标题 | 二次函数中考考点及解题方法 |
范文 | 廖竹珍 刘熙 陈绍雄
【摘要】近年来,教育界对云南省各个地区会出现的有关二次函数的中考考点及解题方法的研究太过宽泛,而中学生的时间有限,如果想要掌握全部的二次函数考点,就显得很困难.因此本文主要研究并归纳总结出云南省中考中二次函数的常考考点及解题方法,避免了题型的杂糅和繁多.但由于篇幅的限制,本文对于选择题与填空题着重分析综合考查二次函数性质的题,对于解答题着重分析面积最大值问题、和差倍分问题以及等腰三角形问题. 【关键词】中学数学;二次函数;解题方法 【基金项目】2018 年云南师范大学大学生科研训练基金项目(ky2018-100) 一、考点及解题方法 1.与一元二次方程联系起来考查. 一元二次方程的根的情況和二次函数图像与x轴的交点情况可以相互确定.当一元二次方程有两个不同的实数根时,相对应的二次函数图像与x轴的交点个数为2;当有两个相同的实数根时,相对应二次函数图像与x轴的交点个数为1;当无实数根时,相对应的二次函数图像与x轴的交点个数为0. 2.二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的图像与字母系数的关系. ①a,b,c符号判断. a:看图像的开口方向,若图像开口向上,则a>0;若图像开口向下,则a<0; b:看图像的对称轴,确定-b2a的符号,再根据a的符号确定b的符号; c:看图像与y轴的交点,若图像交于y轴的正半轴,则c>0;若交于负半轴,则c<0. ②a,b,c都含有的代数式. 取x的特殊值代入解析式得相应函数值,再根据函数图像上相应的点确定和a,b,c有关的代数式的符号.例如:a+b+c的符号由x=1时的函数值大小确定;a-b+c的符号由x=-1时的函数值大小确定. ③仅含有a与b或b与c或a与c的代数式. 含a与b的代数式:直接由对称轴确定; 含b与c或a与c的代数式:结合含有a,b,c的代数式和只含有a,b的代数式进行简单运算即可得出答案; ④b2-4ac的判断:看图像与x轴交点的个数; ⑤出现am2+bm:利用函数有最大或最小值进行判断. 3.根据二次函数y=ax2+bx+c的图像判断函数的增减性. 当a>0时,在对称轴的左侧,即当x<-b2a时,y随x的增大而减小;在对称轴的右侧,即当x>-b2a时,y随x的增大而增大,简记为左减右增;同理可得当a<0时函数的增减性. 4.求函数的解析式. 用待定系数法求二次函数的解析式: ①已知图像上三个点的坐标,通常选择一般式y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0);②已知图像的顶点或对称轴,通常选择顶点式y=a(x-h)2+k(a,h,k是常数,a≠0);③已知图像与x轴的交点横坐标x1,x2,通常选择交点式y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0). 5.求顶点坐标. 方法一:将二次函数化为顶点式y=a(x-h)2+k(a,h,k是常数,a≠0),则顶点为(h,k).方法二:利用顶点坐标公式-b2a,4ac-b24a直接求解. 6.面积的最大值问题. 方法:三角形面积的最大值:①当一边固定两边动时,先利用两点间的距离公式 (x1-x2)2+(y1-y2)2求出定线段的长度,然后求出动点到该定直线的最大距离,最后利用三角形的面积公式即可求出三角形面积的最大值.②当三边均动时,先把动三角形割或补成几个易求面积的图形,进而可表示出动三角形的面积为一个二次函数关系式,问题即可解决. 四边形(由一个动点和三个定点构成)面积的最大值:把动四边形分割成两个易求面积的图形之和,然后使构成四边形的各个图形的面积之和达到最大,此时四边形的面积就最大. 7.两个图形面积之间存在和差倍分的问题. 先把动点坐标用一个字母表示,再计算出图形的面积,然后根据题意建立两个图形面积关系的一个方程,最后求解. 8.对于等腰三角形问题. 方法一:先借助图像的解析式,用一个字母表示出动点的坐标,利用两点间的距离公式,再根据两腰相等建立方程,解出此方程,即可求出动点的坐标,注意去掉不能构成三角形的点. 方法二:当已知边为等腰三角形的底边时,利用线段的中垂线的性质,作出已知线段的中垂线,求出中垂线的方程,则所求点为中垂线与动点所在曲线或直线的交点;当已知边为等腰三角形的腰时,分别以已知线段的两个端点为圆心、已知线段长为半径画圆,则圆与所求点所在图形的交点即为所求点,最后根据几何关系及二次函数的对称性,得到点的对称性,进而求解得出点的坐标. 