| 标题 | 再论“函数y=（ax+c）+bx+d（ab≠0）的图像是双曲线” |
| 范文 | 李锦成 文[1]简证了“函数y=（ax+c）+bx+d（ab≠0）的图像”是以直线x+d=0，y=ax+c为渐近线的双曲线，在中学阶段对含有交叉项xy的二次函数（因只学过坐标平移变换，没学过坐标旋转变换）要说明函数的图像确实困难.而文[1]的证明过程都是中学生能接受的，因此，它对一类二次函数的图像问题提供了一种有效的解决方法. 例1 函数2x2+3xy+2x-y+5=0的图像是什么图形？ 解 将2x2+3xy+2x-y+5=0变形为 y=-23x-89+-5327x-13， 符合y=（ax+c）+bx+d（ab≠0）的形式. ∴函数的图像是以直线y=-23x-89和x-13=0为渐近线的双曲线. 例2 讨论函数Ax2+Bxy+Dx+Ey+F=0（A·B≠0）的图形问题. 解 将Ax2+Bxy+Dx+Ey+F=0变为 （Bx+E）y=-Ax2-Dx-F. 1.当Bx+E=0，并且x=-EB是函数Ax2+Dx+F=0的一个根时，函数图像只表示直线x=-EB，否则无图像. 2.当Bx+E≠0时，y=-Ax2-Dx-FBx+E，∵B≠0，A≠0，∴y=-ABx2+DAx+FAx+EB， 整理得y=-ABx+AE-BDB2+BDE-AE2-B2FB3x+EB. （1）當BDE-AE2-B2F=0时，函数为直线y=-ABx+AE-BDB2； （2）当BDE-AE2-B2F≠0时，应用文[1]定理可知：函数图像是双曲线. 最后补充说明，文[1]还可以：当a=0，b≠0时，y=c+bx+d仍然是双曲线. ∵平移坐标轴令y′=y-c，x′=x+d，故y=c+bx+d可变为y′=bx′， ∴仍然是双曲线. 另外，Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0（B≠0）也是属于双曲线型函数. 【参考文献】 [1]李晶，张国坤.“函数y=（ax+c）+bx+d（ab≠0）的图像是双曲线”之简证[J].数学通报，2004（8）：44. |
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