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标题 “平面与平面垂直”教学设计
范文

    蒋颉

    

    一、课程分析

    平面与平面垂直关系是线线垂直、线面垂直、面面垂直关系中的最高层次.通过线面垂直转化为面面垂直,是一种判定两平面垂直的重要方法;利用平面与平面垂直的性质可以证明线面垂直,也是做平面垂线的重要方法,因此,线线垂直、线面垂直、面面垂直这三者之间的关系非常密切,可以相互转化,本节的学习在高中数学学习中有着极其重要的地位.

    二、设计思路

    本课为新授课,积极践行新课程理念,学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习,高中数学课程应倡导自主探究、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式.学生的学习过程要成为在教师引导下的“再创造”过程,教师应充当指导者、合作者、组织者、促进者和助手的角色,与学生共同经历知识探究的过程,使学生以探索者、研究者的身份,动脑思、动手做、动眼看、动口议、动笔写、动耳听、动情读,全身心地参与学习活动.

    根据本节课的特点,教师挖掘教材中的探究点,创设恰当的问题情境,形成师生、生生之间多向的讨论、交流与合作,以设疑、激疑、导疑、释疑来激发学生学习的情意.

    遵循“探索—研究—运用”即“观察—思维—迁移”的三个层次要素,教师“诱”在点上,学生动脑思,动手做.由文字语言到图形语言再到符号语言,使学生由感性认识上升到理性认识,整个教学过程遵循“直观感知—操作确认—归纳总结”的认知规律,注重发展学生的合情推理能力,降低几何证明的难度.

    三、教学目标

    (一)知识技能

    1.能归纳出平面与平面垂直的判定定理及性质定理,并证明定理;

    2.通过对两个平面垂直的判定定理和性质定理的作用的挖掘,进一步体会线线垂直与线面垂直的密切关系,从而从更高的角度把握空间直线与平面的位置关系.

    (二)情感、态度与价值观

    通过本节学习,培养学生观察、归纳、猜想、证明的科学思维方式及辩证思维能力,体验成功的愉悦感受,增强数学应用意识,增强积极主动的探究意识,培养创新精神.

    四、重点、难点

    教学重点:平面與平面垂直判定定理及性质定理的理解及推导.

    教学难点:平面与平面垂直的判定定理及性质定理的掌握及应用.

    五、教学流程

    (一)情境导入,直观感知

    1.创设情境,温故求新.

    【课件投影】

    请回忆平面与平面垂直的定义.

    如果两个平面所成的二面角是直角,就说这两个平面互相垂直.

    2.实践经验,直观感知

    通过教师引导学生观察门总是与地面垂直的事实,学生能发现面面垂直的判定定理,能用文字语言叙述判定定理,但不够严谨,默读面面垂直的判定定理.

    (二)归纳研究,深化定理

    1.实践确认面面垂直的判定定理.

    (1)形成定理.

    两个平面垂直的判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.

    (2)定理证明.

    已知:AB⊥β,ABα(图1).求证:α⊥β.

    证明:设α∩β=CD,则由ABα知,AB、CD共面.

    ∵AB⊥β,CDβ,∴AB⊥CD,垂足为点B.

    在平面β内过点B作直线BE⊥CD,则∠ABE是二面角α-CD-β是直二面角.

    ∴α⊥β.

    (3)应用举例.

    例1如图2,已知AB是圆O的直径,PA垂直于圆O所在的平面,C是圆周上不同于A,B的任一点,求证:平面PAC⊥平面PBC.

    证明∵AB是圆O的直径,∴AC⊥BC,

    又∵PA垂直于⊙O所在的平面,∴PA⊥BC,

    ∴BC⊥平面PAC,又BC在平面PBC内,

    所以,平面PAC⊥平面PBC.

    说明:由于平面PAC与平面PBC相交于PC,所以如果平面PAC⊥平面PBC,则在平面PBC中,垂直于PC的直线一定垂直于平面PAC,这是寻找两个平面的垂线的常用方法.

    2.实践确认两个平面垂直的性质.

    (1)形成定理.

    由线面垂直可以得到面面垂直,那反之由面面垂直可否得到线面垂直,通过引导学生动手操作,学生能发现面面垂直的性质定理,能用文字语言叙述性质定理.

    (2)定理证明.

    如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.

    已知:如图3,α⊥β,ABα,AB⊥CD,α∩β=CD,求证:AB⊥β.

    分析:在β内作BE⊥CD.

    要证AB⊥β,只需证AB垂直于β内的两条相交直线就行,而我们已经有AB⊥CD,只需寻求另一条就够了,而我们还有α⊥β这个条件没使用,由α⊥β定义,则∠ABE为直角,即有AB⊥BE,也就有AB⊥β,问题也就得到解决.可由学生写出证明过程.

    图3

    图4

    (3)应用举例.

    例2如图4,已知AB是圆O的直径,PA垂直于圆O所在的平面,C是圆周上不同于A,B的任一点,求证:

    (1)平面PAC⊥平面PBC.

    (2)若PA=AC=BC,求AB和平面PBC所成的角.

    解过A作AD⊥PC于D,连接BD.

    由(1)平面PAC⊥平面PBC,∴AD⊥平面PBC,

    ∴∠ABC即为线AB与平面PBC所成线面角.

    设PA=AC=BC=a.

    在Rt△PAC中,AD=22a,

    在Rt△ABC中,AB=2a,

    ∴∠ABC=30°.

    (三)学以致用,应用定理

    练习已知直线PA垂直正方形ABCD所在的平面,A为垂足.求证:平面PAC

    Symbol^A@ 平面PBD.

    (证明过程略)

    (四)总结反思,升华提高

    1.面面垂直的判定和性质.

    2.证明面面垂直的方法.

    (1)证明二面角为直角;

    (2)用面面垂直的判定定理.

    3.面面垂直线面垂直.

    (五)布置作业

    P52页6、7、8.

    (六)课后反思

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更新时间:2025/3/22 4:13:12