例1 (2013云南昭通第9题3分)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像如图所示,则下列结论中正确的是(? ). A.a>0 B.3是方程ax2+bx+c=0的一个根 C.a+b+c=0 D.当x<1时,y随x的增大而减小 分析 此题考查了二次函数与一元二次方程的关系;二次函数图像与字母系数的关系;函数的增减性.图像开口向下,a<0,故A选项错误.图像与x轴有两个交点,则方程存在两个不同的根,由对称性得-1,3是方程的根,故B选项正确.x=1时,函数值为a+b+c,由图像知点(1,a+b+c)在x轴上方,所以a+b+c>0,故C选项错误.由图像知,当x<1时,y随x的增大而增大,故D选项错误.故选B. 在选择题和填空题中还会单独考查二次函数的其中一种性质,可以利用上述方法进行解答.除了会考查上述考点外,还会考查二次函数的最值问题、利用二次函数求未知量的关系式等,同学们可适当练习相关题目,熟悉解题思路,总结其他方法,进而提高解题能力. 二次函数以解答题的形式出现时,在第一问一般主要考查二次函数的解析式、某些点的坐标以及直线的解析式等;在后面几问主要考查图形(包括三角形、四边形等)的面积的最值、图形面积的和差倍分问题、等腰三角形问题等. 例2 如图2所示,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx-3(a≠0)与x轴交于A(-2,0),B(4,0)两点,與y轴交于点C. (1)求抛物线的解析式. (2)点P从点A出发,在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向点B运动,同时点Q从点B出发,在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动,其中一个点到达终点时,另一个点也停止运动.问:当△PBQ存在时,运动多少秒时,△PBQ的面积最大?最大面积是多少? 解 (1)把点A(-2,0),B(4,0)分别代入y=ax2+bx-3(a≠0),得 4a-2b-3=0,16a+4b-3=0, 解得a=38,b=-34,所以抛物线的解析式为y=38x2-34x-3. (2)设运动时间为t秒,则AP=3t,BQ=t,∴PB=6-3t.由题知,点C的坐标为(0,-3). 在Rt△OBC中,由勾股定理得BC= 32+42=5.如图2,过点Q作QH⊥AB于点H,则QH∥OC,∴△HBQ∽△OBC,∴HQOC=BQBC,即HQ3=t5,∴HQ=35t. 根据三角形的面积公式得: S△PBQ=12PB·HQ=12(6-3t)·35t=-910t2+95t=-910(t-1)2+910. 当△PBQ存在时,0 解答题中除了会考查上述类型外,还会考查抛物线上的动点与定点是否构成直角三角形、等腰直角三角形、平行四边形等,是否存在相似三角形,题中给出图形面积的定值求相关点的坐标或线段长等,题目综合性强,难度大.同学们应注重基础知识、基本技能的掌握,基本思想的感悟、基本做题经验的积累,掌握多方面的知识、技能和方法,以高效解决问题. 二、学习建议 学生学习二次函数的过程中,首先应该掌握二次函数的基础知识(如定义、性质等),在做题过程中注意积累解题方法和技巧;其次,在考试中学会把未知问题转化为已知会求解的问题,充分利用二次函数的图像及其性质求解,同时在做题过程中要学会利用条件以及注意细节,减少不必要的失误;最后,收集二次函数的错题并整理成册,每个月留出时间温故. 【参考文献】 [1]武泽涛.中考试题研究·数学[M].新疆:新疆青少年出版社,2019. [2]安梅.中考数学二次函数压轴题常见题型及解题策略研究:以毕节市中考数学试题为例[D].贵阳:贵州师范大学,2019. [3]胡宝新.分析中考数学压轴题,展望2014年的命题趋势:云南省及地州市近4年中考数学压轴题[J].考试周刊,2014(38):6-7. [4]刘金英.2009年中考数学试题分类解析(十一):综合应用[J].中国数学教育,2010(01):90-96. |
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