| 标题 | 探究信息技术辅助函数思想解决问题的影响 |
| 范文 | 嵇海燕 刘咏梅 [摘 要] 信息技术以势不可挡的步伐影响着数学教学，函数是高中的核心概念，函数思想是高中数学的重要思想方法，掌握函数思想对于学生解决问题具有重要的意义，充分发挥信息技术的优势辅助函数思想解决问题，提升学生的数学素养. [关键词] 信息技术；函数思想；解决问题 《国家中长期教育改革与发展规划纲要（2010—2020年）》提出：“信息技术对教育发展具有革命性的影响，必须予以高度重视.”[1]随着信息技术的发展和数学教育本身的改革和发展，信息技术融入数学教育，发挥在培养学生数学素养中的作用是必然的发展趋势.函数一直是高中教学的一个难点，也成为各类检测和考试的重点内容，函数思想是高中数学重要的思想方法. 大量教学实践表明，函数思想有利于问题的解决，教师引导学生通过做大量的题型，学生可以运用函数思想解决一些问题，然而，多数学生对函数思想掌握得不够好，对函数思想在解决问题的核心地位意识不足. 函数是对变量之间的依赖关系进行分析，分析的重要途径是函数图形，信息技术在绘制函数图像、揭示运动变化方面具有重要的优势. 因此，本文希望利用信息技术在促进函数思想解决问题方面做出一些探索. 运用函数思想解决问题过程中信息技术融入的途径 信息技术的融入可以使数学教育突显数学的发生、发展过程，展现量的直觉解释，加深理解，提升抽象思维教育的层次，[2]教师应掌握适合数学教学的信息技术，着重引导学生把注意力集中在自身的探索过程和应予以突出的教学重点上，才会最终实现优化教育效果的目标.[3] 函数思想是运动变化思想，是辩证思想，是学生问题解决的基本思想.笔者认为，函数思想的运用可以体现在对数学问题的建模，在知识的应用过程中信息技术的融入可以促进学生对函数思想的本质理解和领悟. 因此，建立以下信息技术辅助函数思想解决问题的RMI原则. 运用函数思想解决问题过程中发挥信息技术的价值所在 随着教育改革的进行，注重考查学生理性思维、应用能力、数学思想方法等多方面的能力，除此之外，对学生的数学核心素养也提出了要求，这都对教学具有很大的指导意义和实践价值. 信息技术辅助函数思想解决问题，在问题解决过程中强化对函数思想的理解，培养学生学会用发展、运动的眼光看待与处理周围的事物，并体会到世界万物之间都是普遍联系的，把握函数思想中的辩证统一，作为日后解决问题的储备能力. 1. 借助直观理解解决问题 函数是中学数学教学的重要内容，学生已学过的函数有一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等，对于高中阶段的学生要求掌握这些函数的图像与性质，从而学会应用函数的知识解决问题. 信息技术运用于函数教学的一个突出优势就是形象直观，因此，对于一些在函数教学上用传统教学手段达不到的效果可以运用信息技术辅助解决数学问题. 例1：函数y=sinπx与函数y=x-（-2≤x≤3）所有交点的横坐标之和等于__________. 思路分析：通常学生会产生直接求解方程sinπx=x-的想法，但是因无法求解而导致思维受阻.因此，在这里，为了更加直观地探索两个函数交点的个数，借助信息技术画出三角函数y=sinπx的图像，则函数的图像关于x=对称，同时作出指数类函数y=x-（-2≤x≤3）的图像也关于x=对称. 根据图像直观可知，两个函数在区间[-2，3]共有5个交点，其中一个交点在对称轴上，其余两两对称. 设对称的两个点的横坐标分别为x1，x2，则有x1+x2=1，因此，解得在区间[-2，3]所有交点的横坐标之和为. 2. 灵活运用关系 函数作为高中数学的一个核心概念，与许多数学知识都有着密切的联系. 函数与方程、不等式以及数列之间的关系是要求高中学生掌握的知识，也是考试考查的题型所在. 比如，数列是特殊的函数，在教学过程中必須让学生清楚“特殊”是指什么，对于我们解决问题有什么影响. 我们知道，等差数列的通项公式可以看成是一次函数an=dn+a1-d，对应的前n项和可以看成没有常数项的二次函数Sn=n2+a1-n；等比数列的通项公式可以看成是指数类函数an=·qn，前n项和也可以看成是指数类函数Sn=-qn+，并且对应函数的系数和常数项互为相反数，这都为学生探索问题和解决问题提供了思维方式方法. 同样，函数与方程、不等式也有着密切的联系. 为了更加深入地探究函数与它们之间的关系，借助信息技术，在数与形方面灵活运用. 