| 标题 | 再议函数值域的求法 |
| 范文 | 朱传美+++谷红 [摘 要] 函数的值域是函数知识的难点，其求法很多，不好掌握.我们知道：函数的值域只由自变量x控制，与常数无关，而函数的自变量往往都是分散的，变量分散得越厉害，值域就越难求，所以我们提出“变量集中”的解题策略，很好地解决了这一难点. [关键词] 函数值域的求法；变量集中；常量分离；等价换元 函数的值域一直是函数的主要问题，也是函数知识的难点，其求法可谓是五花八门，应有尽有，让我们很是眼花缭乱，不能很好掌握.我们知道：值域只由变量控制，与常数无关，而函数的变量往往都是分散的，变量分散越厉害，值域就越难求，所以我们可以“变量集中”思想为主线，以“常量分离”和“等价换元”两种具体方法处理函数的值域问题，该策略思路清晰，便于掌握，现举例说明于后，供参考. 例1：求函数f（x）=的值域. 解：f（x）===2+≠2， 所以函数f（x）=的值域为：{y y≠2}. 评析：此函数的分子分母均含有变量，变量不集中，而且分子、分母最高次幂相同，这里我们通过“常量分离”法达到“变量集中”的目的，从而快速解题. 变题1：求函数f（x）=的值域. 分析：此函数分子、分母的最高次幂不一样，不可以直接进行“常量分离”，此时可以先“等价换元”，再“常量分离”，以达到“变量集中”的目的. 解：设x-2=t，则x=t+2（t≠0）， 则f（x）==2t++8，易得值域为：{y y≥8+6或y≤8-6}. 变题2：求函数f（x）=的值域. 分析：这里可以先求出的值域. 解：当2x+1=0时，f（x）=0； 当2x+1≠0时，设2x+1=t，则x=（t≠0） ， ===+-，易得≥1或≤-2， 则0 -≤y≤1 . 变题3：求函数f（x）=的值域. 分析：此函数分子、分母最高次幂是相同的，所以可以先“常量分离”，再“等价换元”，即按如下步骤进行变形：f（x）===2+，以下解法同变题2，可得函数f（x）=的值域为 y ≤y≤ . 变题4：（2012年南通期末）求函数f（x）=的值域. 解：当x=0时，f（x）=0. 当x≠0时，f（x）==. 另t=x-，则f（x）===（t≠0）. 若t>0，则t+≥4，所以0 综上，可得函数f（x）=的值域为y -≤y ≤ . 评析：此题曾经难倒了不少考生，得分率很低，主要是“变量集中”的途径不太明显，不少考生只能借助导数求解，而此函数的导数的零点不太好求，不少考生只能放弃. 例2：求函数f（x）=sinx+cosx+sinxcosx的值域. 解：设sinx+cosx=t，则sinxcosx=（-≤t≤），则f（x）=t+. 由-≤t≤， 易得：函数f（x）=sinx+cosx+sinxcosx的值域为y-1≤y ≤ + . 评析：此题既有sinx又有cosx，变量较分散，所以这里借助“等價换元”让“变量集中”，在教师不讲的情况下，初学的学生是很难想到以上方法的. 变题：已知0 解： f（x）=3sin2x+sinxcosx==. 设tanx=t，因为0 易得函数f（x）=3sin2x+sinxcosx的值域为{y 0 分析：首先易得函数的定义域为：{x -1≤x≤1}，此函数含三个根号，变量很分散，必须让变量集中，不然无法解题，这里可以用“等价换元”达到这一目的. 解：易得函数的定义域为：{x -1≤x≤1}. 设t=+， 则由t2=2+2∈[2，4]?t∈[，2]， 所以f（x）=++=+t∈[，3]， 即函数f（x）=++的值域为y ≤y≤3 . 通过上述例题的分析，我们可以得到：“变量集中”是处理复杂函数值域问题的主导思想，在具体解题时，“常量分离”和“等价换元”是两种即基本又有效的方法，这一方法思路清晰，便于掌握和运用，是破解复杂函数值域的有力武器. |
| 随便看 |
|
科学优质学术资源、百科知识分享平台，免费提供知识科普、生活经验分享、中外学术论文、各类范文、学术文献、教学资料、学术期刊、会议、报纸、杂志、工具书等各类资源检索、在线阅读和软件app下载服务。