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标题 pq阶完全群的一个简明刻画
范文

    蔡琦++余露

    【摘要】本文我们利用Sylow定理给出pq阶完全群的一个完全分类,其中p,q是素数.

    【关键词】完全群;Sylow定理;分类

    【基金项目】本工作由国家自然科学基金11561078资助.

    一、前言

    完全群是群论中一类特殊的群,关于完全群的分类问题,至今尚未完成,也较受关注.完全群中一个著名的问题是由G.A.Miller提出的是否存在奇数阶完全群的问题,该问题于1975年被R.S.Dark解决.除此之外,也存在大量已被证明是完全群的例子,如,Wielandt证明了任何一个非交换单群的自同构群是完全群,Holder证明对称群Sn是完全群(n≥3且n≠6).在部分国外期刊上,完全群分类问题在解决广义脉冲方程的精确解、非线性波动方程、时滞微分方程等问题上得到了广泛的应用.

    针对完全群分类问题的研究,国内一些学者也做了很多这方面的工作.在1981年郑燕生证明了定义在Galois域上的某一类上三角矩阵在n≥3的情况下,其自同构群是可解完全群[2].查建国于1982年发表的文章中,通过李型群得出一类可解完全群[3],于1983年发表的论文中,通过对称群得出另一类完全群[4].1984年任永才将奇数阶Abel群全形是完全群的条件推广到无限Abel群[5].田东代于1994年证明了无限完全群的一个充要条件:G是所有以它为正规子群的大群的直积因子.黄平安于1996年给出了判断完全群的几个准则,并得出如下几个结论:(1)阶为p2q(pq都是奇素数)的完全群;(3)不存在阶为pqr(p,q,r都是素数)的完全群[6].

    本文的目的是确定pq(p,q都是素数)阶完全群的分类.我们先利用Sylow定理对pq阶群归类,得到pq阶群可分为以下三类:直积Zp×Zp,循环群Zpq和亚循环群Zp∶Zq(其中,p=tq+1).然后确定这些群的全自同构群,再由完全群的定义确定全体pq阶完全群,在此基础上得到如下结论:

    定理pq阶完全群只有3次对称群S3.

    为便于描述,下文的p,q都是素数.用Aut(G)表示群G的自同构群,Inn(G)表示群G的内自同构群,Z(G)表示G的中心.

    二、预备知识

    为了本文结果,以下首先给出完全群以及Sylow定理的描述.

    定义1设G是有限群,如果Z(G)=1,且Aut(G)=Inn(G),则称群G为完全群.

    Sylow定理([1,定理2.2.1、定理2.2.2])若G是有限群,则G中Sylow-p子群的个数np满足:

    (ⅰ)np≡1(modp),

    (ⅱ)np|G,

    (ⅲ)任意两个Sylow-p子群共轭.

    根据Sylow定理,显然可以得到如下两个简单的推论:

    推论1若p||G|,则G中必含Sylow-p子群.

    推论2若P是G中唯一的Sylow-p子群,必为正规子群.

    群的分类问题一直都是有限群中的一类基本问题,通常人们在同构的意义下进行分类.此外还涉及群的合成,如,群的商群、直积、半直积等扩张,这样的表示方式有助于深化我们对有限群本身的理解.本文也不例外,除了构建pq阶有限群与剩余类加群的同构外,还需要借助一定的直积以及半直积分解.

    下面将给出直积分解的概念[1]:

    定义2群G称为其子群N,H的直积,如果满足:

    (1)NG,HG;

    (2)G=NH;

    (3)N∩H=1.

    此时记为G=N×H.

    为了便于本文讨论,下面给出两个与交换群相关的引理:

    引理1([1,定理1.3.12])阶为p2的群必为交换群.

    引理2([1,定理1.4.7])交换群可分解为若干循环子群的直积.

    以下给出半直积(可裂扩张)的定义:

    定义3([1,定理3.3.9])假設N和H是两个群,若存在一个同态映射α:H→Aut(N),则利用N,H和α,可定义一个新群G如下:G={(a,x)|a∈N,x∈H},

    G中乘法定义为(a,x)(b,y)=(abα(x)-1,xy).

    G称为N和H的半直积,也记为G=N∶H.

    显然G=N∶H的充要条件是G=NH,N∩H=1,NG,H≤G.

