标题 | 复合Poisson下m重风险模型 |
范文 | 王鹤婷 【摘要】本文将复合Poisson分布下单一险种的风险模型推广为多险种同时发生的一个风险模型.模型中,保费收入是一个常数,m重险种在同一时刻发生索赔,索赔过程为复合Poisson过程. 【关键词】破产概率;鞅论;调节系数;复合Poisson过程 一、引言 精算是使保险行业合理运行的数学运算,并且是正常运行的数学基础.它基于概率理论和数学统计,结合人口、社会、经济等相关科学,评估风险事件,评估各种经济安全方案的未来财政收支和债务水平.基于稳定的财政发展,风险理论[1-5]作为精算数学的一部分是目前精算学和数学研究的热点话题.本文将经典复合Poisson风险模型推广到多险种同时发生赔付的一个模型.最后得出m重风险下的破产概率的具体表达式[6-8]. 二、概念与模型 设(Ω,F,P)为一完备概率空间,并且u≥0,c>0.以下对象均假设定义在这个完备概率空间上,有 U(t)=u+ct-∑mj=1∑Nj(t)i=1Y(j)i,t≥0,(1) S(t)=ct-∑mj=1∑Nj(t)i=1Y(j)i,t≥0.(2) i=1,2,…;j=1,2,…,m,其中, ① Y(j)={Y(j)i,i=1,2,…},j=1,2,…,m是取值于[0,∞)上的独立同分布随机变量; ② Nj={Nj(t);t≥0},j=1,2,…,m是参数为αj>0的Poisson过程; ③ 假定Y(j),Nj互相独立,则过程{U(t);t≥0}称为复合Poisson分布下m重风险模型,过程{S(t);t≥0}为盈利过程. 为保证保险公司的稳定经营,假定E[S(t)]>0,因为E[S(t)]=Ect-∑mj=1∑Nj(t)i=1Y(j)i=ct-∑mj=1αjμt>0.所以ct>∑mj=1αjμt,c>∑mj=1αjμ,所以c=(1+θ)∑mj=1αjμ,即c>∑mj=1αjμ,其中,μ=[-Y(j)i]<∞表示单位时间内保费高于每年支付额.定义安全负荷系数为θ=c∑mj=1αjμ-1>0,破产时刻T=inft>0{t;U(t)<0},最终的破产概率为φ(u)=P{T<+∞|U(0)=u},则生存概率为φ=1-φ(u). 三、引理 引理1盈利过程(2)是右连续的随机过程,且满足下面的这些性质: ① E[S(t)]=ct-∑mj=1αjμt. ② 过程具有平稳独立增量. 证明根据随机概率方面的知识有: ① E[S(t)]=Ect-∑mj=1∑Nj(t)i=1Y(j)i =E[ct]-E∑mj=1∑Nj(t)i=1Y(j)i =ct-∑mj=1∑∞k=0P{Nj(t) =k}∑ki=1(EY(j)i) =ct-∑mj=1∑∞k=0(αjt)kk!e-αjt∑ki=1μ =ct-∑mj=1kμ∑∞k=0(αjt)kk!e-αjt=ct-∑mj=1αjμt. ② 令X(t)=∑mj=1∑Nj(t)i=1Y(j)i,对任意0 S(t1)=ct1-X(t1), S(t2)-S(t1)=c(t2-t1)-[X(t2)-X(t1)], … S(tn)-S(tn-1)=c(tn-tn-1)-[X(tn)-X(tn-1)]. 顯然,上式均是互相独立的. 对于任意t>0,s>0,有 S(t+s)-S(t)=[c(t+s)-X(t+s)]-[ct-X(t)]=cs-[X(t+s)-X(t)]. 因为Y(j)={Y(j)i,i=1,2,…},j=1,2,…,m具有相同的分布函数,所以 X(t+s)-X(t)=∑mj=1∑Nj(t+s)i=1Y(j)i-∑mj=1∑Nj(t)i=1Y(j)i =∑mj=1∑Nj(t+s)i=1Y(j)i-∑Nj(t)i=1Y(j)i =∑mj=1∑Nj(s)i=1Y(j)i=X(s). 即X(t+s)-X(t)与X(s)具有相同的分布,故而S(t+s)-S(t)与S(s)具有相同的分布,所以{S(t);t≥0}具有平稳独立增量. 证毕. 引理2复合Poisson过程X(t)=∑Nj(t)i=1Y(j)i的矩母函数为 φY(j)i(r)=exp{αjt[φY(j)i(r)-1]}. 引理3对复合Poisson分布下m重风险,存在g(r)使得 E[exp{-rs(t)}]=exp{tg(t)}. 其中,g(r)=-cr-∑mj=1αjt[φY(j)i(r)-1], E[exp{-rs(t)}]=exp{tg(t)}. 引理4方程g(r)=0存在唯一正解,称为调节系数,记为R. 证明已知g(r)=-cr-∑mj=1αjt[φY(j)i(r)-1],则有 dg(r)g(r)=-c+α1∫+∞0xe-rxdFY(1)(x)+ α2∫+∞0xe-rxdFY(2)(x)+…+αm∫+∞0xe-rxdFY(m)(x), |
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