| 标题 | 一种用于线性阵列综合的改进遗传算法 |
| 范文 | 董建刚,王新宽 摘? 要： 为了提高阵列综合收敛速度，实现目标函数局部最优，分析了现有的遗传算法存在的不足，提出了一种应用于线性阵列综合的改进遗传算法。该算法根据现有算法对实数编码搜索能力不强，容易陷于局部最优解的缺陷，提出了能够增强个体寻优范围的搜索方案，以跳出局部最优解，是解决问题的有效途径。仿真结果表明，改进后的算法能够使目标函数迅速跳出局部最优解，收敛速度至少增加了2～10倍。 关键词： 遗传算法； 阵列综合； 局部最优； 收敛速度 中图分类号： TN955?34??????????????????????? 文献标识码： A??????????????????????? 文章编号： 1004?373X（2014）23?0062?04 Abstract： In order to improve the convergence speed and the target array synthesis function of local optimum， the deficiencies of the existing genetic algorithm are analyzed， and a modified genetic algorithm for synthesis of linear arrays is proposed in this paper because the existing genetic algorithm is easy to occur the local convergence when it conducts the synthesis of linear arrays. A search scheme to enhance the scope of individual search program so as to jump out of the local optimal solution is proposed in consideration of the problems that the existing algorithms are not strong in real?coded search capability and is easy to trap in the local optima solution. It′s an effective way to solve the problem. Simulation results show that the modified algorithm can make the object function jump out of local optimum solution rapidly， and the convergence speed is substantially increased by at least 2～10 times， comparing with the origin method. Keywords： genetic algorithm； array synthesis； local optimum； convergence speed 0? 引? 言 阵列综合是通过设计天线阵元的激励电流幅度、相位和阵元位置等来实现要求的方向图，其本质是一个非线性优化问题。遗传算法是模拟生物在自然界中的遗传和变异而形成的一种全局优化算法[1]，广泛地应用于天线阵综合问题[2?7]。 在遗传算法中，交叉算子和变异算子是产生新个体的原因，其中交叉算子的好坏对算法的搜索能力和收敛速度有着关键性的影响。因此，寻找优异的交叉算子，改善遗传算法的局部搜索能力，是保证算法快速收敛的重要途径。本文在已有的用于阵列天线综合的遗传算法[8]基础上，引入了一种改进的交叉算子，并结合电流振幅的扩展操作对已有算法进行改进，以实现线性阵列天线方向图的快速综合。仿真结果表明，与已有算法相比，改进后的算法能够有效避免早熟现象，较大程度地降低了天线方向图的最大旁瓣电平；并且，算法的收敛速度至少提高了2～10倍。 