《分块矩阵的若干思考》-哲学论文-论文范文参考-科学狗论文网

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分块矩阵的若干思考

范文

夏彬彬

摘要：在处理矩阵问题时，矩阵的分块以及矩阵的初等变换起到了重要作用。利用矩阵的初等变换求逆矩阵相比较解方程组求逆矩阵要更加简洁，同时，在不知矩阵是否可逆时要先分情况进行讨论后再求解。在求解更加复杂问题时，要对分块矩阵的子矩阵进行分类讨论，确定其是否可逆，若不可逆，则构造出可逆矩阵进行求解。本文通过举例给出了分块矩阵以及初等变化对求解矩阵问题的优越性，相比较而言，求解方程组解决矩阵问题就显得更加繁琐，不推荐使用。

关键词：分块矩阵;逆矩阵;初等变换

中图分类号：0151.21 文献标志码：A

1概述

矩阵是一个按照长方阵列排列的数表，表中的元素可以是复数或实数，也可以是别的数域中的元素。矩阵的概念最早来自于方程组的系数及常数所构成的数表，这一概念是由19世纪英国数学家凯利首先提出的。

在现代数学中，矩阵是非常重要的常见工具，被广泛应用于物理学、电路学、力学、光学、优化理论、数值分析领域等。在天体物理、量子力学以及数学等領域，也会出现无穷维的矩阵，是矩阵的一种推广。

分块矩阵是高等代数中的一个重要内容，是处理阶数较高的矩阵时常采用的技巧，也是数学在多领域的研究工具。对矩阵进行适当分块，使高阶矩阵的运算可以转化为低阶矩阵的运算，同时也使原矩阵的结构显得简单而清晰，从而能够大大简化运算步骤，或给矩阵的理论推导带来方便。有不少数学问题利用分块矩阵来处理或证明，将显得简洁、明快，特别是在一些复杂问题的处理方面，分块矩阵具有很大的优越洼。

分块矩阵是一个矩阵，它是把矩阵分别按照横竖分割成一些小的子矩阵，然后把每个小矩阵看成一个元素。分块矩阵最重要的应用之一在于矩阵乘法，对矩阵加法而言，分块与否，并不能带来运算的简便性。在对矩阵进行分块后做乘法运算的时候，只有按照“前列等于后行”的原则分块，才能在计算乘法的时候，转化为普通矩阵的乘法，否则分块是没有意义的。

矩阵的初等变换以及矩阵的分块是处理矩阵问题最常用的两种有效方法，尤其是面对复杂的矩阵问题时显得更加简便，本论述通过对分块矩阵求逆的不同方法的举例，体现出矩阵分块之后的简洁性。

定义3分块矩阵的行（列）初等变换是指对一个分块矩阵实施下列变换。

1.交换分块矩阵两行（列）;

2.用一个可逆的方阵左（右）乘以分块矩阵的某一行（列）的诸小块;

3.用一个矩阵左（右）乘以分块矩阵的任一行（列）加到另一行（列）上去。

分块矩阵与一般矩阵相比可以简化运算，一般在处理某些高阶的矩阵时常常被用到，并且分块矩阵与一般矩阵的初等变换形式略有不同。一般矩阵的初等变换是用一个非零数乘以矩阵的某一行（列）的每一个元素，或者是给某一行（列）的每一个元素乘以—个数之后加到另一行（列）上去。而对于分块矩阵来说，相比较一般矩阵乘以的数，此时变成了乘以矩阵，其他均相同。

定义4设A是n阶方阵，如果存在n阶方阵B使得AB=I，那么A称为可逆矩阵，B称为A的逆矩阵。这里的矩阵可逆，既包括一般矩阵，又包括分块形式的矩阵。

通过利用初等变换求矩阵的逆矩阵以及利用解方程组求矩阵的逆矩阵的两种方法进行对比，可以直观的看到初等变换求分块矩阵的逆矩阵要比列方程组求解分块矩阵的逆矩阵简洁方便得多。同时也减少了计算量。这个例子也直接说明了在求解分块矩阵的逆矩阵时，虽然方法较多，但初等变换这种方法求逆会更加

3结束语

分块矩阵是处理高阶矩阵的常用有效工具，其初等变换求逆较为方便，减少了运算量。遇到以上问题时，可以优先采用初等变换进行求逆。对于使用列方程组对矩阵进行求逆时，不仅增加了计算量，而且也容易出错，所以在平时求解矩阵问题的时候，推荐将高阶矩阵转换为分块矩阵后，利用初等变换进行进一步求解。

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