网站首页  词典首页

请输入您要查询的论文:

 

标题 基于几何画板的数学探究性学习的设计与实现—《正弦定理》教学设计与评析
范文

    杜丹丹 李孝诚

    

    

    

    摘要:基于几何画板,结合数学知识本质,该文巧设问题串,构建了动态探究平台,有效激发学生的数学思维,让学生经历“抽象—猜想—证明(验证)”过程,有效建构正弦定理,积累数学活动经验。

    关键词:正弦定理;边角关系;解三角形

    中图分类号:G64 文献标识码:A 文章编号:1009-3044(2018)08-0094-02

    《正弦定理》是人教A版数学必修五第一章“解三角形”中的第1小节“正弦定理和余弦定理”的第1课时,主要包括正弦定理的探究、证明及应用等内容。“正弦定理”是对初中“解直角三角形”内容的延续,是基于已学习过的三角知识,通过对三角形边角关系的探究,揭示任意三角形边角之间的一种定量关系。除此之外,它与之后的余弦定理都是解三角形的重要工具,也是解决实际生活问题的有效工具。

    学生已经学习过平面向量与三角函数相关的内容,具有一定的观察与分析问题的能力。但新旧知识之间联系的不足,也可能使学生陷入一种思维障碍,这就需要教师恰当的引导与提示,尽量启发学生,引导他们自主地发现问题、提出问题、分析问题和解决问题。

    1发现问题,引出课题

    问题1:请同学们观察老师手中的三角板,可以看到,三角板的一个角已经破损,你们能根据已知的两个角及一边长,确定破损角的大小及破损两边的长度吗?

    追问:还有其他的方法吗?能否将这里的三角板抽象成我们熟悉的几何图形来处理?

    接下来通过操作几何画板,将实物三角板抽象转化成三角形。

    问题2:猜想在任意的三角形中都存在怎样的边角关系。

    评析:基于学生初中阶段学习过的“解直角三角形”的知识,提出问题1,让学生经历“观察和思考”的过程,利用点与线、边与角之间的关系自主解决问题。通过问题2的创设,引导学生回忆有关三角形边角关系的内容,设置思维的突破点,把本节课研究的焦点聚集到“三角形的边角关系”的问题上,从而为引出本节课题做好铺垫。

    2分析问题,探究新知

    2.1归纳发现

    問题3在任意AABC中,它的三边a,b,c与对应的三角A,B,C存在怎样的关系?

    利用几何画板改变任意△ABC的边长与角度大小,让学生观察边长与角度改变时,数值之间的联系,如图1所示。

    让学生尽可能多地归纳出三角形的边角关系,引导学生发现其中对探究本课最具有价值的边角关系。

    评析:提示学生回顾以前学习的知识,观察几何画板中边与角间数值的联系,归纳三角形的边角存在怎样的关系。引导学生想起“大边对大角,小边对小角”的边角关系,由此将三角形中的边与角联系起来,为探寻下一步的边角关系设置好突破口。

    2.2提出猜想

    在学生提出的众多的三角形的边角关系中,将“大边对大角,小边对小角”的边角关系,写成数学语言表达的形式(此处将角作为弧度制处理):

    此时,共得到以上四种关于三角形边角关系的猜想。

    评析:由三角形的对称美、和谐美,引发学生探究其数式结构是否也具有同等程度的美。将“大边对大角,小边对小角”的边角关系写成对称的等式形式,是学生需要解决的思维突破口。将猜想1作为先行组织者,引导学生通过适当的变换得到猜想2、猜想3和猜想4。

    2.3验证猜想

    问题4验证上一步中的四个猜想是否对所有的三角形都成立。

    (1)对等边三角形来说,猜想1、猜想2、猜想3、猜想4均成立;

    (2)对等腰直角三角形来说,只有猜想2成立;

    (3)对任意直角三角形来说,只有猜想2成立;

    (4)假设猜想2对于任意三角形均成立。接下来需要证明。

    首先用几何画板动画展示验证猜想2:在任意一个△ABC中,无论三个角∠A,∠B,∠C和三条边a,b,c如何变化,猜想2都成立,如图2所示。

    接下来用数学方法证明猜想2:

    ①对任意锐角三角形,证明猜想,如图3所示:

    由第1步中对直角三角形的验证猜想,将问题转化为熟悉的情境,做AB边上的垂线CD,由此可得到两个直角三角形:

    在R△ACD和Rt△ABCD中,存在一个公共的直角边CD。

    在砌ACD中,有CD=bsinA;

    在△BCD中,有CD=asinB;

    ②对任意钝角三角形来说,猜想2仍然成立,具体证明交给同学们课下完成。

    2.4得出结论

    综上,引导学生总结出正弦定理的内容:

    在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即

    一般地,把三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。

    评析:给出正弦定理的完整表述,说明解三角形的概念,便于同学们接下来利用正弦定理解三角形。

随便看

 

科学优质学术资源、百科知识分享平台,免费提供知识科普、生活经验分享、中外学术论文、各类范文、学术文献、教学资料、学术期刊、会议、报纸、杂志、工具书等各类资源检索、在线阅读和软件app下载服务。

 

Copyright © 2004-2023 puapp.net All Rights Reserved
更新时间:2025/3/14 21:41:53