| 标题 | 利用好换元，解题变轻松 |
| 范文 | 彭飞 王平 [摘 要] 在高考或模拟考试试卷中，经常会出现利用基本不等式解决的最值问题，并且大多以复杂的分式形式出现. 文章主要以五种类型的分式题目为载体，深入剖析暴露题目本质的几种常见的换元方法，以达到解题变得更为轻松的目的. [关键词] 基本不等式；换元；本质；分式 基本不等式是高考重要的考点，每年必考的内容，因此在高考或模拟考试中，经常会出现利用基本不等式解决的最值问题，并且大多以分式的形式出现. 本文针对此类最值问题，与大家一起讨论它的解题策略，供参考.？摇 分母是一次，换元就变易 例1：若实数x，y满足xy+3x=3（0 解法1：因为xy+3x=3，所以得到y=. 所以，+===-1+（1）. 令35x-18=t（-18 由于t<0，故（-2t）+-≥12，所以2t+≤-12，当且仅当2t=时，即t=-3（满足题意给出的范围）取“=”，所以原题的最小值为8. 反思：本题利用了减元法思想，使题中目标函数式由两个变量减少为一个变量，使得题目更易于去处理，但是在实际计算的过程中，并没有想象中的美好. 为什么会出现这样的情况呢？主要原因是分母不够简洁，导致后期的计算量逐步增加，一不小心将会有算错的可能，这样的问题也存在于其他诸多的分式问题中. 那么如何处理才能使得计算更加简洁呢？ 先换元！通过换元的手法，将形式复杂的分母看作为一个整体，这样整个分式将变得“整洁、漂亮”. 我们通过观察本题的目标函数式+，分母都是一次形式，而且加号后面的分式分母较为复杂，故只需要将y-3看成整体，进行换元，具体解决过程如下. 解法2：令y-3=t，即y=t+3，由题意得：x（t+3）+3x=3， xt+6x=3，即为x（t+6）=3，所以得到t+6=， 因为0 注：解法1是基于思维惯性的作用下，将y转化为x，使得后续需要很强的计算能力才能解决问题；解法2通过换元后，将题意中的形式变得十分简洁，解题思路也就变得非常明朗，很显然本题应是将x转化为y更为简单易操作，由此可以看出先换元的优越性. 变式训练1：已知x，y满足xy=y+4（x>1），求+的最小值. 解：令2x-1=m，则x=，m>1， 代入xy=y+4得，（m-1）y=8，所以y=， +=+=+-≥，当且仅当m=2时，取“=”. 所以+的最小值為. 两个分式分母都复杂，全部换元，暴露本质 例2：已知实数x，y满足x>0，y>0，求+的最大值. 分析：本题的目标函数式也是分式的形式，且都是一次形式，但是两个分式的分母都比较复杂，所以在利用换元法时，就必须要引入两个参数，将两个分母看成不同的整体进行换元. 解：令4x+y=a，x+y=b，解得x=，y=，且a>0，b>0 故+=+=-+≤，当且仅当a=2b时，即2x=y时，取“=”. 注：解该题时，不能像例1那样进行减元处理，但通过换元的手法，“丑陋”的形式就会变得“漂亮”，同时题意的真面目就会暴露，应用基本不等式，一下子就可以得到最大值. 变式训练2：设正实数x，y，z满足x+2y+z=1，求+的最小值. 解：设x+y=a，y+z=b，由题意得，a+b=1，且a>0，b>0， +=+=+=++1≥2+1=7. 当且仅当b=3a时，即a=，b=时，取“=”. 条件是分式，换元一样用，“1”的代换不能忘 例3：若a>0，b>0，且+=1，求a+2b的最小值. 分析：本题与上述两种情况不一样之处在于条件是分式，且分母是一次形式，而目标函数式不是分式的形式，但解决问题的办法还是一样，思路不变，对一次形式的分母进行换元. 解：令x=2a+b，y=b+1，则解得a=，b=y-1，且+=1，x>0，y>1， 所以，a+2b=+2y-2==-=·+-=4++-≥+，当且仅当x=+1，y=时，取“=”. 