1? 线阵综合基本理论 对于一个阵元数为[N，]阵元各向同性的线性阵列，若不考虑阵元之间的耦合，其远场方向图为[9?10]： [E（?）=n=0N-1Inexp[j（nψ+δn）]]?? （1） 式中：[In]和[δn]分别为第[n]个阵元的激励幅度和相位；[ψ=kdcos（φ），][d]是阵元间距，[k]是波数，[φ]是从阵列轴线算起的扫描角。假定[N]为偶数，相位、振幅均对称分布，则有： [In=IN-n-1，δn=δN-n-1] （2） [E（?）=n=0N2-1In{exp[j（nψ+δn）]+exp（j[（N-n-1）ψ+δN-n-1]）}]? （3） 利用欧拉公式，把式（3）中的实部和虚部分别结合起来，再采用三角函数的和差化积公式得到： [E（?）=2n=0N/2-1IncosN-2n-12ψexpjN-12ψ+δn+δN-n-12]? （4） 考虑一个阵元相位为零的边射阵，可以将式（4）表示成以分贝表示的归一化阵列方向图： [F1（?）=20lg n=0N/2-1IncosN-2n-12kdcos?n=0N/2-1In]? （5） 同样，若阵元因子为[sin?，]电流振幅不变，仅考虑相位变化，则可得到以分贝表示的唯相位分布的阵列方向图： [F2（?）=20lg sin?n=0N/2-1exp（jδn）cosN-2n-12ψn=0N/2-1exp（jδn）] （6） 最大旁瓣电平[MSLL]表示为： [MSLL=max{Fm（?）?∈S}] （7） 式中：[max]为求最大值的函数；[m∈]{1，2}；[S]表示方向图的旁瓣区域。如果希望[MSLL]接近某一数值[SLVL]的同时，在[Nn]个方向[?i]（[i=1，2，…，Nn]）能产生电平为[NLVL]的零陷，则目标函数可以表示为： [f=αMSLL-SLVL+βmax{Fm（?i）}-NLVL， i=1，2，…，Nn]? （8） 式中：[α，][β]分别为权系数，这里取[α=0.8，][β=0.2。]由式（8）可知，目标函数越小，越接近最优解，目标函数为0 dB时，达到期望的结果。 2? 基于实数编码的改进遗传算法 2.1? 文献中的算法步骤[8] （1） 编码方式：采用实数编码方式，直接将待求变量依次排列构成染色体； （2） 选择算子：采用基于排序的选择机制，并定义序号[i]对应的染色体[Vi]被选中的概率[pi]如式（9）所示，使得序号越小，染色体越优。种群规模选为50，然后通过轮盘赌法选择染色体。 [pi=1popsize+α（gen）popsize+1-2ipopsize（popsize+1）] （9） （3） 交叉算子：设[ρ]为（0，1）中的随机数，随机配对的两个父代个体为[V1，][V2，]则子代个体[V′1，][V′2]为： [V′1=ρV1+（1-ρ）V2V′2=ρV2+（1-ρ）V1] （10） 如果两个子代属于可行集， 则用它们替换其父代；否则， 重新产生新的随机数[ρ，]重复式（10）的操作， 直到得到可行的后代或循环到给定的次数为止。为了防止参与交叉的染色体相同，采用避同交叉方式。 （4） 变异算子：以变异概率[pm]随机地选择待变异的个体基因[V′i，]然后在[Rn]中随机选择变异方向[D，] 给定一正数[M，]按下式进行变异操作，产生的变异基因[V″i]为： [V″i=V′i+M?D] （11） 式中[M]的选取如式（12）所示[8]： [M=fiavg? f1-genmaxgen] （12） 根据式（11），如果[V″i]属于可行集， 则用它替代[V′i；]否则，置[M]为[0～M]之间的随机数，重新进行变异，直到满足可行集或达到给定的循环次数为止。然后采取精英策略，把迄今为止的最佳个体保留下来作为进化结束时的最佳结果。 2.2? 对现有算法的改进及理论分析 由于现有算法的实数编码搜索能力不强，容易陷于局部最优解。因此，寻求能够增强个体寻优范围的搜索方案，跳出局部最优解，是解决问题的有效途径。