| 标题 | 数学分析第一堂课的教学探讨 |
| 范文 | 黄英芬+颜宝平+安黔江 【摘要】数学分析第一堂课的质量对整个数学分析课程的教学有着重要的影响.本文通过分析数学分析与后继课程及中学数学的联系，结合数学与应用数学专业人才培养目标，剖析了本门课程的重要地位；其次讲述数学分析的主要内容，联系中学数学知识，引用“芝诺悖论”，激发学生的学习兴趣；最后结合数学分析课程的特点给出学习建议，让学生有章可循，增强信心. 【关键词】数学分析；第一堂课；教学探讨 一、引 言 数学与应用数学专业的大学新生，刚刚来到一个新的环境，遇到新的教师、新的同学，对一切都还是懵懂的，而数学分析作为该专业的重要基础课，由于其内容抽象、逻辑性强，语言精确，又是许多后续课程的先修课程，因此，学好数学分析对于数学与应用数学专业学生来说，是极为重要的.万事开头难，良好的开始等于成功的一半，上好第一堂课就显得非常重要. 我们结合多年从事数学分析教学的教师的经验，建议将数学分析课程内容与方法、重要性、兴趣的激发、资料的选择与获取等方面内容作为数学与应用数学专业学生大学第一堂课的教学要点，这样能够达到事半功倍的效果. 二、数学分析的重要地位 如果我们把数学比喻成一棵大树，那中学数学就是它的根，微积分就是这棵大树的主干，诸如常微分方程、复变函数、实变函数、泛函分析、微分几何、拓扑学就是它的枝叶.数学分析在此起到一个承上启下的作用，上可为后继课程做准备，下可为中学数学做指导.学好这门课是大学新生顺利从初等数学过渡到高等数学的关键. 数学分析是几乎所有后继课程，如常微分方程、概率论与数理统计、复变函数、实变函数、泛函分析等课程的先修课程和重要基础.比如，数学分析和复变函数研究的都是定义在数域上的函数，数学分析研究实数集上的函数，复变函数研究复数域上的函数，数学分析中的部分定理及性质在复变函数中仍然成立，有些却不能成立.复变函数是数学分析的理论推广.数学分析不仅在内容上为后继课程提供必备的基础知识，而且它的定义、定理中包含的数学思想和数学方法，对后继课程的学习具有至关重要的作用.数学分析是以极限理论为基础，用导数、积分等方法研究函数的分析性质，是整个变量数学的奠基石.数学分析中精确的符号语言，严格的逻辑推理，可以培养学生良好的思维习惯，这为后继课程的学习打开局面. 要提高数学与应用数学专业学生的综合素质，必须首先培养好学生的專业素质——数学素质.数学分析作为应用数学专业最重要的课程之一，对培养学生的数学素质具有重要的作用.数学分析中精确的数学语言可以培养学生准确地表达自己的数学思想；数学分析中大量的定义、定理的证明可以培养学生的高度抽象、严密地逻辑思维能力；数学分析中的重要概念，如导数、积分都是源于实际问题并能够应用到实际中去，这可以培养学生数学建模及应用数学的能力. 在教学内容上，数学分析与中学数学联系紧密，对于培养一名优秀的中学数学教师具有重要作用.由于知识结构的限制，中学数学中不能深入研究的问题，只有学了数学分析才能解决.中学数学研究函数的方法只能停留在“原始”的水平上，比如，中学数学画函数的图像往往采用描点法，然后用光滑曲线把这些点连接起来，而学生们并不理解为什么非要用“光滑曲线”呢.只有学了数学分析才能明白，我们以前研究的函数都是初等函数，而初等函数具有可导性，这在图像上表现为光滑曲线.再如，积分学也能为中学数学的很多问题提供理论依据和计算方法，如，几何中的祖暅定理，不规则图形的面积，几何体的体积等.数学分析的基本理论对中学数学具有重要的指导作用，学生只有学好数学分析，才能深入解读中学数学教材. 德国数学家克莱因说：“教师应具备较高的数学观点，理由是，观点越高，事物越显得简单.”