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标题 向量组线性相关性的探讨
范文

    韦娜娜

    

    【摘要】向量组的线性相关性是线性代数课程中的重要知识点,本文以下列三类题型对此知识点进行更深的探讨,并总结相应的做题技巧.

    【关键词】向量组;线性相关;线性无关

    【基金项目】2016年西安财经学院行知学院优秀课程建设项目,项目编号:16YXKC18.

    向量组的线性相关性无论从概念还是从逻辑上说,是复杂抽象的,本文简单扼要给出判断向量组线性相关性的几种常用的方法并总结.

    定理1:齐次线性方程组Am×nX=O有非零解当且仅当R(A)

    定理2:向量组α1,α2,…,αs是线性相关的R(α1,α2,…,αs)

    同理,向量组α1,α2,…,αs是线性无关的R(α1,α2,…,αs)=s|α1,α2,…,αs|≠0.

    题型一设α1=1,2,1T,α2=1,1,1T,α3=(-3,-2,1)T,判断此向量組的线性相关性.

    解法一

    ∵(α1,α2,α3)=11-321-2111r2-2r1r3-r111-30-14004,

    ∴R(α1,α2,α3)=3,

    故此向量组线性无关.

    解法二

    ∵|(α1,α2,α3)|=11-321-2111=(1-6-2)+(-3-2+2)=-10≠0,

    ∴此向量组线性无关.

    题型二设向量组α1=1+λ11,α2=11+λ1,α3=111+λ的秩为2,则λ=().

    解由题知

    |(α1,α2,α3)|=1+λ1111+λ1111+λ

    =(3+λ)11111+λ1111+λr2-r1r3-r1(3+λ)1110λ100λ

    =(3+λ)λ2=0,

    得λ1=0,λ2=-3,

    代入λ1=0,得R(α1,α2,α3)=1,故舍去,从而解为-3.

    题型三已知向量组α1,α2,α3,α4是线性无关的,试判断向量组α1+α2,α2+α3,α3+α4,α4+α1的线性相关性.

    解设存在一组数k1,k2,k3,k4,使得

    k1(α1+α2)+k2(α2+α3)+k3(α3+α4)+k4(α4+α1)=0,(1)

    即:(k1+k4)α1+(k1+k2)α2+(k2+k3)α3+(k3+k4)α4=0.

    由于向量组α1,α2,α3,α4是线性无关的,则有下列的齐次线性方程组:

    k1+k4=0,k1+k2=0,k2+k3=0,k3+k4=0.(2)

    ∵系数矩阵

    A=1001110001100011r4-r31001010-100110000,

    ∴R(A)=3.

    从而(2)式有非零解,存在不全为零的数k1,k2,k3,k4,使得(1)式成立.故向量组α1+α2,α2+α3,α3+α4,α4+α1是线性相关的.

    总结

    判断向量组的线性相关性,可用本文中提到的思路来解决:矩阵的秩法[就是把向量按列排成矩阵,对此矩阵进行初等行变换,变成阶梯形矩阵,得出矩阵的秩(即向量组的秩)]、矩阵行列式法、定义法.而对于某一具体的矩阵来说,大家需要在平时的做题中,细心理解,慢慢总结,循序渐进,才能总结出做题相应的简便方法与技巧.

    【参考文献】

    [1]张禾瑞,郝鈵新.高等代数[M].北京:高等教育出版社,1983.

    

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更新时间:2025/3/11 22:40:24