注：当遇到条件也是分式时，不要担心做不出来，大胆尝试换元法，小心求解，或许会收到意想不到的效果. 当然解题时，还要注意配合使用“1”的代换这一方法. 变式训练3：已知正数x，y满足+=1，求xy的最小值. 解：令2+x=a，2+y=b，解得x=a-2，y=b-2，且a>2，b>2， 所以+=1即为+=1，所以ab=3（a+b）， 故xy=（a-2）（b-2）=ab-2（a+b）+4=a+b+4=（a+b）++4=10++≥16，当且仅当a=b=6时，取“=”，所以xy的最小值为16. 构造成分式，因式分解助力换元 例4：已知x2-2xy-3y2=1，求x2+y2的最小值. 分析：本题虽是整式的形式，但注意到x2-2xy-3y2=1的特点，可以利用“1”的代换，将目标函数式构造成分式来进行求解，即x2+y2可以转化为. 解：x2+y2==（2）. 令a=x-3y，b=x+y，解得x=，y=，且ab=1，a与b同号，即>0，>0. （2）式转化为：==++2≥，当且仅当a=b，即a2=，b2=时，取“=”，x2+y2的最小值为. 注：此题分母较为复杂，与前几题的不同之处在于分母是二次，如果直接整体换元，分子则不能顺利转化为新的未知元. 仔细观察可以发现，分母是可以因式分解为两个一次因式积的形式，实质上等价于前几题通分后的结果，特征不变，解题方法也不变，换元！ 变式训练4：设x>y≥0，z>0，向量a=（2x-3y，z-3y），b=（z+3y，x+4y），且a∥b，若不等式4x+5y≥kz恒成立，求实数k的取值范围. 解：因为a∥b，所以（2x-3y）（x+4y）=（z-3y）（z+3y）， 展开整理后得，z2=2x2+5xy-3y2=（2x-y）（x+3y）. 令a=2x-y，b=x+3y，解得x=，y=，且a>0，b>0， 因为不等式4x+5y≥kz恒成立，z>0，所以k≤，即求min. 因为=====++4≥8，当且仅当a=2b时，=8，由于x>y≥0，z>0，所以，min=2，所以k≤2. 多次换元，结合常规方法，解题很轻松 例5：若实数x，y满足2x2+xy-y2=1，求的最大值. 分析：仔细观察本题，目标函数式虽不可以因式分解处理，但条件所给出的等式可以因式分解，分解为两个一次因式，即为2x2+xy-y2=（2x-y）（x+y），这一形式符合了我们此处解题的特征，亦可以采用换元的思想解决问题. 解：令2x-y=m，x+y=n，解得x=，y=，且mn=1. 所以，=. 因为要求的最大值，所以m>n. 再令m-n=t，t>0，平方后得，m2+n2=t2+2，所以，=，分子分母同时除以t，=≤，当且仅当t=时，即x-2y=时取“=”，故的最大值为. 注：高考试题或模拟试题，往往具有很强的综合性，我们大家在解题时，应抓住题目的特征，靈活、多次应用换元法，从而降低试题运算的次数与难度，以提高解题的效率. 变式训练5：已知x，y满足y<2x-2，y>-1，且2xy-y+2x=2，求的最小值. 解：2xy-y+2x=2可变形为（2x-1）（y+1）=1. 设2x-1=a，y+1=b，解得x=，y=b-1，且ab=1. 因为x，y满足y<2x-2，y>-1，所以a>0，b>0， 故=（3）. 再设a-b=m，平方得a2+b2=m2+2，其中m>0， 代入（3）得==m+≥6，当且仅当m=3，即当x=，y=时取“=”，所以的最小值为6. 我们大家在利用换元法解决此类问题时，要牢牢抓住此类题目的特征，灵活运用减元消元的思想、因式分解、除法手段、“1”的代换等多种手段，来对题目进行转化，从而将复杂形式“漂亮”化，题目的本质必将暴露无疑，解题思路将会柳暗花明，解题也就水到渠成. |
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