标，后续依然可以转化为“将军饮马问题”，借助其拓展模型“一定点——两定直线——一两动点”，结合轴对称性质来转化求解. 该类问题的求解重在分析的过程，破除动定点之间的线段“屏障”，转化为直线上的兩点模型是关键，模型选用正确则计算量相对较小，解题效率可获得显著的提升. 教学实践建议 1. 剖析问题本质，还原考点知识 上述以抛物线为背景求解线段和的最小值，表面上属于折线之间的长度分析，但分析解题过程可以发现，该类问题背后所承载的是学生熟悉的轴对称性质和“两点之间线段最短”或“垂线段最短”定理. 问题的求解实际上就是在变化的特性中提取不变特征，将“动点”与“定点”的分析转化为“双定点”分析，最终实现“折线”转“直线”的目的. 因此，解题时要准确把握问题特征，对其进行本质剖析，还原问题考查原型，结合基本性质定理探索求解思路. 而在实际教学中则可以结合相关知识点来开展考题拓展，使学生深刻理解定理背后所隐含的内容，促进学生由“知识点”向“解题应用”的过渡. 2. 提炼问题模型，深层拓展发掘 对于函数与几何的综合题，最为关键的一步是对考题模型的提炼，即深入问题本质，从图形的特征结构等方面构建模型，然后结合相关经典模型的解答策略来完成. 如上述考题从几何线段最值问题中提炼出“动点”与“定点定直线”的研究模型，然后衔接经典的“将军饮马”模型来破解，模型提炼合理，则整个计算过程相对较为简单. 而考题的研究不应止于此，毕竟考题的形式是多样的，把握本质对模型进行适度拓展则可以确保模型的多样化，增强模型的实用性，这对于后续的问题研究有重要意义. 因此，教学中应开展模型的提炼和拓展教学，可以从简单的几何模型入手，逐步变换问题的条件，使模型呈现多样性，通过模型的分析来拓展学生的解题思维，提升解题能力. 3. 注重解题方法，发扬数学思想 上述考题的解题过程可以概括为以下三个阶段：考题模型构建、数形结合分析、等效转化求解. 即根据问题条件提炼出问题模型，然后结合相关性质定理，采用数形结合分析的方式探索，最后简单转化问题利用基本知识求解. 整个过程实际上是在解题思想的指导下进行的，如建模阶段涉及了模型思想，分析阶段涉及数形结合思想，转化阶段涉及了转化与化归思想，正是思想方法与基本知识的完美结合实现了问题的高效求解. 思想方法是数学的核心，是问题策略构建的指导思想，基于思想方法下的解题才是合理的，因此在解题教学中有必要渗透数学思想，引导学生理解思想方法的深层内涵，以数学思想为基础凝练解题策略，从而达到触类旁通的学习效果. 结束语 “将军饮马”模型实际上是轴对称性质和“两点之间，直线最短”定理的综合，结合基本模型，从基本性质定理角度来探索线段和的最值能够取得良好的学习效果. 知识点是固化的，但模型是可变的，把握问题本质开展模型的拓展学习对于解题思维的提升具有一定的帮助，上述模型的研究仅是一个典型例子，后续还需进一步挖掘.
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