标题 | pq阶完全群的一个简明刻画 |
范文 | 蔡琦++余露 【摘要】本文我们利用Sylow定理给出pq阶完全群的一个完全分类,其中p,q是素数. 【关键词】完全群;Sylow定理;分类 【基金项目】本工作由国家自然科学基金11561078资助. 一、前言 完全群是群论中一类特殊的群,关于完全群的分类问题,至今尚未完成,也较受关注.完全群中一个著名的问题是由G.A.Miller提出的是否存在奇数阶完全群的问题,该问题于1975年被R.S.Dark解决.除此之外,也存在大量已被证明是完全群的例子,如,Wielandt证明了任何一个非交换单群的自同构群是完全群,Holder证明对称群Sn是完全群(n≥3且n≠6).在部分国外期刊上,完全群分类问题在解决广义脉冲方程的精确解、非线性波动方程、时滞微分方程等问题上得到了广泛的应用. 针对完全群分类问题的研究,国内一些学者也做了很多这方面的工作.在1981年郑燕生证明了定义在Galois域上的某一类上三角矩阵在n≥3的情况下,其自同构群是可解完全群[2].查建国于1982年发表的文章中,通过李型群得出一类可解完全群[3],于1983年发表的论文中,通过对称群得出另一类完全群[4].1984年任永才将奇数阶Abel群全形是完全群的条件推广到无限Abel群[5].田东代于1994年证明了无限完全群的一个充要条件:G是所有以它为正规子群的大群的直积因子.黄平安于1996年给出了判断完全群的几个准则,并得出如下几个结论:(1)阶为p2q(p 本文的目的是确定pq(p,q都是素数)阶完全群的分类.我们先利用Sylow定理对pq阶群归类,得到pq阶群可分为以下三类:直积Zp×Zp,循环群Zpq和亚循环群Zp∶Zq(其中,p=tq+1).然后确定这些群的全自同构群,再由完全群的定义确定全体pq阶完全群,在此基础上得到如下结论: 定理pq阶完全群只有3次对称群S3. 为便于描述,下文的p,q都是素数.用Aut(G)表示群G的自同构群,Inn(G)表示群G的内自同构群,Z(G)表示G的中心. 二、预备知识 为了本文结果,以下首先给出完全群以及Sylow定理的描述. 定义1设G是有限群,如果Z(G)=1,且Aut(G)=Inn(G),则称群G为完全群. Sylow定理([1,定理2.2.1、定理2.2.2])若G是有限群,则G中Sylow-p子群的个数np满足: (ⅰ)np≡1(modp), (ⅱ)np|G, (ⅲ)任意两个Sylow-p子群共轭. 根据Sylow定理,显然可以得到如下两个简单的推论: 推论1若p||G|,则G中必含Sylow-p子群. 推论2若P是G中唯一的Sylow-p子群,必为正规子群. 群的分类问题一直都是有限群中的一类基本问题,通常人们在同构的意义下进行分类.此外还涉及群的合成,如,群的商群、直积、半直积等扩张,这样的表示方式有助于深化我们对有限群本身的理解.本文也不例外,除了构建pq阶有限群与剩余类加群的同构外,还需要借助一定的直积以及半直积分解. 下面将给出直积分解的概念[1]: 定义2群G称为其子群N,H的直积,如果满足: (1)NG,HG; (2)G=NH; (3)N∩H=1. 此时记为G=N×H. 为了便于本文讨论,下面给出两个与交换群相关的引理: 引理1([1,定理1.3.12])阶为p2的群必为交换群. 引理2([1,定理1.4.7])交换群可分解为若干循环子群的直积. 以下给出半直积(可裂扩张)的定义: 定义3([1,定理3.3.9])假設N和H是两个群,若存在一个同态映射α:H→Aut(N),则利用N,H和α,可定义一个新群G如下:G={(a,x)|a∈N,x∈H}, G中乘法定义为(a,x)(b,y)=(abα(x)-1,xy). G称为N和H的半直积,也记为G=N∶H. 