| 标题 | 两个简单问题与直线的参数方程 |
| 范文 | 苏克义 [摘 要] 从两个简单问题出发，着眼于学生的认知过程，引导学生自然而轻松地学习直线的参数方程. [关键词] 直线；参数方程 问题1：已知直线l的参数方程为 ？摇？摇？摇？摇？摇？摇l：x=1+■t，y=2+■t. 圆O的直角坐标方程为：x2+y2=2， 求直线和圆的两交点A，B之间的距离和线段AB中点M的坐标. 问题2：已知直线l的参数方程为 ？摇？摇？摇？摇？摇？摇l：x=1+t，y=2+t， 圆O的直角坐标方程为：x2+y2=2， 求直线和圆的两交点A，B之间的距离和线段AB中点M的坐标. 对问题1，学生甲首先想到的思路是，把l的参数方程转化为直角坐标方程：y=x+1，然后代入圆O的直角坐标方程，得2x2+2x-1=0，解得两交点的坐标为 A-■-■，■-■， B-■+■，■+■， AB=■，M-■，■. 问题2和问题1的结果完全相同. 学生乙认为AB可以用弦长公式计算. x1+x2=-1，x1x2=-■， AB=■■=■■=■. 学生丙认为AB可以用勾股定理计算. 圆心O到直线l的距离 d=■=■， 则 AB=2■=2·■=■. 学生丁认为直接用直线的参数方程可以求解. 问题1的求解：将直线l的参数方程代入圆O的直角坐标方程得 1+■t■+2+■t■=2， 即 t2+3■t+3=0， 则 ？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇 t1+t2=-3■，t1t2=3， 所以 AB=t1-t2=■=■. 线段AB中点M对应的t为 t=■=-■， 所以 x=1+■×-■=-■，y=2+■×-■=■， 所以M的坐标为：M-■，■. 问题2的求解：将直线l的参数方程代入圆O的直角坐标方程得 （1+t）2+（2+t）2=2， 即 2t2+6t+3=0， 则 t1+t2=-3，t1t2=■， 所以 AB=t1-t2=■=■. 线段AB中点M对应的t为 t=■=-■， 所以 x=1+-■=-■，y=2+-■=■， 所以M的坐标为：M-■，■. 上述解法对问题2中AB的计算出现了错误. ■引发的思考 直线的参数方程不唯一，有无数种，可划分为标准形式和一般形式. 1. 标准形式 过点M（x0，y0）且倾斜角为α的直线的标准形式参数方程为 x=x0+tcosα，y=y0+tsinα，（t为参数） 在标准形式之下，t对应直线上的点P（x，y），t1对应A点，t2对应B点，则PM=t，AB=t1-t2，线段AB的中点对应的t=■. （2） 一般形式 x=x0+at，y=y0+bt，（t為参数且a2+b2≠1） 可以将一般形式化为标准形式 x=x0+■t′，y=y0+■t′，（t′为参数） 其中t′=■×t. 设t′对应直线上的点P（x，y），t′1对应A点，t′2对应B点，则有 PM=t′=■t， AB=t′1-t′2=■t1-t2， 线段AB的中点对应的t′=■=■. 其中t′1=■×t1，t′2=■×t2， 现在对问题2用题目给出的参数方程进行正确求解：将直线l的参数方程代入圆O的直角坐标方程得 （1+t）2+（2+t）2=2， 即 2t2+6t+3=0， 则 ？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇t1+t2=-3，t1t2=■， 将直线的参数方程化为标准形式 x=1+■t′y=2+■t′ 则？摇？摇？摇？摇？摇？摇 AB=t′1-t′2=■t1-t2=■■=■. 若用直线的标准形式参数方程求线段AB中点M的坐标，则M对应的t′为 t′=■=■ = ■=-■. 所以 x=1+■×-■=-■，y=2+■×-■=■， 所以M的坐标为：M-■，■. 若用直线的一般形式参数方程求线段AB中点M的坐标，则M对应的t为 t=■=-■. 所以 x=1+-■=-■，y=2+-■=■， 所以M的坐标为：M-■，■. 通过上述分析，使学生对直线的参数方程有了清楚的认识，整个认知过程水到渠成，自然舒适. |
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