基于此思想，本文对上述算法做了如下改进： （1） 交叉算子的改进，对式（10）进行变形： [V′1=ρ（V1-V2）+V2V′2=ρ（V2-V1）+V1] （13） 根据式（13），令[Δv=ρ（V1-V2）。]若[（V1-V2）]趋近于零，或者[ρ]趋近于零，或者[ρ]和[（V1-V2）]都是一个比零稍大的小量，这三种情况都能造成[Δv≈0]，从而[V′1≈V2，][V′2≈V1，]使得产生的子代个体几乎和父代相同，进而无法产生新的个体，或者产生的新个体和父代个体性状过于相似，不利于进化。为了解决这个问题，可以尝试扩大随机数[ρ]的取值范围，以期使得[Δv]能以更小的概率趋向于零值。设定[ρ]取分段不连续区间上的均匀随机数，表示为： [ρ=3.8?rand， gen<；Max gen22.6?rand， Max gen2≤gen<；2?Max gen31.8?rand， gen≥2?Max gen3 ] （14） 式中：[rand]代表（0，1）之间均匀分布的随机数；gen为当前进化代数；[Max gen]为最大进化代数。当产生的子代个体超出染色体的可行集时，子代就取原来父代的值。 从式（14）可以看出，当进化代数较小时，随机数范围取大一些有助于扩大搜索范围，避免陷入局部最优解；当进化代数较大时，个体之间的差异相对减小，适当缩小随机数范围以加快收敛。 （2） 对振幅的扩大操作：通常进行阵列方向图优化时，习惯将电流激励幅度设定为（0，1）范围内的随机数。从式（5）可以看出，电流振幅同时增大或缩小N倍，阵列方向图不变。在本文的计算中，振幅的初始取值范围仍然设定在（0，1）之间，但在优化过程中，将振幅范围扩大至（0，20）之间的随机数，最终输出结果时再将振幅除以扩大的倍数20即可。这样做的好处是扩展了变异操作中个体的搜索范围。具体的分析如下： 若个体中的某一基因位[x]满足[x∈]（0，1），根据式（11），令[Δx=M?D，]若[x]满足变异条件，则有： [x=x+Δx] （15） 假定[x=0.9，][Δx]=0.2，则[x]值超出可行集，根据本文的算法，需要重置[M]值以得到新的[Δx]值。若经过一定次数的迭代后，[Δx]的值仍然大于0.1，比如[Δx]=0.15，造成[x]的值仍然超出可行集，则放弃变异。然而，如果把[x]的初值范围扩大20倍，则此次变异的基因[x]相应的扩大至18.0，经过变异操作，[x]取得新值18.2，满足可行集（0，20），最终得到的染色体需要再缩小20倍，得到[x]=0.91，满足[x∈]（0，1）的要求。由此可见，振幅扩大一定的倍数后，在原来变异操作中超出可行集的部分基因位会重新进入可行集，从而扩大了变异算子的寻优范围，有利于跳出局部最优值。 3? 仿真结果及分析 设定阵列单元数[N=20，]阵列间距[d=λ2，]方向图主瓣波束宽度为[20°]，各阵元的初始电流幅度满足[In∈]（0，1），[n=0，1，2，…，N2-1。] 例1：令SLVL=-35 dB，NLVL=-80 dB，方向图在70°方向生成一个零点，为了和文献[8]中的参数符合，这里取[In∈]（0，10）。计算得到的最大旁瓣电平为-34.998 dB，零点深度为-80.00 dB，结果如图1（a）所示。图中虚线是文献[8]中的结果，实线是改进后的算法得到的结果。图1（b）描述了使用改进后算法计算得到的目标函数值的进化情况。从图中可以看出，改进后的算法只需要280代的进化，就达到了期望值，而文献[8]中的算法则需要大约580代的进化。并且，在主瓣和第一副瓣相同的情况下，前者比后者所得到的方向图次级旁瓣电平更低。 例2：令SLVL=-40 dB，NLVL=-90 dB，方向图在64°，70°和76°三个方向形成零点，计算结果如图2（a）所示。其中虚线代表文献[8]中的算法得到的结果，实线代表改进后的算法得到的结果。可以看出，利用文献[8]中的算法经过20 000代进化后陷入局部最优值，此后进化基本停止，既使进化到80 000代，目标函数仍无法跳出局部最优值。而改进后的算法只需进化到7 500代就基本达到了要求，综合得到的最大旁瓣电平为-38.85 dB，最高零陷为-89.99 dB。