显然G=N∶H的充要条件是G=NH,N∩H=1,NG,H≤G. 最后,引理3、引理4给出下文将涉及的剩余类理论的相关知识: 定义4设m是正整数,r是整数,若r模的m阶等于f(m),则称r是模m的一个原根(其中,f(m)是欧拉函数). 引理3将Zp视为模p(p是素数)的剩余类时,必存在原根r,使得r关于乘法可以生成Zp的简化剩余类,即〈r〉=(Zp,·),其中Zp=Zp\{0}. 引理4若ab≡0(modp),有b≡0(modp-1); 若ab≡0(modp),有a≡0(modp)或b≡0(modp). 三、主要结果的证明 现对pq阶群进行分类. 若p=q,由引理1及引理2知G可分类为Zp2或Zp×Zp. 令p≠q,由推论1知有p阶子群N≌Zp和q阶子群H≌Zq,则G=NH且N∩H=1. 令G中p阶子群的个数为np,q阶子群的个数为nq,则由Sylow定理知: np|q,np≡1(modp), 且nq|p,nq≡1(modq). 不妨令p>q,则有np=1, 此时NG, 若HG,则G=N×H≌Zp×Zq=Zpq. 若HG,
令N=〈a〉,H=〈b〉,b-1ab=ak, 则akq=(b-1)qabq=a, akq-1=1, kq≡1(modp), q|p-1. 故有p=tq+1, 此时G≌Zp∶Zq. 故G可分类为Zp×Zq,Zpq和Zp∶Zq(其中,p=tq+1). Zp×Zq,Zpq是交换群,不可能是完全群.故只需讨论Zp∶Zq(其中,p=tq+1)中完全群的情形. 下面定理给出了群Zp:Zq的自同构群. 定理群G=Zp∶Zq的自同构群Aut(G)=Zp∶Zp-1. 证明令r是p的原根,定义: σ:a→ar,b→b, τ:a→a,b→ab. 显知〈σ〉≌Zp-1≤Aut(G),〈τ〉≌Zp≤Aut(G), aσ-1τσ=a,bσ-1τσ=bτr,bτ-1σσ=a1-rb=bτ1-r. 知〈τ〉〈σ,τ〉,〈s〉〈s,t〉, 又〈σ〉∩〈τ〉=1,有Zp∶Zp-1≌〈σ,τ〉≤Aut(G). 下证Aut(G)=Zp∶Zp-1,事实上, 若有ε∈Aut(G), 由〈a〉charG,G\〈a〉中只有q阶元. 故可令ε:a→ars,b→aibj, 若j≡1(modq),则ε=σsτi∈〈σ,τ〉; 若j≡1(modq),必存在l∈Zp使τl:a→a,bj→a-ibj. 此时ετl:a→ars,b→bj, 则ετlσp-s-1:a→a,b→bj, 此时ak=b-1ab=(b-1ab)ετlσp-s-1=b-jabj=akj k(kj-1-1)≡0(modp)kj-1≡1(modp) j≡1(modp-1)≡1(modq). 与j≡1(modq)矛盾,故有Aut(G)=Zp∶Zp-1,证毕. 由完全群的定义,G是完全群必有 Aut(G)=Inn(G)≌G, 结合定理则有p(p-1)=|Zp∶Zp-1|=|G|=pq p=q+1, 而p,q是素數,有p=3,q=2. 显然Z3∶Z2=D6=S3是完全群,故S3是唯一的pq阶完全群. 【参考文献】 [1]徐明耀.有限群导引(上)[M].北京:科学出版社,1987. [2]郑燕生,柳放,杨德荣.一类有限阶可解完全群[J].数学研究与评论,1981(2):7-20. [3]查建国.由李型群得出的一类可解完全群[J].数学杂志,1982(1):11-22. [4]查建国.从对称群得出的一类完全群[J].中国科学技术大学学报,1983(1):29-38. [5]任永才.论完全群的一个定理及其推广[J].四川大学学报(自然科学版),1984(2):25-29. [6]黄平安.关于完全群的几个准则[J].长沙电力学院学报(自然科学版),1996(1). |
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