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基于改进PDE的人口预测建模与仿真

范文

廖松　付鹏霖, 王哲浩　周钢

摘要：此文基于我国人口政策的变动及第五、六次人口普查数据，指出了其他人口预测模型的缺陷并采用改进PDE人口预测模型对我国人口数量和结构进行了建模和仿真。选取了2010年后的20年作为仿真的时间范围，分别在不同的人口政策导致相应生育率变化的情况下建立模型，按照月份进行迭代。得到所需人口数据并进行分析，最终获得三种政策下对应的2010-2030年人口数量变化和人口结构变化情况。

关键词：PDE模型;人口预测;生育率;死亡率;差分迭代法

中图分类号：TP24 ? ? 文献标识码：A

文章编号：1009-3044（2019）15-0266-06

Abstract： According to the changes in Chinas population policy and the data from the fifth and sixth population censuses，In this paper， the shortcomings of traditional population forecasting models are analyzed. and uses the improved PDE population forecasting model to model and simulate the population size and structure of China. The 2010-2030 is selected as the simulation interval， and the population model under the one-child policy， the individual two-child policy， and the comprehensive two-child policy is iteratively iterated monthly to obtain the required population data and analyze it， and finally adopt the proper three policies. Population size and structure changes in 2010-2030. The results show that the current policy of “individual second child” gradually transitioning to”full second child” is an ideal choice.

Key words： PDE model; population policy; fertility rate; mortality rate; difference iteration

1 引言

人口政策作為我国的基本国策之一，必须符合我国的国情民情，与环境、社会发展状况相统一[1]。几十年里，计划生育政策有效地降低了人口增长率，提升了人口素质。另一方面，与之同时而来的生育率持续走低、男女比例失调、人口老龄化严重等问题已开始影响到我国发展。为了解决上述问题，近年来我国人口政策先后经历了“独生子女”“双独二孩”“单独二孩”“全面二孩”阶段。本文在每一种人口政策下，都抽象出对应的数学模型对人口总量和年龄结构展开预测及仿真，分析了不同政策对中国人口未来变化的影响，为今后人口政策的修订提供了信息支持，具有重要研究意义。

2 人口预测模型建立

出于保证统计数据的真实性、有效性考虑，本文采用的数据都是最近两次的人口普查数据。为便于研究和仿真，本文提出以下假设：

（1）本文所采用的数据均准确、有效;

（2）本文只考虑出生、死亡对人口变化的影响，不考虑人口迁移因素;

（3）在本文提供预测的年限内，不考虑不可抗力和人为因素的干涉。

2.1 模型选取

当前，可供人口预测的模型包括线性回归模型、联合国模型、平均增长量法、指数平滑法、平均增长率法、灰色系统G-M法以及人口-发展-环境分析模型（PDE）。

上述模型和方法中，线性回归模型假定人口数量的历史趋势不变，这不符合实际。联合国模型相对于用于全国性人口的研究，更适合用于城镇/乡村人口比例的研究。平均增长率法、平均增长率法和指数平滑法的脱离实际应用环境，精准度度较低。灰色系统G-M法缺乏统计检验，同样不适合我国人口的预测[2]。

本文选取基于PDE的按月迭代，按年储存的人口-发展-环境人口预测模型来预测我国人口数量和结构的变化。

2.2 模型建立

PDE（人口-发展-环境）人口模型的核心思想是，第n年的人口是第n-1的人口经过出生、死亡、迁入和迁出等变化过程后得到的。所以，如果已知某年人口数量和该年出生率、死亡率、迁入迁出率等数据，就可以通过迭代方法得到后面每一年的人口数量。

本文采用按月迭代和按年存储的思路，即：本月人口数=上月人口数+上月出生数-上月死亡数+上月迁入-上月迁出，本月结果作为下个月的基数，再将一年12个月的数据汇总算作一年的变化，作为本年度的新出生人口。首先分别对模型内部各个参数（如生育率、死亡率、性别比等）进行合理预测分析得出数值，再根据往年人口总量进行按月迭代运算，设置仿真的时间范围，最终得到所需数据。