近年来，与数学分析知识相联系的试题在中高考试题中所占比例逐年上升.这要求中学教师应掌握数学分析与中学数学的内在联系，会运用数学分析的方法解决初等数学的问题.中学教师只有在深刻理解数学分析理论、思想方法的基础上，站在更高的角度，俯视中学数学，才能探索出巧妙的解题思路，以简驭繁，达到更好的教学效果. 三、数学分析的主要内容 为了使学生做到心中有数，我们应该介绍数学分析的基本框架.数学分析又名微积分或无穷小分析，它的主要内容有极限理论、一元函数微积分、级数、多元函数微积分.如果把微积分比喻成一座高楼大厦，那学习极限理论就是为这座大厦打地基.极限将是学生遇到的第一个最重要的概念，并且它也是最主要的推理方法和工具.用极限的方法研究函数的性质是数学分析的主要内容. 为了便于学生接受，我们可以从他们最熟悉的中学知识入手，让学生知道学无止境，他们所掌握的中学数学还远远不够.比如，圆面积公式S=πr2，这个公式怎么来的？球的体积公式V=43πr3，这个公式又是怎么得到的？通过学习了数学分析中的积分理论，我们就能知道这些公式的来龙去脉.再比如，对于等比数列12，14，18，…，12n，…，中学阶段已经推导出它的前n项和公式.此时，教师可启发学生，随着n的无限增加，数列的和是否趋于一个固定的值.亦可进一步启发什么样的数列有上述特点，什么样的数列没有.要解决这个问题，我们需要学习数学分析中的级数理论.通过举一些学生熟知的例子，让学生了解数学分析是以中学数学为基础逐步发展起来的. 四、兴趣的激发 爱因斯坦说：“兴趣是最好的老师.”古语有云：“知之者不如好之者，好之者不如乐知者.”由此可见，兴趣对于学习者有驱动作用.有效激发学生的兴趣，可以提高教学效果.然而，如何激发学生的兴趣，需要我们不断去探索. 通过研究中学数学的一些公式，我们发现这样神奇的关系（如下表所示）.这种关系不是偶然，而是有可靠的理论基础，待我们学习了数学分析，用定积分的思想方法，这些证明便迎刃而解.这个例子深入浅出，容易接受，可以激起学生浓厚的探索兴趣. 为了进一步激发学生的兴趣，我们还可以引用芝诺悖论——阿基里斯和乌龟赛跑悖论.他提出让乌龟在阿基里斯前面1 000米处开始，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了1 000米，设所用的时间为t，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，他所用的时间为t10，乌龟仍然前于他10米.当阿基里斯跑完下一个10米时，他所用的时间为t100，乌龟仍然前于他1米……芝诺解说，阿基里斯能够继续逼近乌龟，但绝不可能追上它.给学生留出时间，让他们自由地讨论如何推翻它.教师可以给学生留悬念，待到正式讲到数列极限的概念时，再给出正式、严密的解答. 微积分的产生是自然科学最伟大的发明之一，教师应该在第一堂课上介绍微积分发展简史.教师可在介绍时穿插一些数学家的小故事，以增加课堂的人文性和趣味性. 五、数学分析的特点及学习方法 数学分析经过三个多世纪的发展和完善，已经形成一整套抽象的、严密的、逻辑性极强的理论体系，其内容多，跨度大，概念抽象，系统性、逻辑性强.数学分析与中学数学的特点有巨大差异，同时任课教师的上课方式也随之改变，这让刚入校门的新生感觉非常不适应.那么数学分析究竟有哪些特点？它与中学数学的差别体现在什么地方？ 定义、定理繁多.中学数学理论较少，注重计算与解题技巧.而数学分析理论繁多，有时一次课（100分钟）接触的定义、定理多达十几个.讲解过程中有大量的推理论证，尤其在学习数学分析的初期阶段，多用定义去证明.讲授内容逻辑性强，高度抽象. 精确的符号语言.