| 标题 | 用换元法证明不等式 |
| 范文 | 王炜 [摘 要] 《二十六个优美不等式》（安振平）提出了26个优美不等式，《“柯西不等式”引领不等式证明》（程汉波、杨春波）给出了第23个优美不等式的证明，并做了引申性探究. 文章将给出第23个优美不等式的另外一种证法，并给予推广. [关键词] 优美不等式；证明；推广 《二十六个优美不等式》（安振平）提出了26个优美不等式，《“柯西不等式”引领不等式证明》（程汉波、杨春波）给出了第23个优美不等式的证明，并做了引申性探究，下面本文将给出第23个优美不等式的另外一种证法，并给予推广. 问题（第23个优美不等式）在△ABC中，求证： ++≥ 证明：设？摇++=s， 则=，=， =，其中bi>0（i=1，2，3）， 所以1-sinAsinB=，1-sinBsinC=， 1-sinCsinA=，3-（sinA·sinB+sinBsinC+sinCsinA）=. 在△ABC中，有sinAsinB+sinBsinC+sinCsinA=，其中p，R，r分别为△ABC的半周长、外接圆的半径、内切圆的半径. 由熟知不等式知p2≤R2，R≥2r， 所以sinAsinB+sinBsinC+sinCsinA≤=， 等号成立当且仅当A=B=C=，所以3-（sinAsinB+sinBsinC+sinCsinA）≥， 所以s3≥（1）. 要使不等式（1）对bi>0（i=1，2，3）恒成立，必须有s3≥max·. 又由幂平均不等式知≥， 所以≤9，所以s3≥×9，即s≥， 故 ++≥. 等号成立当且仅当A=B=C=. 推广：在△ABC中，n∈N*，求证：++≥·，等号成立当且仅当A=B=C=. 证明：设s=++（n∈N+）， 则=，=， =，其中bi>0（i=1，2，3）. 所以1-sinAsinB=，1-sinBsinC=， 1-sinCsinA=， 所以3-（sinAsinB+sinBsinC+sinCsinA）=. 在△ABC中，有sinAsinB+sinBsinC+sinCsinA=，其中p，R，r分别是△ABC的半周长、外接圆的半径、内切圆的半径， 由熟知不等式知p2≤R2，R≥2r， 所以sinAsinB+sinBsinC+sinCsinA≤=， 等號成立当且仅当A=B=C=. 所以3-（sinAsinB+sinBsinC+sinCsinA）≥， 所以sn≥·（2）. 要使不等式（2）对于bi>0（i=1，2，3），n∈N+恒成立，必须有 sn≥max·. 又由幂平均不等式知≥，所以≤3n-1， 所以sn≥×3n-1， 即s≥， 故 ++≥， 等号成立当且仅当A=B=C=. 在《“柯西不等式”引领不等式证明》中，提出问题5：在△ABC中，设n∈N+且n≥4，求证：∑>2，其中∑表示循环和. 其实比问题5更强命题是：在△ABC中，设n∈N+且n≥4，求证： ∑≥>2. 事实上，当n=1时，在△ABC中，求证：∑（1-sinAsinB）≥； 当n=2时，在△ABC中，求证：∑≥； 当n≥4时，在△ABC中，求证：∑≥； 当n=3时，在△ABC中，n∈N+，求证：Σ≥>2. 因为>2×2n-2>2n>2n>4. 因为n≥4，≥=>4， 故原不等式成立. |
| 随便看 |
|
科学优质学术资源、百科知识分享平台，免费提供知识科普、生活经验分享、中外学术论文、各类范文、学术文献、教学资料、学术期刊、会议、报纸、杂志、工具书等各类资源检索、在线阅读和软件app下载服务。