人口预测模型数学表达式如下：

2.3 模型参数分析

2.3.1生育率

事实上，由于出生人口的漏报，由初始始统计数据得到的总生育率严重偏低于真实水平。用人口漏报率作为一个因素，对总体的生育率进行修正，修正后，可得到精确度较高的生育率。

研究表明，2010年第六次全国人口普查漏报率为0.12%，远低于第五次全国人口普查1.81%的漏报率[3]。计入漏报率的影响，可以将生育率数学表达式修正如下：

2.3.2 独生子女政策因素

本方案假设我国维持独生子女政策不变，时间为2010-2030年。该方案与近期的人口情况最为接近，同时该方案的预测结果很可能是严重的人口老龄化，人口数量在某一年份到达峰值后会迅速减少，对未来人口政策调整具有一定的参考价值。

2.3.3单独二孩政策因素

本方案的提出背景为2013年底正式实行的“单独二孩”政策。在此政策背景下，将人口增长率分为两个阶段，第一阶段为2010-2013年，第二阶段为2014-2030年。将“独生子女”和“单独二孩”政策下的增长率分别作为第一阶段和第二阶段人口增长率。第二阶段的生育率以最近一次人口普查得到的生育率為参照，考虑“单独二孩”政策的影响，得到单独二孩政策下较为准确的生育率公式：

2.3.4 全面二孩政策

2017年，生育第二个孩子的限制彻底解除。故本方案中，将人口增长率分为三个阶段，第一阶段为2010-2013年，第二阶段为2014-2016年，第三阶段为2017-2030年。将“独生子女”“单独二孩”“全面二孩”政策下的增长率分别作为第一阶段、第二阶段和第三阶段的人口增长率。第二阶段的生育率以第六次人口普查得到的生育率为基础，第三阶段的生育率以第二阶段的生育率为基础。考虑“全面二孩”政策调整后的生育率，具体调整方案数学表达式如下：

2.3.5 死亡率

目前，死亡率预测模型包括随机死亡模型，包括APC 模型、Cairns-Blake-Dowd 模型[4]、Lee-Carter 模型[5]及其扩展模型。

Lee-Carter模型中，死亡率变化和年龄因子x和时间因子t有关。基于这样的思路可以构建函数表示时间为t年龄为x岁的人群的死亡率，其数学表达式如下：

2.3.6 性别比因素

本文对人口预测的研究涉及只出生率和死亡率，性别比是对人口数据分析得到的一个结果，对人口数量预测问题本身无影响。

2.3.7 人口迁入与迁出因素

迁移人口量相对于国内人口总量显得过于小了，可忽略不计。外国人口迁入与我国迁出不在本文考虑之列。

3 人口模型仿真

3.1 仿真设计

本文以Microsolt Visual Studio 2017为开发平台，以上述建立的人口预测模型为基础，对不同时期人口政策（包括独生子女政策、单独二孩政策以及全面二孩政策）对未来人口数量、年龄结构的影响进行仿真设计。

为了获取较高的仿真精度，迭代方案采用有限差分算法进行按月迭代。预设仿真开始年份为2010年，截止年份为2030年，后台支持仿真至2050年，但仿真结果在2035年以前的年份精确度更高。

仿真界面软件具备以下功能：

（1）选择不同人口政策，对选定人口政策下2010年至2030年前任意年份时间区间内的人口数量进行预测，显示预测后的统计数据和图表;

（2）选择不同人口政策，对选定人口政策下2010至2030年前任意年份时间区间的人口结构进行预测，显示仿真时间范围内的人口年龄结构图以及仿真截止年份的人口年龄结构的图表。

图1为仿真程序流程图。

3.2 软件功能

软件加载完毕后，进入软件运行主界面，可以看到本仿真平台的各个主要功能模块和仿真说明。本次仿真预设区间为2010-2030年，可以得到三种政策下人口特征的变化。主界面包括以下：仿真截止年份设置、人口政策选择与切换、预测数据及相应图表显示。按照程序提示，输入数据，选择功能，即可推演不同人口政策下的人口特征的演化。