中学数学的知识比较容易用自然语言描述，用图形语言去解释.为了精确表达概念和定理，数学分析有一套自己的逻辑符号，它非常精确、逻辑性极强、高度抽象.只有掌握好数学符号语言，才能为后面逻辑推理打下坚实的基础. 教学方式的改变.中学数学讲得细，举例较多，特别注重解题技巧.数学分析课堂容量大，进度快，理论多，举例少，并且很少复习.学好数学分析的关键不在于做了多少题，而在于理解好定义、定理以及里面所蕴含的思想方法. 针对数学分析的特点，提出以下学习建议： 提前预习.在不懂的地方做下记号，带着疑问去听课，效果更好. 科學听课.听课时，遇到不懂的地方，不要一直纠缠，而应该做下记号，继续跟着教师的思路走，课下再找教师或同学讨论，或者查阅资料. 当天复习.利用当天晚自习时间，应该首先把教师白天所讲内容复习一遍，而不是急于完成作业.复习时，应该做到会复述讲过的概念，定理会独立推导，而不是只看不动手，这样会造成眼高手低.学生们可以利用晚自习的时间，加强讨论，轮流上台讲解习题，达到巩固所学知识的目的. 给自己充裕的学习时间.面对各种各样的活动，学生应该根据自己的特长或喜好，有选择地去参加，切忌遇到活动就参加，本末倒置. 适当钻钻牛角尖.对于书上难懂的概念、定理，要勤于钻研.遇到似曾相识又不完全相同的题目，要放在一起多辨析. 六、资料的选择与获取 仅仅为了期末考试而去学习数学分析毫无意义.要想深刻理解数学分析中的概念、定理，进而掌握数学分析中的思想方法，必须参考相关书籍和文献.除了主要教学参考书，还应当推荐一些必要的参考书，例如，谢惠民编写的《数学分析习题讲义》、裴礼文编写的《数学分析中的典型问题与方法》、柯朗著的《什么是数学：对思想和方法的基本研究》等. 通过正确途径去检索文献，而不能凡事问“百度”.教会学生从中国知网（http：//www.cnki.net/）、万方数据知识服务平台（http：//www.wanfangdata.com.cn/）等官方网站查阅文献. 七、结束语 刚刚经历过高考的大学新生，思想上正处于放松状态，而数学分析难度较大、历时较长，在今后的学习过程中，容易让学生产生厌倦的情绪.若第一堂课上，给学生讲清楚数学分析是什么，为什么要学，怎样去学的问题，使学生对数学分析有了整体而清晰的认识之后，带着教师为学生设置的重重疑问去开始微积分之旅，将会大大提高今后的教学效果. 【参考文献】 [1]华东师范大学数学系.数学分析[M].第4版.北京：高等教育出版社，2009. [2]唐秋林.关于数学分析入门教学的几点思考[J].牡丹江大学学报，2010（5）：151-153. [3]项明寅，方继光，等.论“数学分析”入门学习四大难关的成因与对策[J].高等理科教育，2006（6）：20-22. [4]蒙诗德.数学分析入门教学策略[J].玉林师范学院学报（自然科学），2009（5）：16-20. [5]姜雪.关于高校新生第一次高等数学课的思考[J].佳木斯教育学院学报，2012（9）：148. [6]李浩智，欧苡，李日光.试论高师“数学分析”课程对中学数学教学的指导作用[J].广西师院学报（自然科学版），2001（1）：91-92. [7]耿彦如.数学分析教学对师范生数学素质的培养[J].邢台师范高专学报，2002（2）：35-36. [8]李建民，李红.数学分析课程对中学数学教学的指导作用[J].平顶山师专学报（自然科学），1998（4）：8-12. [9]成宝娟.数学分析课程对中学数学教学的指导作用[J].佳木斯教育学院学报，2013（2）：244. |
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