| 标题 | 密度矩阵恢复的一种改进FPCA算法 |
| 范文 | 杨鑫刚 摘要：矩阵恢复是一项非常有意义的工作。针对量子力学中的密度矩阵，本文在近似奇异值分解基础上的不动点迭代算法（FPCA）的基础上，提出了更适合的改进算法。从数值实验来看，取得了很好的效果。 关键词：密度矩阵;矩阵恢复;FPCA算法;数值实验 中图分类号：TP311? ? ? 文献标识码：A 文章编号：1009-3044（2019）20-0289-02 开放科学（资源服务）标识码（OSID）： Abstract： Matrix recovery is a very meaningful job. Aiming at the density matrix in quantum mechanics， this paper proposes a more suitable improved algorithm based on the fixed point iterative algorithm （FPCA） based on approximate singular value decomposition. From the numerical experiments， good results have been achieved. Key words： density matrix;matrix recovery; FPCA algorithm;numerical experiment 1 引言 近年來，量子信息技术取得了突飞猛进的进展，量子科学的研究已经成为广大学者研究的热点[8， 11， 12]。密度矩阵是量子信息和量子通讯中的一个重要概念，量子力学的全部假设都可以以密度矩阵的语言描述[3]。因此，密度矩阵的研究具有重要的理论和应用意义。 从线性测量结果中恢复出密度矩阵是量子信息中的一个重要课题。对于任意一个[N]量子比特的密度矩阵，若是完全恢复它至少需要[2N]个测量才能完全恢复它。也就是说，测量设备的需求将会随着量子态的比特数成指数倍增长。这给量子态密度矩阵的恢复带来巨大困难。但是，在特殊情况（譬如密度矩阵是稀疏的）下，需要测量的个数将大大减少。关于稀疏矩阵的恢复问题，近年来，已经有不少方法出现[5-7]。他们都各自在不同的方面有效解决了某一类矩阵恢复问题，但是到目前为止，还没有一种能够很好解决所有矩阵恢复问题的方法。本文针对量子态的密度矩阵，提出一种比较先进的恢复算法，在迭代次数方面有很大改进。 矩阵恢复问题的本质是通过对目标矩阵部分元素的测量结果来恢复出目标矩阵。通过解最优化问题（1.1），绝大多数[r]阶的[n1×n2]矩阵可以很高的概率被恢复[1]： 在基追踪问题中，若是[b]被噪声污染，则约束条件[ΑX=b]必须放松，于是我们得到新问题 其中[θ]和[μ]是参数。 本文在近似奇异值分解基础上的不动点迭代（FPCA）算法[2]的基础之上，结合密度矩阵的对称性和正定性的特点，对算法做出改进，取得了较好的恢复效果。 2 近似奇异值分解基础上的不动点迭代算法（FPCA） 不动点迭代算法是式子（1.3）的一种解法。其主要迭代过程如下： 运行算法2.1，利用算法2.2来求解算法2.1的最后一行，并利用奇异值分解的近似算法[4]来计算算法2.2中的奇异值分解，就得到了求解问题（1.3）的近似奇异值分解基础上的不动点迭代（FPCA）算法。FPCA算法对于大型稀疏矩阵的恢复问题有自己的比较大的优势[2]，但是对于特殊的密度矩阵，需要对算法进行修正才能得到更好的效果。 3 改进的近似奇异值分解基础上的不动点迭代算法（改进的FPCA） 密度矩阵是迹为1的半正定轭米矩阵[10]。若是用FPCA算法来恢复矩阵，算法迭代过程中并没有保持密度矩阵的特性，这就造成了迭代次数的增加。基于文献[9]的启发，进行奇异值分解之前本文增加了矩阵的轭米化，并且用特征值分解代替奇异值分解，不但减少了算法的迭代次数而且保持了密度矩阵[X]的特性。 运行算法2.1，利用算法3.1来求解算法2.1的最后一行，并利用奇异值分解的近似算法[4]来计算算法3.1中的奇异值分解，就得到了求解问题（1.3）的改进的FPCA算法。算法的收敛性框架见参考文献[2]。 4 数值计算实例 在本节，我们将通过数值实验对近似奇异值分解基础上的不动点迭代算法（[FPCA]）和修正算法[（改进的FPCA）]进行比较。所有的实验都是在相同的工作环境下进行的。 在实验中，我们发现，对于密度矩阵而言，在精度不降低的情况下，修正算法具有较好的恢复速度（见表1和图1）。 5 结论 以FPCA算法为基础，本文提出了针对密度矩阵的改进算法。从数值计算结果来看，改进FPCA算法在保持精度的条件下，收敛速度大大提高。 参考文献： [1] M. Fazel and P.A. Parrilo B. Recht. Guaranteed Minimum-Rank Solutions of Linear Matrix Equations Via Nuclear Norm Minimization[J]. SIAM Review. 2010， 52：471-501. [2] Shiqian Ma · Donald Goldfarb · Lifeng Chen. Fixed Point and Bregman Iterative Methods for Matrix Rank Minimization[J]. Math. Program. 2009， DOI 10.1007/s10107-009-0306-5. [3] Michael A. Nielsen and Isaac L. Chuang， Quantum Computation and Quantum Information （Cambridge University Press， 2000）. [4] P. Drineas， Kannan， R.， Mahoney， M.W. Fast Monte Carlo Algorithms for Matrices Ii： Computing Low-Rank Approximations to a Matrix[J]. SIAM J. Comput. 2006， 36：158–83. [5] E. J. Candès and Z. W. Shen J. F. Cai. A Singular Value Thresholding Algorithm for Matrix Completion[J]. SIAM Journal on Optimization. 2010， 20（4）：1956-82. [6] Xingang Yang Juan Geng， Xiuyu Wang and Laisheng Wang. An Accelerated Iterative Hard Thresholding Method for Tensor Completion[J]. Journal of Interdisciplinary Mathematics. 2015， 18（3）：241-56. [7] E. J. Candès and B. Recht. Exact Matrix Completion Via Convex Optimization[J]. Foundations of Computational Mathematics. 2009， 9（6）：717-72. [8] 叢爽， 张慧，李克之. 基于压缩传感的量子状态估计算法的性能对比分析[J]. 模式识别与人工智能. 2016， 29（02）：116-21. [9] 马龙田， '对称矩阵及对称半正定矩阵重建的算法与实现' （硕士， 山西大学， 2016）. [10] 秦欣云，许道云. 密度算子的性质及其应用[J]. 贵州大学学报（自然科学版）. 2018， 35（02）：4-9. [11] 杨阳， 齐波，崔巍. 量子态估计简介及其在超导电路电动力学系统中的应用[J]. 控制理论与应用. 2017， 34（11）：1446-59. [12] 袁小虎， 吴热冰，李春文. 基于分布式压缩感知的量子过程层析[J]. 清华大学学报（自然科学版）. 2017， 57（10）：1089-95. 【通联编辑：李雅琪】 |
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