3.3 仿真结果分析

3.3.1 人口数量分析

仿真得到我国2010-2030年的人口数量变化如下方的图3和表5。独生子女政策下的推演结果表明，我国人口总量将于2021年前后达到人口最高峰13.760亿，之后人口数量开始加速减少，将在2030年前后降至13.491亿;在单独二孩政策下的推演结果表明，我国的人口总量从2010-2016年缓慢增长至13.60亿，2016年起增速加快，于2020年后增速开始放缓趋于稳定增长，至2030年，将达到14.377亿;全面二孩政策下的仿真结果显示，我国的人口增长与单独二孩政策下的增长模式几乎一致，在2020年前后，人口增速继续加快并逐渐放缓，人口数量持续增加，到了2030年，将达到14.831亿。

3.3.2 人口结构分析

通过模拟三种政策下的人口变化，还能够得到我国2010-2030年在不同人口政策下的人口结构变化情况。

仿真结果说明，如果继续实行独生子女政策，2030年我国0-16岁的少年儿童占总人口的比重降至12.9%，老年人（60岁以上）的比重升至26.3%，人口结构老龄化严重。单独二孩政策下仿真结果显示，2010-2030年间我国儿童人口比重为16%-18%，比重略微下降;老年人人口比重为12%-22%，上升将近一成，老龄化现象依然凸显，但较独生子女政策下的预测比重有了明显改善。全面二孩下，即2010年后的20年，经过独生子女、单独二孩、全面二孩政策后的人口预测仿真结果显示，2010年后的20年，我国儿童人口比重由17.9%降至16.85%，在三种政策下，下降幅度是最小的;老年人人口比重增至25.5%，介于前两者。见图4、表2所示。

3.3.3 综合分析

由于本次仿真中不同政策仅会对出生率造成影响，即模型的人口变化主要反映在新出生人口上。因此，在2010-2030年间每隔5年选择0-15岁的人口数据进行对比分析，如图5所示。

由图5可知，按时间变化，单独二孩政策到全面二孩政策确实对新出生人口数量的稳定增加，从而改善人口年龄结构起到了相当重要的作用。三种政策下人口数目和构成特点各有不同，对其进行横向对比，可以得到如下結论：

（1）若继续几十年的独生子女政策，某一时间后（可以认为是2021年）我国的新生人口将发生锐减，同时老年人比重也将逐年升高，加深我国社会老龄化水平;

（2）若实行单独二孩政策，中国新生人口数量平稳增长，我国老人老龄化能够得到一定改善;

（3）若实行全面二胎政策，我国婴幼儿、少年儿童数量将增加，青壮年占人口比例将增加;

综上所述，本文认为目前实施单独二孩政策并逐步向全面二孩过渡的政策是目前较为理想的选择。

4 总结及展望

4.1 仿真平台优势

本仿真平台设置大量功能接口以便于模块化设计，平台可操作性和可观性较强;与此同时，还有部分功能接口冗余，使本仿真平台在未来具备了功能扩展的巨大潜力。

4.2 ?不足与展望

由于时间仓促，未能将人口预测模型进一步细化具体至各省市自治区，从而得到区域性人口密度等人口数据，提升人口预测分析的覆盖面和精确度。

本次仿真更多的是基于现有数据，对于环境和其他各方面扰动因素考虑不够充分，在未来会进一步做出改进。

最后衷心希望本次仿真能够为未来人口政策的修订提供一定帮助。

参考文献：

[1] 赵艳芳. 论我国实施的全面二胎人口政策[J]. 山西青年， 2016（20）.

[2]孟令国，李超令，胡广.基于PDE模型的中国人口结构预测研究[J].中国人口·资源与环境，2014，24（2）：132-141.

[3]王金营.2000 年中国第五次人口普查漏报评估及年中人口估计[J].人口研究，2003，27（5）：53-62.

[4] Cairns A，Blake D，Dowd K. A Two-factor Model for Stochastic Mortality with Parameter Uncertainty： Theory and Calibration [J].Journal of Risk and Insurance，2006，73（4）：687 -718.

[5]李志生，刘恒甲.Lee-Carter死亡率模型的估计与应用——基于中国人口数据的分析[J].中国人口科学，2010（03）：46-56，111.

【通联编辑：梁书】

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