| 标题 | 一道数列不等式证明方法的深入探究 |
| 范文 | 童昌盛 [摘 要] 本文對一道数列不等式证明深入探讨，得到五种不同证法，从而开拓学生的思维，感受数学知识的联系与应用，提升学生分析问题的能力，开发学生的解题智慧. [关键词] 放缩；转化；构造 （联考试题节选）？摇证明：+++…+<（n∈N*） . 证法一：柯西不等式放缩 +++…+ <++…×（12+12+…12） =n×++…+ =n×-=， 所以+++…+<<， 故原不等式成立. 点评：联系柯西不等式，构造其形式，达到放缩目的从而可以求和得结论，可很好地考查和训练学生的知识之间的联系与应用. 证法二：构造新数列放缩 记Tn=1+++…+， 则T2n-Tn=1+++…++++…+-1+++…+ =1+++…++++…+-2+++…+ =1-+-+-+…+-. 当n≥3时，T2n-Tn<1-+-+=<=. 因为T2n-Tn=++…+， 当n=1时，左=<，当n=2时，左=+=<<， 故原不等式成立. 点评：通过本试题的结构特点，构造新的数列，把后面负数丢掉，从而放大，但要注意不能放得过大，这里可以考虑从哪一项开始放缩.这种证法能很好地培养学生的构造思想，同时也提醒在放缩过程中的放缩大小. 证法三：倒序求和与放缩 设An=+++…+， An=+++…+， 所以2An=++++…++ =（3n+1）++…+. 又（2n-k）（n+1+k）=2n（n+1）+2nk-（n+1）k-k2=2n（n+1）+（n-1）k-k2 =2n（n+1）+（n-1-k）k≥2n（n+1）， 所以<， 所以2An<（3n+1）++…+=（3n+1） =<=， 所以An<<， 故原不等式成立. 点评：这种证法是根据不等式的特点，利用倒序求和得到另一规律，从而进行放缩求和完成证明. 这种证法考查学生的观察分析能力. 证法四：定积分应用 +++…+=·++…+， 根据定积分定义得 ·++…+ 所以+++…+<. 点评：根据定积分的定义与其该不等式的结构的关系，从而进行放缩证明.这种证明方法很好地考查学生的知识间的联系及其相互应用. 证法五：数学归纳法——加强不等式 先证明不等式： +++…+<-（n≥2，n∈N*） 用数学归纳法证明 当n=2时，左边=+=<==-=右边， 所以不等式成立. 当n=k（k≥2，k∈N*）时，不等式成立，即+++…+<-，那么，n=k+1时， 左边=++…+++ <-++- <-<-， 所以当n=k+1时，不等式成立. 由上得，不等式+++…+<-（n≥2，n∈N*）成立. 显然，-<（n≥2，n∈N*）， 当n=1时，左边=<=右边， 综上，可得，+++…+<. 点评：数学归纳法中加强不等式构造也是数列不等式证明出现的一种现象，先证明一个可以用数学归纳法证明的不等式，另一个不等式-<（n≥2，n∈N*）显然成立，从而得证. 这种证法考查学生的数学归纳法的掌握深度. |
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