例2：已知方程x=ax+1有一个负根且没有正根，则a的取值范围为______. 思路分析：此问题的解决方法有多种，比如两边平方或者直接对x分情况去绝对值法，但是如果能够进一步挖掘函数与方程的关系，研究方程根的情况，把方程问题转化为函数问题，即把方程中的两个变量化简成等式的两边，即转化为两个函数的交点问题，有助于学生理解方程与函数思想.借助信息技术准确地画出图像，根据图像特征得到问题的解答.因此，可将已知方程看成是x与a的函数关系式，则a=，即求常量函数y=a与f（x）=的交点，从而借助信息技术画出函数f（x）=的图像（如图3）得以解决，从相互联系中得出a的取值范围为（-1，+∞）. 例3：当x∈（1，2）时，不等式（x-1）2 3. 建立“形”与“数”的桥梁 函数思想对于解决不是很明显的函数问题时常常可以起到事半功倍的效果，比如在解决解析几何问题的过程中，多数是把几何问题转化成代数问题，通过引进变量，构造函数模型，借助信息技术的直观形象，让函数思想的渗透水到渠成，从而提高学生的解题思维能力. 例4：已知定点A（-1，0），B（1，0），P是圆（x-3）2+（y-4）2=4，求PA2+PB2的最值. 思路分析：通过引入变量x0，y0，观察PA2+PB2=2（x+y+1），问题可以转化为求解动点P到原点距离的最大值和最小值问题，数形结合，运用信息技术动画呈现动点P的运动情况，从而得到问题的解决. 设P（x0，y0）为圆上的任意一点，PA2+PB2=2（x+y+1）. 令z=x+y，即求z的值域. 从运动的图像（图5）中可以看出，当动点P与E点重合时，动点P与原点距离最小，zmin=9，则（PA2+PB2）min=20； 当动点P与F点重合时，动点P与原点距离最大，zmax=49，则（PA2+PB2）max=100. 4. 构造函数模型 函数作为刻画现实世界运动变化的数学模型，一直是高中的教学重点，也是考查学生的实践应用能力的基本模型. 函数模型在数学模型中应用比较广泛，很多现实生活中的实际问题可以发现是函数关系. 目前，信息技术对函数教学研究更多的是强调教师具有的专业水平和信息素养，而“教师的教更多的是为了不教”，学生初步掌握简单的信息技术自主探究实际问题和建立函数模型，在解决问题的过程中，体现数学在解决实际问题中的巨大作用和应用价值，不至于在教学过程中出现波利亚常说的“从帽子里掏出一个兔子”. 例5：（北师大版必修1-§2实际问题的函数建模）为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，积累了连续10年的观测值如下： 试估计一年最大积雪深度4 m时，下游可能灌溉面积是多少？ 思路分析：对于实际问题，学生一直以来都有一种畏惧心理，实际问题本身的复杂性和学生主动探索的空间有限可能是主要问题所在. 上述实际问题的数据不是很好处理，在教学过程中引导学生自己描点画图识别出一次函数可能有些困难，求解函数表达式可能不够精准等. 在条件允许的情况下，教学过程中引导学生借助信息技术通過描出十个点，绘制图形，能较简单、形象直观地构建出一次函数模型，并求出函数表达式为y=364.2x+140.4，可以进一步探索实际问题的变化规律. 将x=4代入y=364.2x+140.4，得到灌溉面积可能为1597.2 hm2. 结束语 信息技术只有真正融入具体的数学内容才能体现出它的教育价值.函数思想是数学的重要思想，是学生解决问题经常需要用到的思想，也是对学生以后进一步学习甚至工作生活影响较大的思想.函数思想的重要性体现在它的辩证统一，在运动与变化的过程中揭示变中不变的规律.因此，在教学实践过程中，应善于挖掘数学问题中的函数关系，借助信息技术的优势，在动态呈现这种运动与变化过程的同时，把握和深入理解函数思想的本质，能够明晰函数思想在高中数学中的作用，从而进一步培养学生的数学思维，提高学生解决问题的能力. 参考文献： [1] 教育部. 国家中长期教育改革和发展规划纲要（2010-2020年）. [2] 刘咏梅，吴立宝. 信息技术对促进数学基本思想教育的价值分析[J]. 数学教育学报，2017，26（1）：41-46. [3] 于鸿丽. 数学教师信息技术应用存在问题分析[J]. 数学通报，2014，53（4）：5-7. |
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