《二维黎曼流形上Monge睞mpère方程解的一个不等式》-理学论文，数学论文-论文范文参考-科学狗论文网

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二维黎曼流形上Monge睞mpère方程解的一个不等式

范文

【摘要】在这篇文章中，对满足齐次Dirichlet边值条件的椭圆型MongeAmpère方程，在二维常曲率黎曼流形上借助与解有关的辅助函数，在u的Hessian矩阵特征值满足一定条件时，给出一个与此方程解有关的微分不等式证明.

【关键词】黎曼流形;曲率;微分不等式

【基金项目】北京电子科技职业学院校内科技重点课题 “有关一类椭圆偏微分方程解的微分不等式”（项目编号：2018Z002-022-KXZ）

一、引言

对完全非线性的MongeAmpère方程det D2u=f（x），近几年有较丰富的研究成果，比如在欧式空间中、空间形式中都有较好的结论，尤其是方程解的凸性估计.主要思路是构造一个与蒙日安培方程解有关的辅助函数，利用这个辅助函数进而证明与该方程解相关的微分不等式，从而去进行更深的凸性估计.

对满足齐次Dirichlet边值条件的椭圆型MongeAmpère方程

det D2u=1 in Ω，

u=0on Ω，

本文将在低维黎曼流形上进行类似的研究，通过构造一个辅助函数得到一个与椭圆型MongeAmpère方程解的微分不等式，并给出详尽的证明.

二、主要结论

定理内容设（M2，g）是具有非负截面曲率K=ε（ε≥0）的二维常曲率黎曼流形，ΩM2为有界凸区域.u是满足齐次Dirichlet边值条件的MongeAmpère方程

的一个严格凸解，设函数ψ=∑2k，l=1σ2（D2u）uklukul-2u，若对u的Hessian矩阵特征值uii有uii2≥2成立，则有微分不等式∑2i，j=1uijψij≥0成立.

三、定理证明

在二维黎曼流形上定义曲率张量：

R（X，Y）Z=SymbolQC@XSymbolQC@YZ-SymbolQC@YSymbolQC@XZ-SymbolQC@[X，Y]Z，

记gij=g（ei，ej），定义

Rijkl=〈R（ek，el）ej，ei〉.

在二维常曲率黎曼流形上有

Rijkl=ε（gikgjl-gilgjk），

uijk=uikj-∑2β=1Rkjβiuβ，

uijkl=uijlk+∑2β=1Rβikluβj+∑2β=1Rβjkluiβ.

定义：

akl=σ2（D2u）ukl，

其中（ukl）=（ukl）-1，

akl=∑2j=1，j≠kujj，k=l，

-ukl，k≠l.

定理证明

已知D2u>0.在x0处选取光滑的标准正交标架e1，…，e5使得u的Hessian矩阵uij（x0）（1≤i，j≤2）是对角的并且gij=δij，此时有SymbolQC@iej=0， Γkij=0.为了证明结论成立，要先进行对ψ二阶求导.

ψ=∑2k，l=1σ2（D2u）uklukul-2u

=∑2k，l=1uklukul-2u.

首先，求一阶导有

ψi=∑2k，l=1ukliukul+2∑2k，l=1uklukiul-2ui

=∑2k，l=1ukliukul，

求二阶导有

ψii=∑2k，l=1ukliiukul+2∑2k，l=1ukliukiul

=∑2k，l=1ukliiukul+2∑2l=1uiliuiiul，

因此，

∑2i，j=1uijψij=∑2i=1uiiψii

=∑2i，k，l=1ukliiuiiukul+2∑2i，l=1uiliul

=∑2i，k，l=1ukliiuiiukul+2∑2i，l=1uiiulluiliul

=∑2j，k=1j≠kuiiujjiiu2k-∑2k，l=1k≠luiiukliiukul+

2∑2j=1k≠iujjiui-2∑2l=1l≠iuiliul.

对方程det D2u=1两边求一阶导有

det D2uxk=∑2i，j=1uijuijk=0，

求二阶导有

2detD2uxkxl=∑2i，j=1uijuijkl+∑2i，j，p，q=1（-uiqupjuijkupql）=0，

所以有

∑2i，j=1uijψij=∑2i，j，k，l=1k≠luiiujju2ijlu2k-∑2i，j，k，l=1k≠luiiujjuijkuijlukul

+2∑2i，j，k=1i≠j，j≠kRijjiu2k+2∑2i，j，k=1i≠j，j≠kRijijuiiujju2k

+4∑2i，l=1i≠lRilliu2l+2∑2i，j，k=1i≠k，j≠kRikikuiiujju2k，

方便整理不妨设

A=∑2i，j，k，l=1k≠luiiujj（u2ijlu2k-uijkuijlukul），

B=2∑2i，j，k=1i≠j，j≠kRijjiu2k+2∑2i，j，k=1i≠j，j≠kRijijuiiujju2k+

4∑2i，l=1i≠lRilliu2l+2∑2i，j，k=1i≠k，j≠kRikikuiiujju2k.

根據柯西施瓦茨不等式很容易得到

∑2k，l=1（u2ijlu2k-uijkuijlukul）≥0，

所以

A=∑2i，j，k，l=1k≠luiiujj（u2ijlu2k-uijkuijlukul）≥0.

对B进行整理得到

B=2∑2i，j，k=1i≠j，j≠k，i≠kRijjiu2k+2∑2i，j=1i≠jRijjiu2i

+2∑2i，j，k=1i≠j，j≠k，k≠iRijijuiiujju2k+2∑2i，j=1i≠jRijijuiiujju2i

+4∑2i，j=1i≠lRilliu2l+2∑2i，j，k=1i≠j，j≠k，k≠iRikikuiiujju2k

+2∑2i，k=1i≠kRikiku2k

=-4ε∑2i=1u2i+2ε∑2i，j=1i≠juiiujju2i

=-4ε∑2i=1u2i+2ε∑2i，j=1i≠ju2iiu2j，

由uii2≥2，ε>0进而可得

B=-4ε∑2i=1u2i+2ε∑2i，j=1i≠ju2iiu2j

=2ε∑2i，j=1i≠j（u2ii-2）u2j≥0.

综上，有微分不等式

∑2i，j=1uijψij≥0.

四、结束语

本文主要研究了二维黎曼流形上带有0边值Dirichlet条件的蒙日安培方程下的严格凸解的一个微分不等式，在给定严格凸解的Hessian矩阵特征值不小于2的情况下，证明微分不等式∑2i，j=1uijψij≥0成立.

【参考文献】

[1]白正国等.黎曼几何初步[M].北京：高等教育出版社， 2004.

[2]于雪梅.四维空间形式中MongeAmpère方程解的微分不等式[J].哈尔滨师范大学自然科学学报，2015（03）：1-3.

[3]邢庆贺.二维黎曼流形上蒙日安培方程解的一个估计[J].哈尔滨师范大学自然科学学报，2015（03）：53-55.

[4]于雪梅.空间形式上蒙日安培方程解水平集的平均曲率估计[D].哈尔滨：哈尔滨师范大学，2015.

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