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标题 数学活动——三角点阵中前n行的点数计算
范文

    王秋明

    

    

    摘要:数学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程。在数学活动中,感悟数学思想,积累数学活动经验。

    关键词:数形结合;模型思想;转化思想

    教学过程:

    一、创设问题情境,引入新课

    观看一段视频影片---有关数学家高斯小时候课堂学习“解决从1+2+3+。。。+100”的故事。

    师:今天我们就探究解决一个相关的数学问题---三角点阵点数和的探究问题。引出课题。

    二、探究新知

    活动一:出示三角点阵图形

    1、学生观察图形特征,

    2、完成表格的分析信息。(表1:各行点数和的统计,表2前n行点数和的统计)

    意图:通过观察图形完成表格,培养学生利用表格分析问题的能力。

    生1:叙述结果:1、2、3、...、n。

    3、继续观察图形,完成表2

    生2:展示结果依次:

    师:好,那么前n行点数和如何表示呢?

    生:1+2+3+4+......+n

    师:好,由特殊到一般,我们可以类比上面几行的结果表示得出前n行的点数和的表示,在此基础上,你能提出哪些问题?

    生1:前4行共有10个点,那么前10行共有多少个点?前20行呢?

    生2:300个点是前多少行的点数和?生3:300个点是第几行,第几个点?生4:这个图形的探究问题能否与三角形的面积联系到一起呢?

    师:大家提出的问题都非常有代表性,很有想法。尤其是最后一位同学,能够大胆的猜想:点数和的问题与三角形的面积关系。同时我们把这四位同学的问题板书到黑板上,稍后我们逐一取解决它们。

    如何表示三角点阵前n行的点数和的问题,大家能否从一开始视频中小高斯的计算方法给我们一些启发呢?---(类比思想)

    学生独立思考完成猜想、证明过程。(选生代表板演并叙述思路)

    生:有特殊到一般,借助首尾相加的方法,归纳出:

    师:非常好。师板书.大家通过将图形问题转化为数列问题,从数列的角度分析找出规律。在这个过程中渗透了数学上的由特殊到一般的思想。问题:我们能否从“形”的角度去考虑呢?

    师提示:之前我们在研究几何问题如四边形的相关问题,常常会转化成三角形的问题去解决,在今天的这个图形-三角点阵的问题,能否转化为平行四边形去尝试解决呢?

    师:很好,两位同学的思路都很好,所求的点数和应该是(每一行的点数和×行数)的一半。

    从图形的角度分析实际上和数的角度本质上是一致的。不论哪一种方法,我们应该从中提升分析问题的能力。

    2.动脑思考,解决问题

    在此基础上回顾大家提出的问题,该如何解决?(小组交流)

    上述问题我们将它们分成两类吧,第一类是直接利用点数和公式计算点数和;第二类是通过列一元二次方程(方程模型)解决点数和的存在性问题。(抽生板演:问题300个点是前几行的点数和?)

    师:追问:600个点呢?学生独立完成。

    3、感悟数学思想,积累活动经验

    回顾探究三角点阵前n行点数和的规律以及解决大家提出的问题的过程,你积累了哪些数学活动经验,与大家分享一下:学生交流

    4.拓展延伸:点数依次换为 2,4,6,…,2n,…?前 n 行的点数和能是 600 吗?试用一元二次方程说明道理.

    师:在此基础上你还能想到什么样的问题来解决一下呢?

    生:变式:若将点数依次换为1、3、5、7、...呢?

    师:很好,能通过变式来进一步解决与之相关的问题,能够举一反三。

    三、巩固练习(正六边形点阵问题)

    四:课时小结

    意图:本环节通过反思总结,将知识上升为经验,促进思维的再次生长。

    五、数学思考

    1、挖掘知识之间的内在联系,有效的课堂教学应研究“从哪里来?怎样来?到哪里去?怎样去”等研究性问题。

    2、重视数学思想方法的渗透,教师引导学生在知識的迁移中体验数学思想方法,培养学生思维的延伸性。

    3、充分展示学生的思维活动,出示问题后,留给学生充裕的时间思考,通过设置一些开放性的小问题,培养学生多角度看问题,在提问时,生4提出的与三角形面积有关的问题,偏离了方向,但是能够大胆的思考,将知识联系在一起,虽然想法不太成熟,但是能激发学生的思维。

    参考文献

    [1]由两个等差数列的公共项组成的新数列问题[J]. 史正.?中学数学杂志. 2014(01)

    [2]中学数学两种思维结合学习论【M】温寒江。教育科学出版社,2016,11)

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更新时间:2025/3/21 18:32:49