图2（b）给出了4种情况下目标函数值的进化曲线，分别为： ① 文献中的方法； ② 仅改进振幅的操作，把振幅范围从（0，1）扩展至（0，20）； ③ 仅改进交叉算子； ④ 本文改进的算法，也就是既改进交叉算子，又把振幅范围扩展至（0，20）。 从图2（b）中可以看出，①～③三种情况下分别进化到20 000代、28 000代、5 000代后，均陷入局部最优值。而④情况下只需要7 500代就进化到了期望值。比较这四种情形可以看出，前两种情况下目标函数在偏离目标值很远的地方陷入无法收敛的状况；第三种情况虽然比前两种情况改善了许多，但距离目标值仍然较远，无法收敛；第四种情况则实现了目标函数值的快速收敛，并且所得到的天线方向图的旁瓣电平有了很大的降低。因此，可以看出，仅采用扩大振幅的操作来加速收敛所起到的作用很小，而采用改进的交叉算子后则效果明显。如果两者同时采用，目标函数则会迅速收敛到期望的结果。 <；E：＼2014年23期＼2014年23期＼Image＼15t1.tif>； 图1 改进前后的归一化阵列方向图及 目标函数值的进化曲线图 例3：令SLVL=-38 dB，NLVL=-85 dB，方向图在23.5°，36.4°，43.4°，50.4°，55°，64.8°，69.8°，75.6°八个方向形成零点，计算结果如图3所示。图3（a）中虚线代表采用文献[8]中的算法得到的结果，实线代表改进后的算法得到的结果。可以看出，利用文献[8]中的算法经过41 300代进化后陷入局部最优值，之后进化基本停止，既使进化到80 000代，仍无法跳出局部最优值，得到的结果远没有达到目标要求。而改进后的算法只需进化到4 900代就达到了要求，综合得到的最大旁瓣电平为-37.92 dB，最高零陷为-85.00 dB。 同例2中的分析一样，从图3（b）可以看出，①，②情况下分别进化到41 340代、40 840代后，进化基本停止，既使进化到80 000代，仍无法跳出局部最优值。③ 情况下收敛缓慢，进化到80 000代时，目标函数值为1.77 dB，已经接近目标值0 dB。④ 情况下只需要4 900代就达到了要求。通过比较可以看出，仅采用扩大振幅的操作来加速收敛所起到的作用较小，而采用改进的交叉算子则效果明显。如果既扩大振幅范围，又改进交叉算子，则可以使得目标函数迅速收敛到期望的结果。 <；E：＼2014年23期＼2014年23期＼Image＼15t2.tif>； 图2 改进前后的归一化方向图及目标函数值的进化曲线图 <；E：＼2014年23期＼2014年23期＼Image＼15t3.tif>； 图3 改进前后的归一化方向图及目标函数值的进化曲线图 为了进一步探求改进算法的适用性，利用式（6）优化了唯相位分布的、非各向同性阵元的线阵方向图，假定在64°，70°方向形成零陷，结果如图4所示。由于相位扩大操作会改变函数值，因此，这里仅改进了交叉算子。图4中虚线代表文献[11]中的结果，实线代表本文算法得到的优化结果。从图4（a）可以看出，运用改进后的算法得到的方向图的最大旁瓣为-15.01 dB，最高零陷为-54.76 dB，比文献[11]中分别低2.53 dB、4.96 dB，并且主瓣波束宽度几乎没有变化。从图4（b）可以看出，利用改进后的算法，仅需要850代进化就达到了要求，因此本文算法同样可高效地应用于阵列天线方向图的唯相位综合上。 <；E：＼2014年23期＼2014年23期＼Image＼15t4.tif>； 图4 改进前后的归一化方向图及目标函数值的进化曲线图 4? 结? 语 本文利用一种改进的遗传算法分别进行线性阵列天线方向图的唯振幅和唯相位综合，数值仿真结果表明该算法能够很好地克服原来算法的早熟现象，并使算法的收敛速度提高了2～10倍以上，表明本文算法是一种较为高效的阵列方向图综合算法。 参考文献 [1] 周明，孙树栋.遗传算法原理及应用[M].北京：国防工业出版社，1999. 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