    最后,引理3、引理4给出下文将涉及的剩余类理论的相关知识:

    定义4设m是正整数,r是整数,若r模的m阶等于f(m),则称r是模m的一个原根(其中,f(m)是欧拉函数).

    引理3将Zp视为模p(p是素数)的剩余类时,必存在原根r,使得r关于乘法可以生成Zp的简化剩余类,即〈r〉=(Zp,·),其中Zp=Zp\{0}.

    引理4若ab≡0(modp),有b≡0(modp-1);

    若ab≡0(modp),有a≡0(modp)或b≡0(modp).

    三、主要结果的证明

    现对pq阶群进行分类.

    若p=q,由引理1及引理2知G可分类为Zp2或Zp×Zp.

    令p≠q,由推论1知有p阶子群N≌Zp和q阶子群H≌Zq,则G=NH且N∩H=1.

    令G中p阶子群的个数为np,q阶子群的个数为nq,则由Sylow定理知:

    np|q,np≡1(modp), 且nq|p,nq≡1(modq).

    不妨令p>q,则有np=1,

    此时NG,

    若HG,则G=N×H≌Zp×Zq=Zpq.

    若HG,

    

    令N=〈a〉,H=〈b〉,b-1ab=ak,

    则akq=(b-1)qabq=a,

    akq-1=1,

    kq≡1(modp),

    q|p-1.

    故有p=tq+1,

    此时G≌Zp∶Zq.

    故G可分类为Zp×Zq,Zpq和Zp∶Zq(其中,p=tq+1).

    Zp×Zq,Zpq是交换群,不可能是完全群.故只需讨论Zp∶Zq(其中,p=tq+1)中完全群的情形.

    下面定理给出了群Zp:Zq的自同构群.

    定理群G=Zp∶Zq的自同构群Aut(G)=Zp∶Zp-1.

    证明令r是p的原根,定义:

    σ:a→ar,b→b,

    τ:a→a,b→ab.

    显知〈σ〉≌Zp-1≤Aut(G),〈τ〉≌Zp≤Aut(G),

    aσ-1τσ=a,bσ-1τσ=bτr,bτ-1σσ=a1-rb=bτ1-r.

    知〈τ〉〈σ,τ〉,〈s〉〈s,t〉,

    又〈σ〉∩〈τ〉=1,有Zp∶Zp-1≌〈σ,τ〉≤Aut(G).

    下证Aut(G)=Zp∶Zp-1,事实上,

    若有ε∈Aut(G),

    由〈a〉charG,G\〈a〉中只有q阶元.

    故可令ε:a→ars,b→aibj,

    若j≡1(modq),则ε=σsτi∈〈σ,τ〉;

    若j≡1(modq),必存在l∈Zp使τl:a→a,bj→a-ibj.

    此时ετl:a→ars,b→bj,

    则ετlσp-s-1:a→a,b→bj,

    此时ak=b-1ab=(b-1ab)ετlσp-s-1=b-jabj=akj

    k(kj-1-1)≡0(modp)kj-1≡1(modp)

    j≡1(modp-1)≡1(modq).

    与j≡1(modq)矛盾,故有Aut(G)=Zp∶Zp-1,证毕.

    由完全群的定义,G是完全群必有

    Aut(G)=Inn(G)≌G,

    结合定理则有p(p-1)=|Zp∶Zp-1|=|G|=pq

    p=q+1,

    而p,q是素數,有p=3,q=2.

    显然Z3∶Z2=D6=S3是完全群,故S3是唯一的pq阶完全群.

    【参考文献】

    [1]徐明耀.有限群导引(上)[M].北京:科学出版社,1987.

    [2]郑燕生,柳放,杨德荣.一类有限阶可解完全群[J].数学研究与评论,1981(2):7-20.

    [3]查建国.由李型群得出的一类可解完全群[J].数学杂志,1982(1):11-22.

    [4]查建国.从对称群得出的一类完全群[J].中国科学技术大学学报,1983(1):29-38.

    [5]任永才.论完全群的一个定理及其推广[J].四川大学学报(自然科学版),1984(2):25-29.

    [6]黄平安.关于完全群的几个准则[J].长沙电力学院学报(自然科学版),1996(1).

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更新时间:2025/3/10 14:52:09