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标题 贯穿数学中的逻辑思维
范文

    刘诚 杨梦婷

    【摘要】 在我们做数学题的过程当中,无处不体现着逻辑思维的美.大多数学生一遇到数学就头疼,尤其是对于数学中的证明题,认为它们套路深一遇到就无从下手,其实归根结底就是没有弄清里面的逻辑关系,那些都是有章可循的,下面我将通过高等数学中的例子来进行分析,如何去思考数学.

    【关键词】 逻辑思维;思考;罗尔定理;泰勒

    例1 设f(x)可导,g(x)连续,证明:在f(x)的两个零点之间一定有f′(x)-kf(x)g(x)的零点.

    思路点拨 首先,我们知道f(x)有两个零点x1和x2,假设x1

    证明 不妨假设x1

    例2 設f(x)在区间(A,B)内存在二阶导数,且f″(x)<0试证明:对于(A,B)内的两个不同的x1与x2以及满足s+t=1,0sf(x1)+tf(x2).

    思路点拨 题目给出了f″(x)存在以及有一定的符号,那么我们很容易联想到将F(x)用泰勒公式展开,假设F(x)在x0处展开然后,看我们要证明的是f(sx1+tx2)>sf(x1)+tf(x2)(s+t=1),我们把F(x)展开二次项后可以分别令x=x1,x=x2,然后两式相加,最后,令x0=sx1+tx2,那么我们的式子中就含有了f(sx1+tx2),sf(x1),tf(x2),那么我们一定可以利用等式转化为我们想要的不等式,因为题目给我们是一个正确的不等式,那么如果我们能推出一个等式中含有相应的那些项,就一定能根据条件放缩成所需要的不等式,下面给出证明.

    证明 将f(x)在某点x=x0处按拉格朗日余项泰勒公式展开:

    结 语

    数学是一门讲究逻辑思维的学科,重在分析思路,在这里只是简单举几个例子,其实在做数学题当中我们有时看答案那么长,实际上里面有着很清晰的逻辑思维,绝对不是分离的.数学中的逻辑思维贯穿于其他理学科,就拿工科来说,有好多公式都是由经验得来的,或者大量的统计规律得来的,在得出经验公式的时候我们就会面临这样一个问题,怎样统计呢?首先,要利用我们的经验预测因变量跟哪些自变量有关,然后,再想因变量和自变量之间成正比还是反比的关系等等,这样就不会大海捞针,数学是一门培养逻辑思维的科目,它应用于我们生活中各处.

    【参考文献】

    [1]林六十,等.数学教育改革的现状与发展[M].武昌:华中理工大学出版社,1997.

    [2]吴洁.大学数学竞赛教程[M].武汉:华中科技大学出版社,2014.

    [3]同济大学数学教研室.高等数学[M].北京:高等教育出版社,1988.

    [4]朱弘毅.高等数学[M].上海:上海科学技术出版社,2001.

    [5]廖玉麟,等.高等数学试题精选题解[M].武汉:华中科技大学出版社,2001.

    

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更新时间:2025/3/14 20:54:02