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标题 一道数列不等式证明方法的深入探究
范文 童昌盛
[摘 要] 本文對一道数列不等式证明深入探讨,得到五种不同证法,从而开拓学生的思维,感受数学知识的联系与应用,提升学生分析问题的能力,开发学生的解题智慧.
[关键词] 放缩;转化;构造
(联考试题节选)?摇证明:+++…+<(n∈N*) .
证法一:柯西不等式放缩
+++…+
<++…×(12+12+…12)
=n×++…+
=n×-+-+…+-
=n×-=,
所以+++…+<<,
故原不等式成立.
点评:联系柯西不等式,构造其形式,达到放缩目的从而可以求和得结论,可很好地考查和训练学生的知识之间的联系与应用.
证法二:构造新数列放缩
记Tn=1+++…+,
则T2n-Tn=1+++…++++…+-1+++…+
=1+++…++++…+-2+++…+
=1-+-+-+…+-.
当n≥3时,T2n-Tn<1-+-+=<=.
因为T2n-Tn=++…+,
当n=1时,左=<,当n=2时,左=+=<<,
故原不等式成立.
点评:通过本试题的结构特点,构造新的数列,把后面负数丢掉,从而放大,但要注意不能放得过大,这里可以考虑从哪一项开始放缩.这种证法能很好地培养学生的构造思想,同时也提醒在放缩过程中的放缩大小.
证法三:倒序求和与放缩
设An=+++…+,
An=+++…+,
所以2An=++++…++
=(3n+1)++…+.
又(2n-k)(n+1+k)=2n(n+1)+2nk-(n+1)k-k2=2n(n+1)+(n-1)k-k2
=2n(n+1)+(n-1-k)k≥2n(n+1),
所以<,
所以2An<(3n+1)++…+=(3n+1)
=<=,
所以An<<,
故原不等式成立.
点评:这种证法是根据不等式的特点,利用倒序求和得到另一规律,从而进行放缩求和完成证明. 这种证法考查学生的观察分析能力.
证法四:定积分应用
+++…+=·++…+,
根据定积分定义得
·++…+因为ln2-=<0,
所以+++…+<.
点评:根据定积分的定义与其该不等式的结构的关系,从而进行放缩证明.这种证明方法很好地考查学生的知识间的联系及其相互应用.
证法五:数学归纳法——加强不等式
先证明不等式:
+++…+<-(n≥2,n∈N*)
用数学归纳法证明
当n=2时,左边=+=<==-=右边,
所以不等式成立.
当n=k(k≥2,k∈N*)时,不等式成立,即+++…+<-,那么,n=k+1时,
左边=++…+++
<-++-
<-<-,
所以当n=k+1时,不等式成立.
由上得,不等式+++…+<-(n≥2,n∈N*)成立.
显然,-<(n≥2,n∈N*),
当n=1时,左边=<=右边,
综上,可得,+++…+<.
点评:数学归纳法中加强不等式构造也是数列不等式证明出现的一种现象,先证明一个可以用数学归纳法证明的不等式,另一个不等式-<(n≥2,n∈N*)显然成立,从而得证. 这种证法考查学生的数学归纳法的掌握深度.


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更新时间:2025/3/14 18:51:59